立体几何知识梳理.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载空间直线与平面1. 平面及其相关性质平面具有“平”的特点，无厚度，无边界，在空间延长至无限。平面可以用大写的英文字母或小写的希腊字母表示。空间的直线和平面都可以看作点的集合，点与它们的关系可以用集合的语言表示。例如，点 A在直线 l上，或直线 l 经过点 A，记作 Al 。点B不在直线 l上，记作 Bl 。点A在平面上，或平面经过点 A，记作 A。点B不在平面上，记作 B。假如直线 l 上的全部点都在平面 上，那么称直线 l在平面上（或平面经过直线 l ，记作 l。公理1假如直线 l 上

2、有两个点在平面上，那么直线 l在平面上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公理1用集合语言表述如下：如Al ， Bl 且 A， B，就 l。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公理2假如不同的两个平面,有一个公共点 A，那么,的交集是过点 A的直线。公理2用集合语言表述如下：如存在A，就l ，且 Al 。公理3不在同始终线上的三点确定一个平面。推论1一条直线和直线外的一点确定一个平面。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

3、- - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载推论2两条相交的直线确定一个平面。推论3两条平行的直线确定一个平面。2. 空间直线与直线的位置关系相交共面空间直线与 直线的位 置关系平行异面公理4平行于同始终线的两条直线相互平行。等角定理假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。在同一平面中，两条直线的位置关系包括相交和平行。假如空间的两条直线l1, l2既不平行，也不相交，这时不行能存在一个平面，使它既经过直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l1 ，又经过直线l 2 ，我们把不

4、能置于同一平面的两条直线l1 ,l2 做异面直线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于异面直线 a和b，在空间任取一点 P，过P分别作 a和b的平行线 a 和b ，我们把 a 和 b 所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当空间两直线l1, l2 所成的角为直角时，l1 和l2 垂直，记作l1 丄l2 。当 l1 和l2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所成的角为零角时，l1 和 l2 平行或重合。异面直线之间距离：设直线a与直线 b是异面直线，当点 M，N分别在 a,b上，且直线 MN既垂直于直线 a，又垂直

5、于直线 b时，我们把直线叫做异面直线a,b的公垂线，垂足 M， N之间的距离叫做异面直线a和b的距离。3. 空间直线与平面的位置关系直线在平面内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结空间直线与 平面的位置 关位相交直线在平面外平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如直线 l 与平面只有一个公共点 A，那么称直线 l 与平面相交于点 A，或称 A是直线 l 与平面的交点，记作假如直线l 与平面没有公共点，那么称直线l 与平面平行，记作 l或l /。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 1

6、1 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载直线与平面平行的判定定理假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线与平面平行的性质定理假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。一般的，假如一条直线l 与平面上的任何直线都垂直，那么直线l 与平面垂直，记作 l 丄，直线 l 叫做平面的垂线， l 与的交点叫做垂足。直线与平面垂直的判定定理假如直线 l 与平面上的两条相交直线都垂直

7、，那么直线l 与平面垂直。推论假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。直线与平面垂直的性质定理假如一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的全部直线。推论假如两条直线同时垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。点到平面的距离：设 M是平面外一点，过点 M作平面的垂线，垂足为 N，我们把点 M到垂足 N之间的距离叫做点 M和平面的距离。直线到平面的距离：设直线l 平行于平面，在直线 l上任取一点 M，我们把点 M到平面的距离叫做直线 l 和平面的距离。当直线 l 与平面相交且不垂直时，叫做直线l 与平面斜交，直线 l叫做平面的斜线。设直线 l 与平面斜交于点 M

8、 ，过 l 上任意点 A，作平面的垂线，垂足为 O ，我们把点 O 叫做点 A在平面上的射影，直线 OM叫做直线 l 在平面上的射影，并规定直线l 与其在平面上的射影 OM所成的锐角叫做直线l 与平面所成的角。当直线 l 与平面垂直时，它们所成的角为90。当直线 l 与平面平行或直线 l 在平面上时，它们所成的角为 0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

9、- - - -学习好资料欢迎下载最小角定理直线和平面所成的角是这条直线和平面内任始终线所成的角中最小的角。 三垂线定理在平面内的一条直线，假如和平面的一条斜线的射影垂直，那么这条直线也和这条斜线垂直。三垂线逆定理在平面内的一条直线，假如和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也和这条斜线的射影垂直。4. 空间平面与平面的位置关系相交空间平面与平面的位置关系平行对于空间不同的两个平面,，假如它们有公共点，即，那么称平面与平面相交。假如两个平面,没有公共点，那么称平面与平面平行，记作/平面与平面平行的判定定理假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。推论假如一个平面内的两条相交

10、直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。推论垂直于同一条直线的两个平面平行。平面与平面平行的性质定理假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么得到的两条交线相互平行。推论如一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，就它也垂直于另一个平面。平面到平面的距离：设平面平行于平面，在平面上任取一点 M，我们把点 M到平面的距离叫做平面和平面的距离。 设两个平面,相交于直线 AB，AB将,别分割成两个半平面，由,的半平面及其交线 AB所组成的空间图形叫做二面角，记作AB。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4

11、 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载交线叫做二面角的棱，两个半平面,叫做二面角的面。在二面角的棱 AB上任取一点 O，过O分别在平面和上作棱的垂线 OM和OW，射线 OM和ON所成的角叫做二面角AB的平面角。如射线 OM和ON所成的角为 90，就两个平面垂直，记作丄。平面与平面垂直的判定定理假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。平面与平面垂直的性质定理假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于

12、另一个平面。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 空间角与距离的运算（1）异面直线所成角异面直线所成角的范畴0,90。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求异面直线所成的角，主要有两种方法：平移，将异面直线平移至相交，常用“作平行”和“取中点”的方法。 补形，延长异面直线，或者将题中几何体进行添补，然后再平移至相交。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）直线与平面所成角直线与平面所成角的范畴0 ,90。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求直线与平面所成的角，主要有以下方法：定义法，依据直线与平面所成角的定义，找斜线及其射影的夹角。垂线法

13、，过直线上某一点作平面的垂线。等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载（3）二面角的平面角二面角的平面角的范畴 0。,180。求二面角的平面角，主要有以下方法：定义法，在两个半平面中分别作交线的垂线。垂线法，过一个平面上一点作另一个平面的垂线，再作交线的垂线。 垂面法，找

14、到一个与两个半平面均垂直的平面，截得的交线所形成的角。等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结射影法，面积射影定理cosS 。 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）距离的运算直线到平面的距离，平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离。求点到平面的距离，主要有两种方法：垂线法，过点作平面的垂线，求垂线的长度。等体积法，通过几何体体积相等，求出高，即点到平面的距离。简洁几何体1. 多面体在数学中，我们把由平面多边形（或三角形）围成的封闭体叫做多面体。 构成多面体的各平面多边形（或三角形）叫做多面体的面。其相邻多

15、边形（或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载三角形）的公共边叫做多面体的棱。棱与棱的交点叫做多面体的顶点。（1）棱柱假如一个多面体有两个全等的多边形的面相互平行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多面体叫做棱柱。棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的侧面。棱柱的侧面都是平行四边形。不在底面上的棱叫做棱

16、柱的侧棱。两个底面间的距离叫做棱柱的高。底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面都是矩形，直棱柱的高与侧棱的长相等。底面是矩形的直棱柱叫做长方体，全部棱长都相等的长方体叫做正方体。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结棱柱侧棱不垂直于底面斜棱柱侧棱垂直于底面直棱柱底面是正多边形正棱柱 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四棱柱底面是平行四边形平行六边形侧棱垂直于底面直平行六面体底面是矩形长方体可编辑资料 - -

17、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结底面是正方形正四棱柱棱长都相等正方体 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）棱锥假如一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面体叫做棱锥。棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面，其他的面叫做棱锥的侧面，棱锥侧面都是三角形。不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱。侧棱的公共点叫做棱锥的顶点。顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -

18、 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载假如棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥。正棱锥的各条侧棱长相等，各个侧面都是全等的等腰三角形，正棱锥的高与其顶点究竟面中心的距离相等。2. 旋转体平面上一条封闭曲线所围成的区域围着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴。（1）圆柱如图，将矩形 ABCD绕其一边 AB所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱。 AB所在直线叫做圆柱的轴。线段 AD和BC旋转而成的圆面叫做圆

19、柱的底面。线段 CD旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。 CD叫做圆柱侧面的一条母线。 圆柱的两个底面间的距离（即 AB的长度）叫做圆柱的高。依据圆柱的形成过程易知：圆柱有无穷多条母线，且全部母线都与轴平行。圆柱有两个相互平行的底面。（2）圆锥类似的，将直角三角形乂ABC（及其内部）绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。 AB所在直线叫做圆锥的轴。点A叫做圆锥的顶点。直角边BC旋转而成的圆面叫做圆锥的底面。斜边 AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。斜边AC叫做圆锥侧面的一条母线。圆锥的顶点究竟面间的距离叫做圆锥的高。依据圆锥的形成过程易知：圆锥有无穷多条母线，且全部母线相交于圆锥

20、的顶点。每条母线与轴的夹角都相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载（3）球如图，将圆心为 O的半圆绕其直径 AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球 O。半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，易知，点O到球面上任意点的距离都相等。把点O称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。球面上联结两点的最短路径

21、，该路径的长度就是球面上两点之间的距离。在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离。任意平面与球面的交线都是圆。我们规定，当平面通过球心时，所得交线是大圆。当平面不通过球心时，所得交线是小圆。3. 面积与体积公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直柱体的表面积： S金S侧2S底ch2S底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ h,c分别为直柱体的高和底面周长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆柱的表面积： S金S侧2S底2rh2 r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h,r分别为圆柱的高和底面半

22、径）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正锥体的表面积： S金S侧S底1 ch2S底 （ h ,c分别为斜高和底面周长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆锥的表面积： S金S侧S底rh r 2 （h ,r 分别为母线

23、长和底面半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结球的表面积公式： S4r 2 r是球的半径 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结祖geng原理：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，如在任意等高处的截面面积都对应相等，就两空间图形的体积必定相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结棱柱的体积：V棱柱S底h （h为棱柱的高）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆柱的体积：V棱柱S底hr 2 h h,r分别为圆柱的高和底面半径）可编辑资

24、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结底等底等高的三棱锥的体积相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结棱锥的体积：V棱柱1Sh （h为棱锥的高） 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆锥的体积：V棱柱1Sh 31r 2h h,r分别为圆锥的高和底面半径） 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结底球的体积公式： V球4r 3 r 是球的半径） 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 直观图与斜二测画图法规定按如下列图的位置和夹角作三条轴分别表示

25、前后方向、左右方向以及铅垂方向的轴，依次把它们叫做x轴、y轴和z轴，规定在 y轴和z轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等，而在x轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一，依据这样的规定，从而画出空间图形的直观图。用这种方法画的空间图形直观图叫做斜二轴测图，这样的画图方法简称“斜二测”画图法。“斜二测”画图法有以下重要性质：平行直线的直观图仍是平行直线。线段及其线段上定比分点的直观图保持原比例不变。直观图与原图的面积比为245. 特别几何体之间的联系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x%T可编辑资料 - - - 欢迎下载