空间几何体表面积与体积公式大全.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、柱体 棱柱S侧c h 圆柱2、锥体hhS全2S底S侧SS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 棱锥：1S棱锥侧底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 chhh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 圆锥：S圆锥侧12 c底 lS全S底S侧SS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、台体2 棱台：1可编

2、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 圆台：S棱台侧S棱台侧c上底12c上底c下底 hc下底 lS全S上S侧S下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、球体上2S上S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lh下 球： S球4r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 球冠：略 球缺：略二、体积SS下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、柱体 棱柱hhV 柱S h 圆柱SS2、锥体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 棱锥 圆锥V 柱3 S hhh1SS可编辑资料 - - - 欢迎下载

3、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、台体 棱台V 台13 h S上12S上 S下S下 2S上S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 圆台4、球体V 圆台343h r 上r 上 r下r下 上hlh下SS下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 球： V 球

4、3r 球冠：略 球缺：略说明：棱锥、棱台运算侧面积时使用侧面的斜高h 运算。而圆锥、圆台的侧面积运算时使用母线l 运算。三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，假如它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理： 在一个高和底面直径都是2r的圆柱形容器内装一个最大的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结球体，就该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的2 。3可编辑资料 -

5、- - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：圆柱体积：V 圆柱S h23r 2r2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆柱侧面积：S圆柱侧c h2 2 r 2r4r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

6、归纳总结因此：球体体积： V 球234332r3r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2球体表面积： S球4r通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）+=即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式：1V 台3 h S上S上 S下S下 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。延长两侧棱相交于一点P 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设台体上底面积为S上 ，下底面积为 S下高为 h 。PDEC可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易知：PDC PAB ，设 PEh1 ，就 PFh1h由相像三角形的性质得：CDPEAFBABPF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -即：S上h1相像比等于面积比的算术平方根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S下h1整理得： h1hS上 h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

8、结S下S上又由于台体的体积 =大锥体体积小锥体体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 VS （ h1h ）Sh1h S1SSh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结台3下13上131下上3下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入： h1S上 h1得： V台S上 hS下S上1S下 h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S下S上3S下S上3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： V 台13S上 h S下S上 13 S下 h13 h S上S上 S下S下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 V 台13 h S上S上 S下S下

9、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的如干层（n层 ）， n 越大，每一层越近似于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆柱， n时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为r ，就：n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结每个圆柱的体积 V iSi h =2 rr i n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结半球的体积等于这些圆柱的体积之和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22r1r2220 rn212r 1212 0 rn221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 2r

10、22rrr 1nno22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 3rr nr 1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22r nr2n1r n22n1r 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - -

11、 欢迎下载精品名师归纳总结半球体积为：V 半球2rV nn222r 1r 22.2r n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=r2 n10.1.n1rnnnn02222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3= n r n12.2nn1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3=r n1 n61n 2n13 nr 112n1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3r 122n6 n11 21 nn 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n时， 1 n1031 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 V 半球r 1nn

12、 6r 11223r63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结43球体积为： V 球3r5、球体表面积公式推导分析：球体可以切割成如干（n个 ）近似棱锥，当 n时，这些棱锥的高可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为球体半径， 底面积为球面面积的1 ，就每一个棱锥的体积Vn111，3n S球 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就全部的小棱锥体积之和为球体体积。即有：13n S球 r43n3r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 S球4rS1球no6、正六面体（正方体）与正四周体（ 1） 体积关系如图：正方体切下四个三棱锥后，可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -剩下的部分为正四周体设正方体棱长为 a ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就其体积为：3V 正方体a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四个角上切下的每一个三棱锥体积为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V 三棱锥13 S h112 13aaa326可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

14、名师归纳总结中间剩下的正四周体的体积为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 12sin 60 2222a13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V 正三棱锥3 S h322a2a3233 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四周体13133即： 6 a43 aa（ 2） 外接球正方体与其体内最大的正四周体有相同的外接球。（理由：过不共面的四点确定一个球。 ）正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所以它们共球。回忆：两点定线 三点定面 三点定圆 四点定球如图：a正方体的体对角线 =球直径b正四周体的外接球

15、半径= 3 高4c正四周体的棱长 =正方体棱长2d正方体体积：正四周体体积=3： 1e正方体外接球半径与正四周体外接球半径相等（ 3） 正方体的内切球与正四周体的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ a） 正方体内切球直径 =正方体棱长（ b） 正方体内切球与正四周体的四条棱相切。（ c） 与正四周体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半

16、（ d） 设正四周体棱长为 a ，就与其棱都相切的球半径为r 11a2有： r1224a7、利用祖暅原理推导球体体积。构造一个几何体，使其截面与半球截面到处相等，依据祖暅原理可得两物体体积相等。证明： 作如下构造： 在底面半径和高都是r 的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。如图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结hr 锥1r 球1hR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作讨论，设圆柱和半球底面半径均为 R ，截面高度均为h ，倒圆锥的截面半径为r 锥1 ，半球截面半径为r 球 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

17、学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就：挖去圆锥后的组合体的截面为：S122Rr 锥1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结半球截面面积为：S22r球1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倒圆锥的底面半径与高相等，由相像三角形

18、易得：r锥1h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在半球内，由勾股定理易得：22r 球1Rh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22S1Rh22S2Rh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： S1S2 ，也就是说：半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得： V 1V 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以半球体积：即，球体体积：V 半球Sh 2V 球21 Sh33R2 Sh23343223RR3R可编辑资料 - - -

19、欢迎下载精品名师归纳总结3 3R8、正方体与球（ 1） 正方体的内切球正方体的棱长 a球体的直径 d3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 正方体的外接球3V 正方体aV 球V 正方体 ：V 球6 :4343r3d1326a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正方体的体对角线3 a球体的直径 d3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结43V 球3r4d33322a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V 球 ：V正 方 体3: 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

20、 - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 3） 规律：正方体的内切球与外接球的球心为同一点。正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正四周体的内切球与外接球的的半径之比为：1 :3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正四周体内切球与外接球体积之比为：1：33正四周体内切球与外接球表面积之比为：1： 3

21、正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为：3 :2： 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正四周体外接球、正四周体、内切球体积比为：33: 6 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正四周体外接球、正四周体、内切球表面积比为：3: 6 :9、正四周体与球（ 1）正四周体的内切球解题关键：利用体积关系摸索内切球的球心到各个面的距离相等，球心与各顶点的连线恰好把一个正四周体分成四个三棱锥，每个三棱锥的底面为原正四周体的底面，高为内切球的半径 r 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用体积关系得：4 （ 113122 a sin 601r 312 2 a

22、 sin 60 h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以： r4 h ，其中 h 为正四周体的高。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由相关运算得： ha2 23 1 a22633a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 r4 h612 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： V 球4343r336 a1263216a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

23、品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V 正四周体1132 a2sin 606233a12 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 V 正四机体 ：V 球18 :3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）正四周体的外接球可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

24、名师归纳总结外接球的半径 = 3高3442=2236aa4a32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结43V 球3r346 a6a3348可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V 正四周体11232 a sin 606233a12 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 V 球 :V 正四周体638a :2312 a33: 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）规律：正四周体的内切球与外接球的球心为同

25、一点。正四周体的内切球与外接球的球心在高线上。正四周体的内切球与外接球的的半径之和等于高。正四周体的内切球与外接球的半径之比等于1： 3正四周体内切球与外接球体积之比为：1：27正四周体内切球与外接球表面积之比为：1： 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正四周体外接球半径、 正四周体棱长、 内切球半径比为： 36 :12： 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正四周体外接球、正四周体、内切球体积比为：273: 18 :3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正

26、四周体外接球、正四周体、内切球表面积比为：9: 62 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、圆柱与球（ 1）圆柱容球（阿基米德圆柱容球模型）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -圆柱高 =底面直径 =球的直径球体体积 = 2 圆柱体积3球面面积 =圆柱侧面积（ 2）球容圆柱球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直角三角形。设球

27、体半径为 R ，圆柱高为 h ，底面半径为 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有：22R22h2r 即： R22h4 r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、方法总结下面举例说明立体几何的学习方法例：已知正四周体的棱长为a ，求它的内切球和外接球的半径思路：先分析球心的位置。由于正四周体是特殊的四周体，明显内切球与外接球的球心是重合的。且是正四周体的高线交点。再分析球心与一些特殊的点、线、面的位置、数量关系。在内切球这种情形下，球心垂直于每一个面，且到每一个面的距离相等。在外接球这种情形下，球心到每个顶点的距离相等。A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

28、纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方法 1：展平分析：（最重要的方法）如图：取立体图形中的关键平面图形进行分析！连接 DO 并延长交平面 ABC 于点 G，连接 G O1连接 D O1 并延长交 BC 于点 E，就 A 、G、E三点共线。A在平面 AED 中，由相像学问可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E O1 O1 DEG1GA2GOBD可编辑资料 - -

29、- 欢迎下载精品名师归纳总结 G O1 / AD且G O1 1AD3EO1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 GO O1 DOAO O11CAO3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： AO334 A O14h3 6 a6 a434可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O1 O1114 A O14h46 a6 a312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4V 外接球3363DO8a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4363可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V 内切球3OO1216a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

30、名师归纳总结方法 2：体积分析：（最敏捷的方法）如图：设正四周体ABCD 的内切球球心为 O ，连接 AO、BO、CO、DO，就正四周体被分成四个完全一样的三棱锥。设内切球半径为 r，正四周体的棱长为a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就正面四体的高为：h22236aa3a32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就： 4 个完全一样的三棱锥体积=正四周体体积A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 OD- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

31、名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有： 4 13 12 sin 60 r a2112 sin 60 6 aa323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r6 a 1243 V 内切球3r63216a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3V 外接球4hr346 a3336 a6a3128可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法 3：方程分析：（最常见的做法）如图：明显 AO 、DO 是外接球半径， OO1 是内切球半径。A在 RtDO O1 中，由勾股写得可得以下方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22DOOO12DO21O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中：23BDaODO1321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DOD O16CA O1h3a可编辑资料 -