空间向量与立体几何知识点.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点立体几何空间向量学问点总结学问网络：学问点拨：1、空间向量的概念及其运算与平面对量类似，向量加、减法的平行四边形法就，三角形法就以及相关的运算律仍旧成立空间向量的数量积运算、共线向量定理、 共面对量定理都是平面对量在空间中的推广，空间向量基本定理就是向量由二维到三维的推广rrrrrr2、当 a 、 b 为非零向量时a b0ab 是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量讨论线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法就、有关运算律联系来解决垂直的论证问题可编辑资料 - - - 欢迎下载

2、精品名师归纳总结3、公式cosrr a, brra brrab是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两异面直线所成的角（但要留意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范畴上的区分），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过讨论方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、 平面与平面等的位置关系以及有关的运算问题5、用空间向量判定空间中的位置关系的常用方法（ 1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量

3、（ 2）线线垂直rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即a b0ab 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点（ 3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直。证明可在平面内找到

4、一个向量与直线方向向量是共线向量。利用共面对量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量（ 4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线方向向量与平面法向量平行。利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题（ 5）面面平行证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）。转化为线面平行、线线平行问题（ 6）面面垂直证明两个平面的法向量相互垂直。转化为线面垂直、线线垂直问题6、运用空间向量求空间角（ 1）求两异面直线所成角rrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用公式cosa, ba b ab，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0,但务必留意两

5、异面直线所成角的范畴是2，rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故实质上应有：（ 2）求线面角coscosa, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角。另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量 的夹角，即可求出直线与平面所成的角，其关系是sin | cos |（ 3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小。另一种方法是转化为求二

6、面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离（ 1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模（ 2）点与面的距离点面距离的求解步骤是：求出该平面的一个法向量。求出从该点动身的平面的任一条斜线段对应的向量。求出法向量与斜线段向量的数量积的肯定值再除以法向量的模，即得要求的点面距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点离备考建议：1、空间向量的引入，把平面对量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，应体会向量方法在讨论几何图形中的作用，进一步进展空间想像才能和几何直观才能2、敏捷挑选运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的位置和作用，它的特点是用代数方法解决立体几何问题，无需进行繁、难的几何作图和推理论证，起着从抽象到详细、化难为易的作用因此，应娴熟把握

8、平面法 向量的求法和用法4、加强运算才能的培育，提高运算的速度和精确性第一讲空间向量及运算一、空间向量的有关概念1、空间向量的定义在空间中， 既有大小又有方向的量叫做空间向量留意空间向量和数量的区分数量是只有大小而没有方向的量2、空间向量的表示方法空间向量与平面对量一样，也可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大r小，用有向线段的方向表示向量的方向如向量a 对应的有向线段的起点是A ，终点是B，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ruuurruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就向量 a 可以记为AB3、零向量aAB，其模长为或r可编辑资料 - - -

9、 欢迎下载精品名师归纳总结长度为零的向量称为零向量，记为0 零向量的方向不确定，是任意的由于零向量的这一特殊性，在解题中肯定要看清题目中所指向量是“零向量”仍是“非零向量”4、单位向量模长为 1 的向量叫做单位向量单位向量是一种常用的、重要的空间向量，在以后的学习中仍要常常用到5、相等向量rrrr长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量如向量a 与向量 b 相等，记为a = b .零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关6、相反向量rr长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量a 的相反向量记为a二、共面对量1、定义平行于同一平面的

10、向量叫做共面对量2、共面对量定理rrurrr如两个向量 a 、 b 不共线，就向量p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在实数对x 、y,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点urrr使得 p = xayb 。3、空间平面的表达式uuuruuuruuur空间一点P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y 使

11、 MPxMAyMBuuuruuuruuuruuuurOPxOAyOBzOM（其中 xyz或 对 空 间 任 一 定 点O, 有或1 ）这几个式子是M,A,B,P 四点共面的充要条件三、空间向量基本定理1、定理rrrur假如三个向量a 、 b 、 c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯独的有序实数组x 、urrrry、z，使 p = xaybzc2、留意以下问题（ 1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底r（ 2）由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个r向量不共面，就隐含着它们都不是0 。（ 3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中

12、的某一个向量，两者是相关联的不同概念rrr由空间向量的基本定理知，如三个向量a 、 b 、 c 不共面。那么全部空间向量所组成的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ururrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结集合就是p | pxaybzc, x, y, zR,这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的， 所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以我们把a, b, c称为空间的一个基底。a 、 b 、 c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量

13、都可构成空间的一个基底3、向量的坐标表示（ 1）单位正交基底假如空间的一个基底的三个基向量相互垂直，且长都为1，就这个基底叫做单位正交基rrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结底，常用i, j, k表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底r rr i, j , krrr以点 O 为原点，分别以i 、 j 、 k 的方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向为正方向建立三条数轴:x 轴、 y 轴、 z 轴，它们都叫坐标轴就建立了一个空间直角坐标可编辑资料

14、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结r系 O xyz, 点 O 叫原点，向量irr、 j 、 k 都叫坐标向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）空间向量的坐标rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结给定一个空间直角坐标系和向量a ,且设 i 、 j 、 k 为坐标向量，存在唯独有序数组（x，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料

15、word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y， z）使rx, y, zrrrrraxiy jzk，有序数组（ x ， y， z）叫做 a 在空间直角坐标系O xyz 中的坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标，记为 a =。uuruuururrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对坐标系中任一点A ，对应一个向量OA ，就 OA = axiy jzk。在单位正交基底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrruuru可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

16、结i 、 j 、 k 中与向量 OA 对应的有序实数组（x，y ， z），叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ， y ，z） .四、空间向量的运算1、空间向量的加法加法的运算律：交换律r ar br brrrrrrrabcabc三角形法就（留意首尾相连）、平行四边形法就，a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结合律2、空间向量的减法及几何作法uuurruuurruuurrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结几何作法：在平面内任取一点O，作 OAa , OBb ，就 BAab ，即从 b 的终点r指向 a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义3、空间

17、向量的数乘运算（ 1）定义rr实数与 a 的积是一个向量，记为a ，它的模与方向规定如下：rraarrrrrr 当0 时，a 与 a 同向。当0 时，a 与 a 异向。当0 时a0留意：rr 关于实数与空间向量的积a 的懂得：我们可以把a 的模扩大（当1 时），也可r以缩小（ 1时），同时，我们可以不转变向量a 的方向（当0 时），也可以转变向r量 a 的方向（当0 时）。.rrrr 留意实数与向量的积的特殊情形，当0 时，a0。当0 ，如 a0 时，rr有a0。rr 留意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算比如a ，a 无法运算。（ 2）实数与空间向量的积满意的运算律可编辑资料 - -

18、- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设、是实数，就有rraarrraaarrrrabab实数与向量的积也叫数乘向量4、共线向量（ 1）共线向量定义（结合律）（第一安排律）（其次安排律）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，就这些向量叫做共

19、线向量，也rrrr叫做平行向量。如a 与 b 是共线向量，就记为a / b 。留意：零向量和空间任一向量是共线向量（ 2）共线向量定理rrrrrrrr对空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）， a / b 的充要条件是存在实数使a b（ 3）空间直线的向量表示式r假如直线l 是经过已知点A且平行于已知非零向量a 的直线， 那么对任一点O，点 Puuuruuurrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在直线l 上的充要条件是存在实数t，满意等式OPOAta ，其中向量a 叫做直线l 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

20、方向向量留意：uuurruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如在l上取 ABa ，就有OPOAt AB,OPOAtOBOA1tOAtOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uruuuruuuruuurB OA1tOAtOB上式可解决三点P、A 、B 共线问题的表示或判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1uuur1 uuur1 uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t当2 时，OPOAOB 22，点 P 为 AB 的中点，这是中点公式的向量表达式可编辑资料 - - -

21、 欢迎下载精品名师归纳总结uuur1uuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur 如 P 分 AB 所成比为，就OPOAOB 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、空间直角坐标系在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两相互垂直，轴的方向通常这样挑选：从 z 轴的正方向看， x 轴正半轴沿逆时针方向转900 能与 y轴的正半轴重合。让右手拇指指向x 轴正方向 食指指向y 轴的正方向， 假如中指指向z 轴的正方向， 那么称这个坐标系为右手直 角坐标系。一般情形下，建立的坐标系都是右手直角坐标系在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使 xOy=135 ， y

22、Oz=90 。空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，是空间向量模长公式的推广，假如知道儿何体上任意两点的坐标我们就可直接套用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P x , y , z , P x , y , z PP xx 2 yy 2 zz 2可编辑资料 - -

23、- 欢迎下载精品名师归纳总结设11112222，就1 2212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的， P1（ x,y,z ）到原点的距离6、空间向量的数量积运算| OP |x 2y 2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b| a | | b | cosa, b其中a, b为 a 与1. 性质b 的夹角，范畴是0， ，留意数量积的性质和运算律。如 a 、b 是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，是a 与 e 的夹角，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） e aae| a |

24、 cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） abab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如a 与 b 同向，就a b| a | b | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a 与 b 反向，就a b| a | b | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的： aa| a |2 或 | a |a a可编辑资料 - - - 欢迎下

25、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）如为a 、b的夹角，就cosa| a |b| b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5） | a2. 运算律b | | a | b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）结合律 a b ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）交换律 abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）安排律a bca bac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

26、不满意消去律和结合律即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a bb ca c， ab c 不肯定等于a b c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典型例题】例 1. 已知 P 是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA 、PB、PC、PD，点 E、F、G、H 分别为 PAB 、 PBC 、 PCD、 PDA 的重心。求证：E、F、G、H 四点共面。证明： 分别延长 PE、PF、PG、PH 交对边于M 、N、Q、R E、 F、G、H 分别是所在三角形的重心 M 、N、Q、R 为所在边的中点，顺次连结MNQR 所得四边形为平行四边形，且有可编辑资料 - - - 欢迎

27、下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PE23PM ，PF2 PN ，PG32 PQ，PH32 PR3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 MNQR 为平行四边形，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EGPGPE2 PQ32 PM32 MQ3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

28、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 MN3MR 2 PN3PM 2 PR3PM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 3 PF323 PE22 3 PH323 PE2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EFEH由共面对量定理得E、F、G、H 四点共面。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 如下列图，在平行六面体ABCDA B C D 中， ABa ， ADb ， AAc ，P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 CA 的中点， M 是 CD 的中点， N 是 CD

29、的中点，点 Q 是 CA 上的点，且CQ：QA=4 ：1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用基底 a ，b，c 表示以下向量：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） AP 。（ 2） AM 。（ 3） AN 。（ 4） AQ 。解： 连结 AC 、AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AP（ 1）1 AC2AA 1 ABAD2AA 1 abc 2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AM（ 2）1 AC2AD 1 AB22 ADAA 1 a 2b 1c2。可编辑资料 - - - 欢迎下载

30、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AN（ 3）1 AC2AD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 AB21 AB21AD 2 ADAA 2 AA ADAA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

31、归纳总结abc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AQ（ 4）ACCQAC4 AA 5AC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 AB51a51 AD514b554 AA 5c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：本例是空间向量基本定理的推论的应用此推论意在用分解定理确定点的位置，它对于以后用向量方法解几何问题很有用，选定空间不共面的三个向量作基向量并用它们表示出指定的向量，是用向量解决几何问题的一项基本功例 3. 已知空间四边形OABC 中， AOB= BOC= AOC ，且 OA=OB=OC 。M

32、、N 分别是 OA 、 BC 的中点， G 是 MN 的中点。求证：OG BC 。证明： 连结 ON ，设 AOB= BOC= AOC= 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又设 OAa ， OBb ， OCc ， 就 | a | b | c | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OG1 OM又2ON 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11OA 221OB2OC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 abc 4BCcb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - -

33、- - - - - - - -第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OG BC21 ab 4c cb 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ac4a bbcbc2b c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 OG BC1 | a4|2 cos| a |2cos|

34、a | 2| a |2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4. 已知空间三点A （0， 2， 3）， B（ 2， 1，6）， C（ 1， 1， 5）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求以AB 和 AC 为邻边的平行四边形面积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如 | a |3 ，且a 分别与AB 、AC 垂直，求向量a 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： （ 1）由题中条件可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB （2， 1，3），AC（1，3，2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosAB ，ACAB AC236114142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB | | AC |sinAB ，AC 32以 AB 、AC 为邻边的平行四边形面积：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S| AB | AC |sinAB ，AC