第十讲梅涅劳斯定理和塞瓦定理.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、梅涅劳斯定理定理 1 如直线 l 不经过的顶点，并且与的三边、或它们的延长线分别交于、，就证明：设、分别是 A、 B、C 到直线 l 的垂线的长度，就：。注：此定理常运用求证三角形相像的过程中的线段成比例的条件。例 1 如 直角中， CK 是斜边上的高，CE 是的平分线， E 点在AK 上， D 是 AC 的中点， F 是 DE 与 CK 的交点，证明：。【解析】 由于在中，作的平分线BH ，就：，即，所以为等腰三角形，作BC 上的高EP，就：，对于和三点D、E、F 依据

2、梅涅劳斯定理有：，于是，即，依据分比定理有：，所以，所以。例 2 从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A 、B 、C、D和，试证：。【解析】 如，结论明显成立。如AD 与相交于点L ，就把梅涅劳斯定理分别 用 于和可 得 ：，将上面四个式子相乘，可得：，即：定理 2 设 P、Q、R 分别是的三边 BC 、CA 、AB 上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R 三点中，位于边上的点的个数为0 或 2，这时如，求证P、Q、R三点共线。证明：设直线PQ 与直线 AB 交于，于是由定理1得 ：， 又 因 为， 就，由于在同始终线上P、Q、R 三点中，位于边上的点的个数也为0 或 2，因此 R 与或者

3、同在 AB 线段上， 或者同在AB 的延长线上。 如 R与同在 AB 线段上，就 R 与必定重合，不然的话， 设，这时，即，于是可得，这与冲突，类似的可证得当R 与同在 AB 的延长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -线上时， R 与也重合，综上可得：P、Q、R 三点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘。例 3 点

4、P 位于的外接圆上。、是从点 P 向 BC、CA 、AB 引的垂线的垂足，证明点、共线。A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【 解 析 】 易 得 ：，C1，将上面三个式子相乘， 且由于，B，可得， 依据梅涅劳斯定理可知、三点共线。A1CB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 设不等腰的内切圆在三边BC、CA 、AB 上的切点分别为D、E、F，就 EF 与 BC ，FD 与 CA ， DE 与 AB 的交点 X 、Y 、Z 在同一条直线上。【解析】被直线 XFE 所截，由定理 1 可得：， 又由于，代入上式可得，同理可得，将上面的式子相乘可得：，又由于X 、Y

5、 、Z 丢不在的边上，由定理2 可得 X 、Y 、Z 三点共线。例 5 已知直线，相交于 O，直线 AB 和的交点为，直线 BC 和的交点为，直线 AC 和的交点为，试证、三点共线。【解析】设、分别是直线BC 和，AC 和，AB 和的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB 和（，），OBC 和（，），OAC 和（，）应用梅涅劳斯定理有：，将上面的三个式子相乘， 可得：，由梅涅劳斯定理可知、共线。例 6 在一条直线上取点E、C、A ，在另一条上取点B 、F、D，记直线AB 和 ED，CD 和AF ，EF 和 BC 的交点依次为L 、M 、N，证明： L 、M 、N 共线。【解析】 记直线 E

6、F 和 CD ， EF 和 AB ， AB 和 CD 的交点分别为U、V 、W ，对，应用梅涅劳斯定理于五组三元点，就有，将上面五个式子相乘可得：，点 L 、M 、N 共线。二、塞瓦定理定理： 设 P、Q、R 分别是的 BC 、CA 、AB 边上的点，就AP、BQ 、CR 三线共点的充要条件是：。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证明：先证必

7、要性：设AP 、 BQ 、 CR相交于点M ，就A，同理，以R上三式相乘， 得：，再证充分性： 如，MQ设 AP 与 BQ 相交于 M ，且直线 CM 交 AB 于，由塞瓦定理有：，约翰斯：，由于 R 和都在线段BPCAB 上，所以必与 R 重合，故AP 、BQ、 CR 相交于一点M 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 证明：三角形的中线交于一点。【解析】记的中线，我们只须证明， 而 显 然 有 ：，即成立，所以，交于一点，例 8 在锐角中，的角平分线交AB 于 L ，从 L 做边AC 和 BC 的垂线， 垂足分别是M 和 N，设 AN 和 BM 的交点是 P，证明：。【

8、解析】 作，下证 CK 、BM 、AN 三线共点，且为 P 点，要证 CK 、BM 、AN 三线共点，依据塞瓦定AC1B1CBA1C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结理即要证：，又由于，即要证N明 ：， 因 为，MB，即要证，依据三AKL角形的角平分线定理可知：，所以 CK 、BM 、AN 三线共点，且为 P点，所以。例 9 设 AD 是的高，且D 在 BC 边上，如P 是 AD 上任一点， BP、CP 分别与 AC 、AB 交 于 E 和 F，就。【解析】 过 A 作 AD 的垂线， 与 DE 、DF 的延长线分别交于M 、N。欲证，可以转化为证明，由于，故，可得，所以，于是，

9、由于 AD 、BE、CF 共点与 P，根 据 塞 瓦 定 理 可 得 ：， 所 以， 所 以，所以例 10 在的边 BC、CA 、AB 上取点、，证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【 解 析 】 如 图 对和应 用 正 弦 定 理 ， 可 得，即，同理：， 从 而。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载