第三章优化设计的数学基础.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第三章优化设计的数学基础一 等值（线）面目标函数是 n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1 维空间中描述出来。为了在n 维设计空间中反映目标函数的变化情形，常采纳目标函数等值面的方法。对于可运算的函数fx ，给定一个设计点Xk ，fx 总有一个定值 c 与之对应。 而当 fx取定值c 时，就有无限多个设计点Xi （i=1,2,）与之对应，这些点集构成一个曲面， 称为等值面。即具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。目标函数 Fx的等值面（线）数学表达式为：Fx=C当 c 取

2、c1,c2,等值时，就获得一族曲面族，称为等值面族。等值线的“心”（以二维为例）一个“心”：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为极值点在无穷远处。多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必需通过比较各个极值点和“鞍点” （须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 -

3、- - - - - - - - - - -等值线的外形：同心圆族、椭圆族，近似椭圆族。严峻非线性函数病态函数的等值线族是严峻偏心和扭曲、分布疏密严峻不一的曲线族。等值线的疏密：沿等值线密的方向，函数值变化快。 沿等值线疏的方向，函数值变化慢。 等值线的疏密定性反应函数值变化率。二 方向导数与梯度1 方向导数二元函数在点 x0 处沿某一方向 s 的方向导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ssFlimF x10x1, x20x2 F x10 , x20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xS 0x02S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方向导数是偏导数概

4、念的推广。方向导数与偏导数之间的数量关系是FFFxsx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos 10s x0x1 xcos20x2 xx20x02x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 元函数在点 x0 处沿 s 方向的方向导数1Ox10x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FFcosFcosFcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1sx 0xx0xx 02xx 0n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nnF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 梯度i 1

5、xixcosi 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二元函数的梯度FFcosFcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s x0x1 xx2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00FFcos 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx1x20Fcos2T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x x1FF0Fx1x2x0x2x0Fx0为函数 F x1， x2 在 x 0 点处的梯度。cos 1设scos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - -

6、 - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FFFcos 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sx1x2cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F TsFscosF, s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s 方向和梯度方向重合时，方向导数值最大。梯度的模：22FFFx1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos 1设

7、 scos2为单位向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有FF x T sF x cosF , ssx 000梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的模就是函数变化率的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2fx0x0最速上升方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx0上升方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最速下降方向下降方向变化率为零的方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ox1多元函数的梯度可编辑资料 - - -

8、欢迎下载精品名师归纳总结Fx1 FF x0 x2TFFF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Fxxn0FnFx1x2xnx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosF x T sF x cosF , s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xsx 0x 0i00i 1i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结梯度 Fx0的模1nF22F x0 x0i 1 xi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢

9、迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数的梯度方向与函数等值面相垂直，也就是和等值面上过x0 的一切曲线相垂直。由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局部性质。梯度两个重要性质： （搜寻方向问题）性质一：函数在某点的梯度不为零，就必与过该点的等值面垂直。性质二：梯度方向是函数具有最大变化率的方向。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2fx0x0最速上升方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx0上升方向可编辑资料 -

10、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最速下降方向下降方向变化率为零的方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ox1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 1：求函f x xx4 x4数在点 3,2 T 的梯度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22121解：f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1f xfx22 x1 42x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在点 x1 =3,2T 处的梯度为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x12x14 2可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品名师归纳总结2x2x1 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：试求目标函数fx , x3x4 x xx在0TX0,1点处的最速下降方向，并可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221211 22求沿这个方向移动一单位长度后新点的目标函数值。fXfX可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于6x1x4x2 ,x4x12x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就函数在X 00,1处的最速下降方向是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

12、载精品名师归纳总结PfX 0fX x1fXx2x1 0x2 16x1 4x14x2 2x24x1 02x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fX 042255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个方向上的单位向量：efX0221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2525可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结新点： X 1X 0e055可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11511555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fX 13x24x xx2 |2625可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 22X 05可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载