空间几何体的表面积和体积考点讲解及经典例题解析.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -空间几何体的表面积和体积习题讲解一课标要求：明白球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的运算公式（不要求记忆公式）。二命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依靠 .因而要娴熟把握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。考查形

2、式：（ 1）用挑选、填空题考查本章的基本性质和求积公式。（ 2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的运算问题。与多面体和旋转体中某些元素有关的运算问题。三要点精讲1多面体的面积和体积公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名称侧面积 S侧 全面积 S全 体 积 V 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结棱棱柱直截面周长l柱直棱柱chS侧2 S底S底hS底S截面积hh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结棱棱锥各侧面积之和Sh1S侧S底底可编辑资料 - - -

3、 欢迎下载精品名师归纳总结锥正棱锥1 ch32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上底棱棱台各侧面面积之和S侧S上底S下底1 h SS下底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结台正棱台1 c2c h3S上底S下底 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表中 S 表示面积，c

4、、 c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高， h 表示斜高， l 表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2 rlrlr1r2 r 1r r1r2 l22r1r2 42r1r 2h1hr 2r r11r 2 4r 3S全2 r 1r Vr 2h22333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表中 l 、 h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1 、 r2 分别表示圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结台 上、下底面半径，R 表示半径。四典例解析题型 1：柱体的体积和表面积例 1一个长方体全面积是20cm2，全部棱长的和是24cm，求长

5、方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm、lcm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依题意得：2 xy4 xyzyzzx202412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 2） 2 得： x 2+y 2+z2+2xy+2yz+2xz=36 （ 3） 由（ 3）（ 1）得 x2+y2+z2 =16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心

6、总结归纳 - - - - - - - - - - - -即 l 2=16所以 l=4cm 。点评： 涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例 2如图 1 所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C1D1 中，已知 AB=5 ，AD=4 ，AA 1=3 ，AB AD ， A 1AB= A1AD=。3（ 1）求证：顶点A 1 在底面 ABCD 上的射影O 在 BAD 的平分线上。（ 2）求这个平行六面体的体积。图 1图 2解析：（ 1）如图 2，连结 A 1O，就 A 1

7、O底面 ABCD 。作 OM AB 交 AB 于 M ，作 ONAD 交 AD 于 N，连结 A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M AB ，A 1N AD 。 A 1AM=A 1AN ， RtA 1NA Rt A 1MA, A 1M=A 1N， 从而 OM=ON 。点 O 在 BAD 的平分线上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） AM=AA 1cos13=3=322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - -

8、- - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AO=AM= 32 。cos24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1又在 Rt AOA 1 中， A 1O2=AA2 AO2=99 = 9 ，22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A 1O= 32232，平行六面体的体积为V542302 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

9、总结题型 2：柱体的表面积、体积综合问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6 ，这个长方体对角线的长是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）A 23B 32C 6D6解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1， b2 ， c3 ，就对角线l 的长为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l =a 2b2c 26 。答案 D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例 4如图，三棱柱ABC A1B1C1 中，如 E、F 分别为 AB

10、、AC 的中点，平面EB1C1 将三棱柱分成体积为V1、 V2 的两部分，那么V1 V2= _。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，就 V=V1+V2 Sh。 E、F 分别为 AB、AC的中点， S AEF= 1 S,41 hS+ 1 S+S1 =734412V1=Sh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V2=Sh-V1= 512Sh，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

11、 - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - V 1 V 2=7 5。点评： 解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最终用统一的量建立比值得到结论即可。题型 3：锥体的体积和表面积例 5 （2021 山东卷 6）P右图是一个几何体的三视图，依据图中数据，D可得该几何体的表面积是DEA9 （ B） 10AOCC11 D12B（ 2021 江西卷 10）连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4 的球的两条弦 AB 、CD 的长度分别等于 27 、43 ， M 、N 分别为 AB 、CD 的中点，每条弦

12、的两端都在球面上运动，有以下四个命题：弦 AB 、 CD 可能相交于点 M弦 AB 、CD 可能相交于点 N MN 的最大值为 5 MN 的最小值为 1其中真命题的个数为CA1 个B 2 个C 3 个D4 个（ 2021 湖北卷 3）用与球心距离为 1的平面去截球，所得的截面面积为，就球的体积为B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.8B.8233C.82D.323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在才能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - -

13、 - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方面主要考查空间想象才能。例 6（ 2021 北京， 19）（本小题满分12 分）如图，在四棱锥PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ， AB DC ， PAD 是等边三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角形，已知BD2 AD8 ， AB2 DC45 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M（）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面MBD平面 PAD 。DCAB（）求

14、四棱锥PABCD 的体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）证明：在 ABD 中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 AD4 ， BD8 ， AB45 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 AD 2BD 2AB2 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M故 ADBD DCAOB又平面 PAD平面 ABCD ，平面 PAD平面 ABCDAD ，BD平面 ABCD ， 所以 BD平面 PAD ，又 BD平面 MBD ，故平面 MBD平面 P

15、AD （）解：过P 作 POAD 交 AD 于 O ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由于平面 PAD平面 ABCD ，所以 PO平面 ABCD 因此 PO 为四棱锥 PABCD 的高，又 PAD 是边长为4 的等边三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 PO3423 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

16、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在底面四边形ABCD 中， AB DC， AB2DC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB 中，斜边AB 边上的高为4885 ，455此即为梯形ABCD 的高，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以四边形ABCD 的面积为 S2545852524 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故VP ABCD124231633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 此题比较全面的考查了空间点、线、面的位置关系。要

17、求对图形必需具备肯定的洞悉力，并进行肯定的规律推理。题型 4：锥体体积、表面积综合问题例 7 ABCD是边长为4 的正方形， E、F 分别是 AB 、AD 的中点， GB 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且GC 2，求点 B 到平面 EFC 的距离？解：如图，取EF 的中点 O，连接 GB、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B EFG。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - -

18、- - - - - - - -设点 B 到平面 EFG 的距离为h，BD ， EF， CO 。而 GC 平面 ABCD ，且 GC 2。由，得点评： 该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点， EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯独性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例 8（ 2007 江西理， 12）A如图，在四周体ABCD中，截面 AEF 经过四周体的内切球 （与OD四个面都相切的球）球心O，且与 BC， DC分别截于E、F，F假如截面将四周体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEBEFD与三棱锥A EFC的表面积分别是S

19、1，S2，就必有（）CA S1 S2B S1 S2C S1=S2DS1， S2 的大小关系不能确定解：连 OA 、OB 、OC、 OD ，就 V A BEFD V O ABD V O ABE VO BEFDV A EFC V O ADC V O AEC V O EFC 又 V A BEFD VA EFC，而每个三棱锥的高都是原四周体的内切球的半径，故SABD SABE SBEFD SADC SAEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

20、下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -SEFC 又面 AEF 公共，应选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积第一要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型 5：棱台的体积、面积及其综合问题例 9（ 2021 四川理， 19）（本小题满分12 分）如图，面 ABEF面 ABCD，四边形 ABEF与四边形 ABCD都是直角梯形， BAD= FAB=90， BC 1 AD， BE 1 AF， G、H 分别是 FA、FD的中点。22 证明：四边形BCHG是平行四边形。 C、D、E、F 四

21、点是否共面？为什么？ 设 AB=BE，证明：平面ADE平面 CDE.FGHEADBC解法一：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 由题设知， FG=GA,FH=HD.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 GH12AD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 BC1

22、AD , 故 GHBC.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以四边形BCHG是平行四边形. C、D、F、E四点共面 . 理由如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 BE1AF , G是 FA 的中点知， BEGF，所以 EF BG.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 知 BG GH，故 FH共面 . 又点 D 在直线 FH上.所以 C、D、F、E四点共面 . 连结 EG，由 AB=BE，BEAG及 BAG=90知 ABEG是正方形 .故 BGEA. 由题设知， FA、AD、AB两两垂直，故AD平面 FABE，因此 EA是 ED在平面 FABE

23、内的射影，依据三垂线定理，BG ED.又 EDEA E，所以 BG平面 ADE.由 知， CH BG，所以CH平面ADE. 由 知 F平面 CDE. 故 CH平面 CDE，得平面 ADE平面 CDE.解法二：由题设知， FA、AB、AD两两相互垂直 .如图，以A 为坐标原点，射线AB为 x 轴正方向建立直角坐标系A- xyz.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 设 AB=a,BC=b,BE=，c就由题设得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A0,0,0,B a,0,0,C a,b,0,D0,2 b,0,E a,0, c, G0,0,c, H0, b,c .可编辑资料

24、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以， GH0, b,0, BC0, b,0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 GHBC.又点 G不在直线BC上.所以四边形BCHG是平行四边形. C、D、F、E四点共面 . 理由如下： 由题设知， F0,0,2c ，所以可编辑资料 - - - 欢迎

25、下载精品名师归纳总结EFa,0,c, CHa ,0, c, EFCH ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 CEF， HFD，故 C、 D、 F 、 E四点共面 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 由 AB=BE，得 c=a，所以 CHa ,0, a, AE a,0,a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 AD0, 2b,0, 因此CHAE0, CHAD0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即CH AE, CH AD,又AD AE =A, 所以 CH平面 ADE,故由 CH平面 CDF

26、E，得平面ADE平面 CDE.点评： 该题背景较新奇，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规章 几何体 （拟柱体）中， 能考查考生的应变才能和适应才能，而第三步讨论拟柱体的近似运算 公式与可精确运算体积的辛普生公式之间运算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了考生连续学习的潜能。例 10（ 1）（ 2021 四川理， 8）设 M , N 是球心 O 的半径 OP 上的两点，且NPMNOM ，分别过N , M , O 作垂线于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 22 页 - - - - - -

27、 - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -OP 的面截球得三个圆，就这三个圆的面积之比为： D （） 3,5,6（） 3,6,8（） 5,7,9（） 5,8,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】： 设分别过N , M ,O 作垂线于 OP 的面截球得三个圆的半径为r1, r2 , r3 ，球半径为R ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222123就： r 2R22 R5 R2 , r 2R21 R8 R2 , r 2R22 RR239393可编辑资料 - - -

28、欢迎下载精品名师归纳总结222 r: r: r5 :8 : 9这三个圆的面积之比为：5,8,9应选 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系。【突破】：画图数形结合，提高空间想象才能，利用勾股定理。例 11（ 2021 四川文， 12）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如三棱柱的一个侧面是边长为2 的正方形， 另外两个侧面都是有一个内角为600 的菱形， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结该棱柱的体积等于 B 0（）2（） 22（） 32（） 42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

29、【解】： 如图在三棱柱ABCA1B1C1 中，设AA1 B1AA1C160 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由条件有C1 A1 B1600 ，作 AO面A1B1C1于点 O ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 cosAA1OcosAA1 B1cos60 013可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosB1 A1Ocos30033可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sinAA O6 AOAAsinAAO26可编辑资料 - - - 欢迎下载精

30、品名师归纳总结131131026可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 VABC A BCS A B CAO22sin 6022应选 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1 AO11 1 123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【点评】：此题重点考察立体几何中的最

31、小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象才能。【突破】： 具有较强的空间想象才能，精确的画出图形是解决此题的前提，熟识最小角定理并能精确应用是解决此题的关键。例 12如图 9 9，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.如放入一个半径为Rr 的实心铁球，水面高度恰好上升r ，就=。r解析：水面高度上升r ，就圆柱体积增加R2 r 。恰好是半径为r 的实心铁球的体积，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此有4Rr 3=R2r。故3r23。答案为323 。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：此题主要考查旋转体的基础学问以及运算才能和分析、解决问题的才能。题型

32、 7：圆锥的体积、表面积及综合问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例13 已 知 过 球 面 上A, B, C 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 ， 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABBCCA2 ，求球的表面积。解：设截面圆心为O ，连结 O A ，设球半径为R ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 O A23223 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtO OA 中，OA2O A2O O 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

33、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 R2 23 21 R2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 R43，264可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S4R。9点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例 14如下列图，球面上有四个点P、A 、B 、C，假如 PA， PB， PC 两两相互垂直，且 PA=PB=PC= a，求这个球的表面积。解析：如图，设过A 、B、C 三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥 PABC 中， PA， PB， PC 两两相互垂直，且PA=PB=PC= a, AB=BC=CA=2 a,且 P 在 ABC 内的射影即是ABC 的中心 O。可编辑资料 -