空间向量与立体几何知识点归纳总结3.docx

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1、精品名师归纳总结一对一授课教案学员姓名：年级：所授科目：上课时间：年月日时分至时分共小时老师签名同学签名教学主题空间向量与立体几何上次作业检查本次上课表现本次作业一学问要点。1. 空间向量的 概念 ：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（ 2）向量具有 平移不变性2. 空间向量的 运算 。定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPaR运算律： 加法交换律： abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法结合律：数乘安排律：ab

2、c ab abcab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算法就 ：三角形法就、平行四边形法就、平行六面体法就3. 共线向量。（ 1）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合 ,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a 平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于 b ,记作a / b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）共线向量定理 ：空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）, a / b 存在实数 ,使 a b 。（ 3）三点共线 ： A 、B 、C 三点共线 ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）与 a 共线的

3、单位向量为4. 共面对量 OCa axOAyOB其中xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）定义：一般的,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。说明：空间任意的两向量都是共面 的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）共面对量定理 ：假如两个向量a, b 不共线, p 与向量a,b 共面的条件是存在实数x, y 使 pxayb 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）四点共面：如 A 、B 、C、P 四点共面 APxABy AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 OPxOAy OBzOC 其中 xyz1可编辑资料 - -

4、- 欢迎下载精品名师归纳总结5. 空间向量基本定理：假如三个向量使 pxaybzc 。a, b, c 不共面, 那么对空间任一向量p ,存在一个唯独的有序实数组x, y, z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如三向量a,b,c不共面,我们把 a, b, c叫做空间的一个 基底,a,b, c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量都可以构成空间的一个基底。推 论 ： 设 O, A, B,C 是 不 共 面 的四 点 , 就 对 空 间 任 一 点 P , 都 存 在 唯 一的 三 个 有 序 实数x, y, z , 使可编辑资料 -

5、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O Px O Ay OBzO。C6. 空间向量的直角坐标系：（ 1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz 中,对空间任一点 A ,存在唯独的有序实数组x, y, z ,使 OAxiyizk ,有序实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数组 x,标。y, z 叫作向量 A 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标,记作Ax, y, z, x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：点 A（x,y,z ）关于 x 轴的 的对称点为 x,-y,-z,

6、 关于 xoy 平面的对称点为 x,y,-z. 即点关于什么轴 /平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为 0,y,0,在平面 yOz 中的点设为 0,y,z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为1,这个基底叫单位 正交基底 ,用 i,j, k表示。空间中任可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一向量 axiy jzk=（ x,y,z）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）空间向量的直 角坐标运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

7、师归纳总结如 aa1 ,a2 , a3 , bb1, b2 , b3 ,就 aba1b1, a2b2, a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1, a2b2 , a3b3 , a a1,a2 ,a3R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ba1b1a2b2a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / ba1b1, a2b2 , a3b3 R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

8、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1a2b2a3b30 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A x1,y1, z1, B x2,y2, z2 ,就 AB x2x1 , y2y1, z2z1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 定 比 分 点 公 式 ： 如A 1x ,1y ,1z,B x2 , y2 , z2 , APPB, 就 点P坐 标 为可编辑资

9、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x11x2 , y11y2 , z11z2 。推导 ：设 P（ x,y,z）就 xx1, yy1, zz1x2x, y2y,z2z,明显,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 P 为 AB 中点时,P x1x2 , y12y2 , z12z2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC中, A（x1, y1 , z1）, B x2 , y2 , z2, C x3, y3 , z3,三角形重心P坐标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P x1x2x3 , y1y232y3 , z1z22z3 可编辑资料 - -

10、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC的五心 ：内心 P：内切圆的圆心,角平分线的交点。AP AB ABAC AC（单位向量）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结外心 P：外接圆的圆心,中垂线的交点。PAPBPC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂心 P：高的交点：PA PBPA PCPB PC（移项,内积为 0,就垂直）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重心 P：中线的交点,三等分点（中位线比） 中心：正三角形的

11、全部心的合一。AP1 AB 3AC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）模长公式 ：如 aa1, a2 , a3 , b学习必备欢迎下载b1,b2, b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| a |2a aa22aa, |b |b bb 2b 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）夹角公式：cos a ba b| a | | b|a1b1a2b2a3b3。222222aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

12、总结123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC中 ABAC0 A 为锐角 ABAC0 A 为钝角,钝角 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）两点间的距离公式：如A x1, y1, z1 ,B x2 , y2 , z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2就| AB |AB xx 2 yy 2 zz 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212121,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或 dA,B x2x 2 y2y 2 z2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

13、载精品名师归纳总结1117. 空间向量的数量积。（ 1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ,在空间任取一点 O,作 OAa ,OBb,就AOB 叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结做向量 a 与 b 的夹角,记作a,b。且规定 0a,b,明显有a,bb, a。如a, b,就称 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与 b 相互垂直,记作： ab 。（ 2）向量的模：设 OAa ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作： | a | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3 ）

14、 向 量 的数 量 积 ： 已 知 向 量a, b , 就 |a| |b| co sa b,叫做 a,b 的 数 量 积 , 记 作 a b , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b| a | |b| cosa b, 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）空间向量数量积的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a e| a |cosa, e。aba b0 。 | a |2a a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）空间向量数量积运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精

15、品名师归纳总结 a b a b a b 。 a bb a （交换律）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a bc a ba c （安排律）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 不满意 乘法结合率： 二空间向量与立体几何 a bcab c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 线线夹角（共面与

16、异面）OO 0 ,90两线的方向向量n1, n 2的夹角或夹角的补角,coscosn1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-1 线面夹角 0O ,90 O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量 n 的夹角,如为锐角角即可,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OO如为钝角,就取其补角。再求其余角,即是线面的夹角. sincosAP, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-2 面面夹角（

17、二面角） 0,180 ：如两面的法向量一进一出,就二面角等于两法向量n1, n 2的夹角。法向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量同进同出,就二面角等于法向量的夹角的补角.coscosn1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 点面距离 h ：求点P x0 , y0到平面的距离： 在平面上去一点Q x, y ,得向量 PQ ;。 运算平面的法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量 n ;.hPQnn可编

18、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离【典型例题】1. 基本运算与基本学问（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1. 已知平行六面体 ABCD AB C D,化简以下向量表达式,标出化简结果的向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABBC 。 ABADAA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABAD1 CC 。 1 ABADAA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23MG例 2. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A, B,C

19、,问满意向量式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPxOAyOBzOC （其中xyz1 ）的四点P, A, B, C 是否共面？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 已知空间三点A （0, 2, 3）, B（ 2, 1, 6）, C（ 1, 1, 5）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求以向量AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积S。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且 | a | 3 ,求向量 a的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 基底法（如何找,转化为基

20、底运算）3. 坐标法（如何建立空间直角坐标系,找坐标）4. 几何法例 4. 如图,在空间四边形OABC中, OA求 OA与 BC 的夹角的余弦值。8 , AB6 , ACO4 , BC5 ,OAC45 ,OAB60 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：由图形知向量的夹角易出错,如OA, ACB135易错写成OA, AC45 ,切记！可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5. 长方体ABCDA1B1C1D1 中,ABBC4 , E 为A1C 1 与B1 D1 的交点, F 为BC1 与B1C 的交点,又可编辑资

21、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AFBE ,求长方体的高 BB1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【模拟试题】1. 已知空间四边形 ABCD ,连结向量：（ 1） ABBCCD 。AC , BD ,设M , G 分别是BC , CD 的中点,化简以下各表达式,并标出化简结果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） AB1 BDBC 。（ 3） AG21 ABAC 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知平行四边形 ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量。OEkOA, OFkOB,OGkOC,OHkOD 。（ 1）求证：四点

22、E, F ,G, H 共面。（ 2）平面 AC / 平面 EG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如图正方体ABCDA1B1C1D1 中,B1E1D1F11A1B1,求4BE1 与 DF1 所成角的余弦。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知平行六面体 ABCDA B C D 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB4, AD3, AA5,BAD90,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAADAA60,求 AC 的长。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 解：如图,（ 1） ABBCCDACCDAD 。 参

23、考答案 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） AB1 BDBC AB1 BC1 BD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222ABBMMGAG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） AG1 ABAC 2AGAMMG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 解：（ 1）证明：四边形ABCD 是平行四边形,ACABAD , EGOGOE ,k OCk OAkOCOAk ACkABAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kOBOAODOAEFEH E, F , G, H 共面。OFOEOHOE可编辑资料 - - -

24、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）解：EFOFOEk OBOAkAB ,又 EGkAC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EF/ AB, EG /AC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,平面AC / 平面 EG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系Oxyz ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 B 1,1,0 ,3E11,1 , D 0,0,0 ,41F10,1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE10,1

25、 ,1 ,4DF110,1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE1DF117,41115可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE1DF1001 1。441615可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosBE1, DF11615 。17171744可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 分析：AB2, 1,3, AC1, 3,2,cosBACAB AC1| AB | AC |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BAC 60,S| AB | AC| sin 6073可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

26、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a （ x, y, z）,就aAB2xy3 z0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aACx3 y2 z0,| a |3x2y 2z23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 x y z1 或 x y z 1, a （ 1, 1, 1）或 a（ 1, 1, 1）。225. 解： | AC | ABADAA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB |2| AD |2| AA |22 AB AD2AB AA2 AD AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222435243cos9024 5cos6023 5cos60169250201585所以, | AC |85 。可编辑资料 - - - 欢迎下载