等比数列知识点总结与典型例题答案.docx

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1、精品名师归纳总结等比数列学问点总结与典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、等比数列的定义：anan 1q q0n2, 且nN *, q 称为公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、通项公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa qn 1a1 qnA Bnaq0, A B0 ,首项：a 。公比： q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n111qn mn manan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推广： anam qqqn mamam可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、等比中项：（1） 假如a, A,

2、 b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与b 的等差中项,即： A 2ab 或 Aab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个（可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 数列a是等比数列a 2aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1n 14、等比数列的前 n 项和 Sn 公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 当 q（2） 当 q1 时, Sn1时, Sna1na1 1qa1anq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、名师归纳总结a1a1qn1q1qAA BnA BnA （ A, B,A, B 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、等比数列的判定方法：（1） 用定义：对任意的 n ,都有 aqa 或an 1qq为常数, a0 a 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnnan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 等比中项： a 2aaaa0 a 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1 n 1n 1 n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 通项

4、公式： annA BA B0 an 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、等比数列的证明方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据定义：如anq q0n2, 且nN *或 aqa a 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1n 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、等比数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（2） ）对任何m, nN*,在等比数列 an 中,有aa qn m 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm（3） ）

5、如 mnst m,n,s,tN * ,就an amas at 。特殊的,当 mn2k 时,得an amak可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： a1 ana2an 1a3 an 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差和等比数列比较：等差数列等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义an 1anda n 1aqq0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递推公式通项公ana n 1d 。 anam nmda nannmn11q 。 anaqn m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

6、结ana1式 n1 dana1 q1 （ a , q0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中项Aa n ka n k2（ n, kN * , nk0 ） Ga n k a nk ank an k0 （ n, kN * , nk0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nS aa na1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结前 n 项和n1n2Sna1q naa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Snna1nn21 d11n q21q1q可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重要amana paqamana paq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质m, n,p, qN * , mnpq m, n, p, qN * , mnpq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经典例题透析类型一：等比数列的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1等比数列 an中, a1a964,a3a720 , 求 a11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路点拨：由等比数列的通项公式, 通过已知条件可列出关于 a1和 q 的二元方程组

8、, 解出 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和q ,可得a11 。或留意到下标 1937 ,可以利用性质可求出a3 、 a7 ,再求a11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以削减运算量。解题过程中详细求解时,要设法降次消元,经常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法（除式不为零） .举一反三：【变式 1】a n 为等比数列, a1=3, a9=768,求 a6。【变式 2】a n 为等比数列, an0,且 a1a89=16,求 a44a45a46 的值。【变式 3】已知等比数列 an ,如 a1

9、a2a37 , a1a2a38 ,求 an 。类型二：等比数列的前 n 项和公式例 2设等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举一反三：【变式 1】求等比数列1 11,3 9的前 6 项和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 2】已知： a n 为等比数列, a1a2a3=27,S3=13,求 S5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 3】在等比数列 an 中, a1an66 , a2an 1128, Sn126 ,求 n 和 q 。可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型三：等比数列的性质例 3.等比数列 an 中,如 a5a69 , 求log 3 a1log3 a2.log3 a10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举一反三：【变式 1】正项等比数列 an 中,如 a1 a100=100;就 lga 1+lga 2+ +lga 100= .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 2】在8 和 2732 。之间插入三个数,使这五个数成等比数列,就插入的三个数的乘积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型四：等比数列前n 项和公式的性质可编辑资

11、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4在等比数列 an 中,已知 Sn48 , S2n60 ,求S3n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路点拨： 等差数列中也有类似的题目,我们仍旧采纳等差数列的解决方法,即等比数列中前 k 项和,第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和,第 n 个 k 项和仍旧成等比数列。举一反三：【变式 1】等比数列 an 中,公比 q=2, S 4=1, 就 S8=.【变式 2】已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 S10=10, S 20=40, 求： S30=？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 3】等比数列

12、 an 的项都是正数,如 Sn=80, S 2n=6560,前 n 项中最大的一项为 54, 求 n.【变式 4】等比数列 an 中,如 a1+a2=324, a 3+a4=36, 就 a5+a6=.【变式 5】等比数列 an 中,如 a1+a2+a3=7,a 4+a5+a6=56,求 a7+a8+a9 的值。类型五：等差等比数列的综合应用例 5 已知三个数成等比数列,如前两项不变,第三项减去32,就成等差数列 . 如再将此等差数列的其次项减去4,就又成等比数列 . 求原先的三个数 .思路点拨： 恰当的设元是顺当解方程组的前提 . 考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数, 并将其设为整式形式 .

13、总结升华： 挑选适当的设法可使方程简洁易解。一般的,三数成等差数列,可设此三数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a-d,a, a+d。如三数成等比数列,可设此三数为中采纳首项 a,公比 q 来解决问题反而简便。x ,x, xy。但仍要就问题而言,这里解法二y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项, 假如把其次项加上 4, 那么所得的三项就成为等差数列, 假如再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原先的等比数 列.【变式 2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为 91,求这三个数。【变式

14、 3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,其次个数与第三个数的和为12,求这四个数 .类型六：等比数列的判定与证明例 6 已知数列 a n 的前 n 项和 Sn 满意： log 5S n+1=nn N+, 求出数列 a n 的通项公式,并判定a n 是何种数列？思路点拨： 由数列a n 的前 n 项和 Sn 可求数列的通项公式,通过通项公式判定a n 类型.举一反三：nn【变式 1】已知数列 Cn ,其中 Cn=2 +3 ,且数列 Cn+1-pCn 为等比数列,求常数 p。【答案】 p=2 或 p=3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

15、师归纳总结【证明】 设数列a n 、b n 的公比分别为 p, q ,且 pq【变式 3】判定正误：2(1) a n 为等比数列a7=a3a4 。(2) 如 b =ac,就 a,b,c 为等比数列。(3) a n ,b n 均为等比数列,就 a n bn 为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) a n 是公比为 q 的等比数列,就12 an 、an仍为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 如 a,b,c 成等比,就 log ma,log mb, log mc 成等差.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型七： Sn 与 an

16、 的关系例 7已知正项数列 a n ,其前 n 项和 Sn 满意10Sa25a6 ,且 a1,a3 ,a15 成等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求数列a n 的通项 an.nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结升华： 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是特殊留意首项与其他各项的关系 .举一反三：a1anSnSn 1 n1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n【变式】命题 1：如数列 a n 的前 n 项和 Sn=a +ba 1 ,就数列 a n 是等比数列。命题 2： 如

17、数列a n 的前 n 项和 Sn=na-n ,就数列 a n 既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中, 真命题为个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型一：等比数列的通项公式经典例题透析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 等比数列 an 中, a1a964 ,a3a720 , 求 a11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路点拨： 由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于a1 和 q 的二元方程组,解出a1 和 q ,可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

18、 - 欢迎下载精品名师归纳总结得 a11 。或留意到下标 1937 ,可以利用性质可求出a3 、 a7 ,再求a11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：1911法一： 设此数列公比为 q ,就aaaa q8641可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa q 2a q 6202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由2 得：1a q2 13711q4203可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由1 得：a q4 264 , a q41

19、148 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 4 得： 1qq2205,82可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2q45q220 , 解得q22 或 q 211112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1当 q22 时, a当 q 21 时, a212 , aaq10 32 , aaq1064 。1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111法二： a1a9a3 a764 , 又 a3a720 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a3 、a7 为方程x220x640 的两实数根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

20、纳总结a316或a74a 34a 716117a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a3a11a72 , a1或 a11a364 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以削减运算量。解题过程中详细求解时,要设法降次消元,经常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法（除式不为零） .举一反三：【变式 1】a n 为等比数列, a1 =3, a9=768,求 a6。【答案】 9688法一： 设公比为 q,就 768=a1q ,q =256, q= 2, a6= 96。2法二： a5 =a1a9a5= 48q

21、= 2, a6= 96。【变式 2】a n 为等比数列, an 0,且 a1a89=16,求 a44a45a46 的值。2【答案】 64。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a1a89a4516 ,又 an 0, a45=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a a aa34445 464564 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n3 n【变式 3】已知等比数列 an ,如 a1a2a37 , a1a2 a38 ,求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

22、精品名师归纳总结【答案】 an2或 an。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 32法一： a aa2 ,23a a aa1 2328 , a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a3从而a1a345, 解之得a11, a34 或 a14 , a31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a11时, q2 。当 a14 时, q1 。n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 an2n 1 或 a3 n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二 ：由等比数列的定义知aa q

23、, aa q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入已知得2131111aa qa q 27111aa q a q 28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a111a 3q3qq 2 7,8a11a1qqq2 7, 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 a12代入（ 1）得q2q25q20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 q2 或 q12a11a14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 2）得或1q2q2,以下同方法一。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

24、总结类型二：等比数列的前n 项和公式例 2 设等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q.解析： 如 q=1,就有 S3=3a1, S6=6a1 ,S9=9a1.因 a1 0,得 S3+S6 2S9,明显 q=1 与题设冲突,故 q 1.a 1q3a 1q6 2a 1q9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 SS2S 得,111,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3691q1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结363333整理得 q 2q -q -1=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6由

25、 q 0,得 2q -q-1=0 ,从而 2q+1q-1=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3因 q 1,故q 313 4,所以 q。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举一反三：1,【变式 1】求等比数列1 13 9的前 6 项和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 364 。243可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a11, q1 , n63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6111可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品名师归纳总结331 6364可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S611123。3243可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 2】已知： a n 为等比数列, a1a2a3=27, S3=13,求 S5.121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】3121或。9a1 1q3 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a227a23 , 131qq3或q,就 a1=1 或 a1=93可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13591 135121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S5121或S513.1

27、193可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 3】在等比数列 an 中, a1an66 , a2an 1128, Sn126 ,求 n和 q 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 q1或 2, n6 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2an 1a1 an ,a1an128可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组a1an128,得a

28、164a12或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1an66an2an64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a164将代入 Sna1anq,得 q1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an21q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1由 aa qn,解得 n6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1a12将代入 Sa1anq ,得 q2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nan641q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1由 aa qn,解得 n6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

29、总结n q121或 2, n6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型三：等比数列的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3.等比数列 an 解析：中,如 a5a69 , 求 log3 a1log3 a2.log 3 a10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 是等比数列,a1a10a2 a9a3 a8a4 a7a5 a69可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 log alogalogalog aaaalog aa 5log 9510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

30、结31323103123103563可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举一反三：【变式 1】正项等比数列 an 中,如 a1a100=100;就 lga 1+lga 2+ +lga 100=.【答案】 100。 lga 1+lga 2+lga 3+ +lga 100=lga 1 a2 a3 a100而 a1 a100=a2 a99=a3 a98= =a50 a51原式 =lga1 a10050=50lga 1 a100=50 lg100=100 。【变式 2】在 8 和 27 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,就插入的三个数的乘积为 。32【答案】 216。法一： 设这个等比

31、数列为 an ,其公比为 q ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 a, a27a q48 q4 ,q 481 , q 29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结151323164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 aaaa q a q2a q3a3q633348963216。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2341111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二： 设这个等比数列为 an ,公比为 q ,就 a1827, a5,32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

32、加入的三项分别为a2 , a3 , a4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意a , a , a 也成等比数列,a282736 ,故 a6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1353332 aaaa2 aa3216 。234333类型四：等比数列前n 项和公式的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 在等比数列 an 中,已知 Sn48 , S2n60 ,求S3n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路点拨： 等差数列中也有类似的题目,我们仍旧采纳等差数列的解决方法,即等比数列中前k 项和, 第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和,第 n 个 k 项和仍旧成等比数列。解析：法一： 令 b1=Sn =48, b 2=S2n-S n=60-48=12 , b3=S3n-S 2n观看 b1=a1+a2+ +an,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b =a+a+ +a=qna +a + +a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n+1n+22n12n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b3=a2n+1+a2n+2+ +a3n=q a 1+a2+ +an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2b2易知 b1,