空间向量及其运算知识总结.docx

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1、精品名师归纳总结空间向量及其运算1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2. 空间向量的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中点公式 OPOAOB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7向量与平面平行：已知平面和向量 a ,作OAa ,假如直线 OA平行于或在内,那么bpaAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定 义 ： 与 平 面 向 量 运 算

2、 一 样OBOAABab ; BAOA, 空OB间 向 量ab ;的 加OP法 、a减 法R与 数 乘向量运算如下运算律：加法交换律：abbaD加法结合律： ab cabcA数乘安排律：ababa3. 平行六面体：平行四边形 ABCD平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体,D叫做平行六面体, 并记作： ABCD A B C D它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱AB4. 平面对量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数,使 b

3、 a .要留意其中对向量a 的非零要求5共线向量假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量叫做共线向量或平行向量 a 平行于 b 记作 a / b 当我们说向量a 、 b 共线（或 a /b ）时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同始终线,也可能是平行直线6 共线向量定理：空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）, a /b 的充要条件是存在实数,使 b .推论：假如 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线,那么对于任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t 满意等式OPOAt a 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 .空间直线的

4、向量参数表示式：OPOAt a 或 OPOAt OBOA 1t OAtOB ,12BPM我们说向量 a平行于平面,记作： a /通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面对量说明：空间任意的两向量都是共面的8共面对量定理： 假如两个向量 a, b 不共线, p与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数x, y 使BCaCO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pxayb推 论 ： 空 间 一 点 P 位 于 平 面 MAB 内 的 充 分 必 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对MPxMAyMB或对空间任一点 O ,有 O PO M

5、x M Ay Mx, y , 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或 OPxOAyOBzOM , xyz1上面式叫做平面MAB 的向量表达式9 空间向量基本定理：假如三个向量a,b, c 不共面, 那么对空间任一向量p ,存在一个唯独的有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结序实数组x, y, z ,使 pxaybzc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如三向量a,b,c不共面,我们把 a, b, c叫做空间的一个基底,a,b ,c 叫做基向量,空间任可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结意三个不共面

6、的向量都可以构成空间的一个基底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论：设O, A, B,C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三个有序实数x, y, z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使 OPxOAyOBzOC10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a, b ,在空间任取一点 O ,作OAa,OBb ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就AOB 叫 做 向 量 a 与 b 的 夹 角 , 记 作a,b。 且 规 定 0a,b, 显 然

7、 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a, bb, a。如a,b,就称 a 与 b 相互垂直,记作：ab .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 向量的模：设 OAa ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作：|a | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 向量的数量积：已知向量a, b ,就 | a | |b| cosa, b叫做a, b 的数量积,记作 a b ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b| a| |b | cos a, b已知向量 ABa 和

8、轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点A 在 l 上的射影 A ,作点 B在 l 上的射影 B ,就 A B 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影 .可以证明 A B 的长度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| A B| | AB| cosa, e| a e |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 空间向量数量积的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） a e| a | cosa, e（ 2） aba b0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）| a |2a a 可编辑资料 - - - 欢

9、迎下载精品名师归纳总结14. 空间向量数量积运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） a ba b a b （ 2） a bb a （交换律）z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） abc a ba c （安排律）空间向量的直角坐标及其运算Ax,y,z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1空间直角坐标系：（1）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为1,这个基底叫ki O jy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单位正交基底,用 i ,j ,k 表示。x可编辑资料 - - -

10、 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 i,j , k,以点 O 为原点,分别以i , j , k 的方向为正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,点 O 叫原点,向量i , j , k 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx平面。2. 空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中,对空间任一点A ,存在唯独的有序实数组 x,y, z ,使

11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAxiyjzk ,有序实数组 x, y, z 叫作向量 A 在空间直角坐标系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Oxyz 中的坐标,记作坐标常见坐标系正方体A x, y, z, x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖zDCABDCy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如下列图, 正方体ABCDA B C D 的棱长为 a ,一般挑选点 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为原点, DA 、 DC 、 DD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间x AB直角坐标系 Dxyz ,就各点坐标为z亦可

12、选 A点为原点 .A在长方体中建立空间直角坐标系与之类似.正四周体y如下列图,正四周体ABCD 的棱长为 a ,一般挑选 A 在 BCD 上BOD的射影为原点, OC 、 OD （或 OB ）、 OA所在直线分别为 x 轴、 y 轴、Cxz 轴建立空间直角坐标系Oxyz ,就各点坐标为z正四棱锥如下列图,正四棱锥PABCD 的棱长为 a ,一般挑选点 P 在平面PABCD 的射影为原点 , OA （或 OC ）、 OB （或 OD ）、 OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ,就各点坐标为D正三棱柱OC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如下列

13、图,正三棱柱ABCA B C 的底面边长为 a ,高为 h ,xAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般挑选 AC 中点为原点, OC（或 OA ）、OB 、OE（ E 为 O 在A C y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上的射影） 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ,就各点坐标为zA3. 空间向量的直角坐标运算律：E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如 aa1, a2 ,a3 , bb1,b2, b3 ,就112233BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abab , ab,ab ,A可编辑资

14、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112233abab , ab, ab , a a ,a ,a R ,O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123a ba ba ba ba/ bab , abCB, ab Ry可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 12 23 3 ,112233,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1a2b2a3b30 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如A x1,y1, z1 , B x2 , y2, z2 ,就 AB x2x1, y2y1, z2z

15、1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4模长公式：如a a1 ,a2, a3 , b222b1, b2 ,b3 ,222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 | a |a aa1a2a3, | b |b bb1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 夹角公式：cos a ba ba1b1a2b2a3b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | | b |

16、222222aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 两点间的距离公式：如Ax1, y1, z1 ,B x2 ,y2 , z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2就 | AB |AB xx 2 yy 2 zz 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或 d xx 2 yy 2 zz 2A,B212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、直线的方向向量空间向量应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

17、纳总结把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 在空间直角坐标系中,由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ax1, y1, z1与 B x2 , y2, z2 确定直线 AB 的方向向量是 AB x2x1, y2y1, z2z1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面法向量假如 a,那么向量 a 叫做平面的法向量 .二、证明平行问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 证明线线平行：证明两直线平行可用a / ba1b1, a2b2, a3b3 R 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 证明线面平行a / ba1a

18、2a3.b1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 l 的方向向量为a ,平面的法向量为 n ,且 l,如 an 即 a n3. 证明面面平行0 就 a /.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面的法向量为三、证明垂直问题 1证明线线垂直n1 ,平面的法向量为n2 ,如n1 / n2即 n1n2 就/.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明两直线垂直可用2. 证明线面垂直aba ba1b1a2b2a3b30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 l 的方向向量为a ,平面的法向量为 n ,且 l,如3. 证明面面垂直a / n 即

19、 an 就 a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面的法向量为四、夹角1. 求线线夹角n1 ,平面的法向量为n2 ,如 n1n2 即 n1n20 就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 aa1, a2, a3 , bb1, b2 ,b3 ,0 ,90 为一面直线所成角,就：a b| a | | b | cosa, b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosa,ba b| a | | b |a1b1a 2a2a2b2a 2b 2a3b3b2。 cos| cosb 2a,b| .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 求线面夹角1231

20、23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图,已知 PA 为平面的一条斜线, n 为平面的一个法向量, 过 P 作平面的垂线 PO ,连结 OA 就PAO为斜线 PA 和平面所成的角,记为易得P n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin| sin 2OP, AP | cosOP, AP|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| cos3. 求面面夹角n, AP| cosn, PA| n PA|.| n | PA |OA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 n1 、 n2 分别是二面角两个半平面、的法向量,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

21、师归纳总结当法向量n1 、 n2 同时指向二面角内或二面角外时,二面角的大小为n1,n2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当法向量五、距离1. 求点点距离n1 、 n2 一个指向二面角内, 另一外指向二面角外时, 二面角的大小为n1, n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A x , y , z ,B x, y , z , dxx 2 yy 2zz 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111| AB |AB AB222A, B212121xx 2 yy 2 zz 2可编辑资料 - - - 欢迎下载

22、精品名师归纳总结2. 求点面距离212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图, A为平面任一点, 已知 PA 为平面的一条斜线, n 为平面的一个法向量, 过 P作平面的垂线 PO ,连结 OA就PAO 为斜线 PA 和平面所成的角,记为易得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| PO | | PA | sin| PA | | cos3. 求线线距离PA, n| PA | PA n | PA| | n | PA n |.| n |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接运算. 如图, 设两条异面直线 a 、b

23、 的公垂线的方向向量为 n ,这时分别在 a 、 b 上任取 A 、 B 两点,就向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线 a 、b 的距离 . 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的肯定值与公垂线的方向向量模的比值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 a 、 b 的距离 d| ABn| AB n |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 求线面距离| n | n |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离 . 直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5. 求面面距离和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线. 公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段. 公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载