第五章平面向量与直线平面简单几何体.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载考前突破5平面对量与直线、平面、简洁几何体（B）考点阐释1.向量是数学中的重要概念，并和数一样， 也能运算 .它是一种工具， 用向量的有关学问能有效的解决数学、物理等学科中的许多问题.向量法和坐标法是讨论和解决向量问题的两种方法.坐标表示， 使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数” 的运算处理 “形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于讨论空间中涉及直线和平面的各种问题.2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化.试题类编一、挑选题可编辑资料 -

2、- - 欢迎下载精品名师归纳总结1（.2002 上海春， 13）如 a、b、c 为任意向量， m R，就以下等式不肯定成立的是 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. （a+b）+c=a+（ b+c）B. （a+b） c=a c+b cC.m（ a+b） =ma+mbD. （a b） c=a（ b c）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.（ 2002 天津文 12，理 10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A（ 3， 1），B（ 1，3），如点C 满意 OCOAOB ，其中 、 R，且 + =1 ，就点 C 的轨迹方程为（）A.3 x+2y 11=0

3、B. （x 1） 2+（ y2） 2=5C.2x y=0D. x+2y 5=03.（ 2001 江西、山西、天津文）如向量a=（ 3， 2）， b=（0， 1），就向量2b a 的坐标是（）A. （3， 4）B. （ 3， 4）C.（3， 4）D. （ 3， 4）4.（ 2001 江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线 y2=2 x 与过焦点的直线交于A、B 两点，就 OAOB 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33A.B.44C.3D. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.（ 2001 上海）如图5 1，在平行六面体ABCD A1 B1C1D 1 中

4、，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M 为 AC 与 BD 的交点，如A1 B =a，A1D1=b，A1 A =c.就以下向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中与 B1M相等的向量是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1A. a+21b+cB.211a+b+c22图 51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1C.a211b+cD. a221b+c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

5、6.（ 2001 江西、山西、天津理，5）如向量a=（ 1，1）， b=（1， 1）， c=（ 1， 2），就 c 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载13132222A. a+bB.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3C.a21bD.231a+b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7

6、.2000 江西、山西、天津理，4设 a、b、c 是任意的非零平面对量,且相互不共线 ,就（ a b） c（ c a） b=0 |a| |b|0） .如图 5 2.（ 1）证明：三棱柱ABCA1B1C1 是正三棱柱。（ 2）如 m=2 n，求直线CA 1 与平面 A1ABB1 所成角的大小 .图 5 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17.（ 2002 上海春， 19）如图 5 3，三棱柱OAB O1A1B1，平面 OBB1O1平面 OAB ，O1OB=60 ， AOB=90，且 OB=OO 1=2 ， OA=3 .求：（ 1）二面角O1 AB O 的大小。可编辑资料 - -

7、- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（ 2）异面直线A1B 与 AO1 所成角的大小.（上述结果用反三角函数值表示）18.（ 2002 上海， 17）如图 5 4，在直三棱柱ABO A B O中， OO =4， OA=4， OB=3， AOB=90， D 是线段 A B的中点， P 是侧棱 BB 上的一点，如OPBD，求 OP 与底面 AOB 所

8、成角的大小.（结果用反三角函数值表示）图 5 3图 5 4图 5 519.（ 2002 天津文 9，理 18）如图 5 5，正三棱柱ABCA1B1C1 的底面边长为a，侧棱长为2 a.（ 1）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、 C1 的坐标。（ 2）求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角 .20.（ 2002 天津文 22，理 21）已知两点M（ 1，0），N（ 1，0），且点 P 使 MPMN ,PMPN, NMNP 成公差小于零的等差数列.（ 1）点 P 的轨迹是什么曲线？（ 2）如点 P 坐标为（ x0， y0）， 为 PM 与 PN 的夹角，求tan .21.（ 2001 江

9、西、山西、天津理）如图5 6，以正四棱锥VABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz，其中 Ox BC，Oy AB，E 为 VC 的中点，正四棱锥底面边长为 2a，高为 h.（ 1）求 cos。（ 2）记面 BCV 为，面 DCV 为 ，如 BED 是二面角 VC 的平面角， 求 BED .图 56图 5 7图 5 822.（ 2001 上海春）在长方体ABCD A1B1C1D1 中，点E、F 分别在BB1 、DD 1 上，且AE A1B， AF A1D.（ 1）求证： A1C平面 AEF 。（ 2）如规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.就在空间

10、中有定理： 如两条直线分别垂直于两个平面，就这两条直线所成的角与这两个平面所成 的角相等 .试依据上述定理，在AB =4，AD=3，AA 1=5 时，求平面AEF 与平面 D 1B1BD 所成角的大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载小.（用反三角函数值表示）23.（ 2001 上海）在棱长为a 的正方体OABC O AB C

11、中， E、F 分别是棱 AB 、 BC 上的动点，且AE=BF .如图 5 8.（ 1）求证： A F C E.（ 2）当三棱锥B BEF 的体积取得最大值时，求二面角B EF B 的大小（结果用反三角函数表示）24.（2000 上海春， 21）四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形，AB=2 ，1， 4 ， AD =4 ， 2， 0 ， AP = 1， 2， 1.（ 1）求证： PA底面 ABCD 。（ 2）求四棱锥P ABCD 的体积。（ 3）对于向量a= x1， y1， z1 ，b= x2， y2， z2 ， c= x3， y3， z3 ，定义一种运算：（ a b）c

12、=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2 x1y3z2 x2 y1z3 x3y2z1，试运算（ AB AD ） AP 的肯定值的值。说明其与四棱锥P ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB AD ） AP 的肯定值的几何意义.25.（ 2000 上海， 18）如图 5 9 所示四周体ABCD 中， AB、BC、BD 两两相互垂直，10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 AB=BC=2，E 是 AC 中点， 异面直线AD 与 BE 所成的角的大小为arccos10ABCD 的体积 .，求四周体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 59图 5 10图 5

13、1126.（ 2000 天津、 江西、 山西） 如图BCA =90，棱 AA1=2， M 、N 分别是5 10 所示， 直三棱柱A1B1、A1A 的中点 .ABC A1B1C1 中，CA=CB=1，（ 1）求 BN 的长。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求 cos的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结27.（ 2000 全国理， 18）如图511，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 的底面ABCD是菱形且 C1CB= C1CD=BCD =60 .（ 1）证明： C1C BD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）假定 CD =2

14、，CC 1=3，记面C1BD 为 ，面 CBD 为 ，求二面角 BD 的2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面角的余弦值。CD（ 3）当CC1的值为多少时，能使A1C平面 C1BD？请给出证明 .可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品名师归纳总结28（.1999 上海，20）如图 5 12，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是始终角梯形，BAD=90 ， AD BC， AB=BC=a， AD =2a，且PA底面 ABCD ， PD 与底面成30角 .（ 1）如 AEPD ， E 为垂足，求证：BE PD。（ 2）求异面直线AE 与 CD 所成角的大小.29.（ 1995 上海， 21）如图 5 13 在空间直角坐标系中BC=2，原点图 5 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O 是 BC 的中点，点A

16、的坐标是（且 BDC =90， DCB=30 .3 , 122，0），点 D 在平面 yOz 上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求向量 OD 的坐标。（ 2）设向量AD 和 BC 的夹角为 ，求 cos 的值 .图 513可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案解析1.答案： D解析：由于（a b） c=|a |b| cos c 而 a（ b c） =|b| |c| cos a 而 c 方向与 a方向不肯定同向.评述：向量的积运算不满意结合律.2.答案： D解析：设 OC =（ x， y）， OA =（ 3，1）， OB =（ 1， 3）， OA =（3

17、， ）， OB =（ ，3 ）又 OA + OB =（3 ， +3 ）x3（ x， y） =（ 3 ， +3 ），y3又 +=1因此可得x+2y=5评述：此题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.3.答案： D解析：设（ x， y）=2b a=2（ 0， 1）（ 3，2） =（ 3， 4）.评述：考查向量的坐标表示法.4.答案： B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：设 A（x1，y1 ），B（ x2，y2），AB 所在直线方程为y=k（ x1 ），就 OA2OB =x1x2+y1 y2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

18、精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yk x又y22x122 ，得 k2x2 （ k2+2）x+ k4=0 ， x1x 2=1，而 y1y2=k（ x141）k（ x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1）=k22（ x11）（ x221） =1.

19、 x1x2+y1y2=2131=.44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：由于直线AB 是过焦点的弦，所以y1 y2=p2 1.x1x2 同上 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=评述：此题考查向量的坐标运算，及数形结合的数学思想.5.答案： A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：B1 MB1 BBMA1 A1 BA2BC =c+1（ a+b） =211a+b+c22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评述： 用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，此题考查的是基

20、本的向量相等，与向量的加法.考查同学的空间想象才能.6.答案： B解析：设 c=ma+nb，就（ 1， 2） =m（ 1， 1）+n（ 1， 1） =（m+n，m n） .12mn1mmn2n32评述：此题考查平面对量的表示及运算. 7.答案： D解析：平面对量的数量积不满意结合律.故假。由向量的减法运算可知|a|、 |b|、 |a b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真。由于（ bc）a（ ca）bc=（ bc）ac（ ca）bc=0 ，所以垂直 .故假。（ 3a+2b）（ 3a 2b） =9 a a 4b b=9|a|2 4|b|2 成立 .故真 .评述：此题考查平面

21、对量的数量积及运算律.8.答案： A解析：设直线l 的方程为y=kx+b（此题 k 必存在），就直线向左平移3 个单位，向上平移 1 个单位后，直线方程应为y=k（ x+3）+b+1 即 y=kx+3 k+b+11由于此直线与原直线重合，所以两方程相同.比较常数项得3k+b+1= b. k=.3评述：此题考查平移变换与函数解析式的相互关系.9.答案： 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：（ 2ab） a=2a2b a=2|a|2 |a| |b| cos120 =2 4 2 5（1） =13.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评述：此题考查向量的运算关系.1

22、0.答案： 90解析：由 | + |=| |，可画出几何图形，如图514.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| |表示的是线段AB 的长度， | + |表示线段OC 的长度，由|AB|=|OC |平行四边形OACB 为矩形，故向量 与 所成的角为90 评述：此题考查向量的概念，

23、向量的几何意义，向量的运算.这些学问不只在学习向量时用到，而且在复数、 物理学中也是一些最基本的学问 .11.答案： 4图 5 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： OA = 1，2 ， OB =3 ，m ， AB 1 4+2（ m 2）=0， m=4.OBOA =4 ，m 2 ，又 OA AB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评述：此题考查向量的概念，向量的运算，向量的数量积及两向量垂直的充要条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12.答案：（2 , 32 ）22可编辑资料 - - - 欢

24、迎下载精品名师归纳总结解析：设a= OA =2+i ， b= OB ，由已知 OA 、 OB 的夹角为，由复数乘法的几何意4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义，得 OB = OA （ cos4+isin） =（ 2+i ） 2 422 i 2232i .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b=（2 , 32 ）22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评述：此题考查向量的概念，向量与复数一一对应关系，考查变通、变换等数学方法，以及运用数学学问解决问题的才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13.答案： 2解析：由题意，得a+b=（m+

25、2） i+（ m 4） j=（ m+2 ， m 4）a b=mi+（ m 2） j=（ m， m2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ a+b）（ a b），（ m+2） m+（ m 4）（ m2） =0， m=2.评述：此题考查平面对量的加、减法,平面对量的数量积及运算,两向量垂直的充要条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14.答案： 63解析：解方程组a+b=2i 8j a b= 8i+16 j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a= 3i+4 j=（ 3，4）得b=5i 12 j=（ 5， 12） a b=（ 3） 5+4 （ 12） = 6

26、3.评述：此题考查平面对量数量积的坐标表示及求法.15.答案：（ 4， 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：设 P（ x， y），由定比分点公式x01621122, y01321，112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 P（ 2， 1），又由中点坐标公式，可得B（ 4， 2） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

27、 - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16.（ 1）证明：BCACAB m , 23m ,02， |BC |=m，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 AB m , 23 m,0, AC2 m,0,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 | AB |=m， | AC |=m， ABC 为正三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 AB AA1=0，即 AA1 AB，同理 AA1 AC， AA1平面ABC，从而三棱柱ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

28、总结A1B1C1 是正三棱柱 .（ 2）解：取AB 中点 O，连结 CO 、A1O .2 COAB ，平面 ABC平面 ABB1A1， CO 平面 ABB1A1，即 CA1O 为直线 CA1 与平面 A1ABB1 所成的角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3在 RtCA 1O 中， CO=2m， CA1=mn2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sinCA1O=CO CA12，即 CA1 O=45 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17.解：（ 1）取 OB 的中点 D ，连结 O1D ， 就

29、 O1D OB.平面 OBB 1O1平面 OAB， O1D 平面 OAB.过 D 作 AB 的垂线，垂足为E，连结 O1E.就 O1E AB. DEO 1 为二面角O1 AB O 的平面角 .由题设得 O1D=3 ，图 5 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinOBA=OA21，OA2OB27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 DE=DBsinOBA=217在 Rt O1DE 中， tanDEO 1=7 ， DEO 1=arctan7 ，即二面角O1 AB O 的大小为arctan7 .（ 2）以 O 点为原点，

30、分别以OA、OB 所在直线为x、y 轴，过 O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图5 15.就O（ 0，0，0），O1（ 0，1，3 ），A（3 ，0，0），A1（3 ，1，3 ），B（ 0，2，0）.设异面直线A1B 与 AO1 所成的角为 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - -

31、- 欢迎下载精品名师归纳总结就 A1BOBOA13,13,O1 AOAOO13,1,3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos =|A1B A1B |O1 A1，| O1 A |7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1异面直线A1B 与 AO1 所成角的大小为arccos.718.解法一：如图516，以 O 点为原点建立空间直角坐标系.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意，有B（ 3，0， 0）， D（，2， 4），设 P（ 3，0， z），就2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

32、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD = 3 ， 2， 4 ， OP =3 ，0， z.299图 5 16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BD OP， BD OP =+4z=0，z=.28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BB平面AOB， POB 是 OP 与底面 AOB 所成的角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanPOB=33， POB=arctan.88可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：取O B中点 E，连结 DE 、BE，如图 5 17，就 DE平面 OBB O， BE 是 BD 在平面 OBB O

33、内的射影 .又 OP BD.由三垂线定理的逆定理，得OP BE.在矩形 OBB O中，易得RtOBP RtBB E，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BPOBB EBB9，得 BP=.8图 517可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（以下同解法一）19.解：（ 1）如图 5 18，以点 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为Oy 轴，以 AA 1 所在直线为 Oz 轴，以经过原点且与平面 ABB1A1 垂直的直线为 Ox 轴，建立空间直角坐标系 .由已知，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A（ 0，0，0），B（ 0，a，0），A（10，0，2a），C（13 a, a , 222a ）.图 5 18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a（ 2）坐标系如图，取A1B1 的中点 M ，于是有M （ 0，,2