第三单元分数除法知识重点 .docx

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1、精品名师归纳总结第三单元 分数除法一、分数除法的意义：分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。二、分数除法运算法就：除以一个数（ 0 除外），等于乘上这个数的倒数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、被除数 除数=被除数 除数的倒数。例3 3= 3 1 = 13 3 =3 5 =5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5535532、除法转化成乘法时，被除数肯定不能变，“”变成“ ”，除数变成它的倒数。3、分数除法算式中显现小数、带分数时要先化成分数、假分数再运算。4、被除数与商的变化规律：除以大于 1 的数，商小于被除数： ab

2、=c当 b1 时， ca a0除以小于 1 的数，商大于被除数： ab=c当 ba a0 b0除以等于 1 的数，商等于被除数： ab=c当 b=1 时， c=a三、分数除法混合运算1、混合运算用梯等式运算，等号写在第一个数字的左下角。2、运算次序：连除：属同级运算，依据从左往右的次序进行运算。或者先把全部除法转化成乘法再运算。或者依据“除以几个数，等于乘上这几个数的积”的简便方法运算。加、减法为一级运算，乘、除法为二级运算。混合运算：没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算括号外面。注：（ ab） c=acbc四、比：两个数相除也叫两个数的比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、名师归纳总结1、比式中，比号（）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。注：连比如： 3：4： 5 读作： 3 比 4 比 52、比表示的是前两项个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。例： 12 20=12 1220=3=0.612 20 读作： 12 比 20205比值前项比号后项后项注：区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。 比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0 除外），比值不变。3、化简比：化简之后结果仍是一个比，

4、不是一个数。（1） ）、 用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。（2） ）、 两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。（3） ）、 两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。4、求比值：把比号写成除号再运算，结果是一个数（或分数），相当于商，不是比。5、比和除法、分数的区分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结除法被除数除号（ ）除数（不能为0）商不变性质除法是一种运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分数分子分数线（）分母（不能为0）分数的基本性质分数是一个数可编辑资料 - - - 欢

5、迎下载精品名师归纳总结比前项比号（）后项（不能为0）比的基本性质比表示两个数的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、分数除法和比的应用1、已知单位“ 1”的量用乘法。例：甲是乙的3 （ 153 =9）3 ，乙是 25，求甲是多少？即：甲 =乙5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

6、总结2、未知单位“ 1”的量用除法。例 : 甲是乙的3 ，甲是 15，求乙是多少？即：甲 =乙3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结55（ 153 =25）（建议列方程答）53、分数应用题基本数量关系（把分数看成比）（1） ）甲是乙的几分之几？甲乙几分之几（例：甲是 15 的 3，求甲是多少？ 15 3 9）55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结乙甲几分之几（例： 9 是乙的3，求乙是多少？ 9 3 15）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结55几分之几甲 乙 （例： 9 是 15 的几分之几？ 915 3）（“是”字相当“ ”5号，乙是单位“ 1”）（2

7、） ）甲比乙多（少）几分之几？A 差乙=差（“比”字后面的量是单位“1”的量）（例： 9 比 15 少几分之几？乙（ 15-9）15 15 9 6 2）15155可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 多几分之几是：甲1（例： 15 比 9 少几分之几？ 159 15-1 5 1 2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结乙933C少几分之几是： 1甲 （例： 9 比 15 少几分之几？ 1-9 15 19 13 2 ）乙1555D甲=乙差=乙乙差=乙乙几=乙（ 1几） （例：甲比 15 少 2 ，求甲是多少？ 15乙几几5152 15（ 12） 9（多是“ +”少是“

8、 ”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结55E 乙=甲 1几（例： 9 比乙少2，求乙是多少？ 9（1- 2） 9 3 15）（多可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结几555是“ +”少是“ ”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（例： 15 比乙多 2 ，求乙是多少？ 15（1+ 2） 15 5 9）（多是“ +”少是333“ ”）4、按比例安排：把一个量按肯定的比安排的方法叫做按比例安排。例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比 35，求甲、乙分别是多少？ 方法一： 56（3+5） 7 甲： 37 21乙： 5735可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

9、师归纳总结方法二：甲： 56 3 21乙： 565 35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3535例如：已知甲是 21，甲、乙的比 35，求乙是多少？ 方法一： 2137 乙： 5735方法二：甲乙的和 21 3 56乙： 56 5 353535可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二：甲 乙3乙甲3 21 3 35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5555、画线段图：（1） ）找出单位“ 1”的量，先画出单位“ 1”，标出已知和未知。（2） ）分析数量关系。（3） ）找等量关系。（4） ）列方程。注：两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线

10、段图。第四单元 圆一、.圆的特点1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形，.2、圆的特点：形状美观，易滚动。3、圆心 o：圆中心的点叫做圆心圆心一般用字母O 表示圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结半径 r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有很多条半径，且全部的半径都相等。半径确定圆的大小。直径 d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有很多条直径， 且全部的直径都相等。直径是圆内最长的线段。同圆或等圆内直径是半径的 2 倍： d=2r 或 r=d 21 =d= d224、等圆：半径相等

11、的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。5、圆是轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角有二条对称轴的图形：长方形有三条对称轴的图形：等边三角形有四条对称轴的图形：正方形有无条对称轴的图形：圆，圆环6、画圆（1） ）圆规两脚间的距离是圆的半径。（2） ）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。1、圆的周长总是直径的三倍多一些。2、圆周率：圆的周长与直径的比值是

12、一个固定值，叫做圆周率，用字母表示。即：圆周率 =周长=周长直径 3.14直径所以,圆的周长 c=直径d 圆周率 周长公式： c=d, c=2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：圆周率 是一个无限不循环小数， 3.14 是近似值。3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。假如 r1r2 r3=d1d2 d3=c1 c2 c34、半圆周长 =圆周长一半 +直径= 1 2r=r+d2三、圆的面积 s1、圆面积公式的推导如图把一个圆沿直径等分成如干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。圆的半径 = 长方形的宽圆的周

13、长的一半 = 长方形的长长方形面积 =长 宽所以：圆的面积 = 长方形的面积 = 长 宽 = 圆的周长的一半（ r）圆的半径（ r） S圆 = r rS圆 = rr = r22、几种图形，在面积相等的情形下，圆的周长最短，而长方形的周长最长。反之， 在周长相等的情形下，圆的面积就最大，而长方形的面积就最小。周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。假如: r1 r2r3=d1d2 d3=c1 c2 c3=2 3 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就：

14、 S1 S2 S3=4 9 1622224、环形面积 = 大圆 小圆=r 大- r 小 = （ r 大- r 小 ） 扇形面积 = r2 n（n 表示扇形圆心角的度数）3605、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。由于两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是： 2跑道宽度。注：一个圆的半径增加a 厘 M，周长就增加 2a 厘 M一个圆的直径增加 b 厘 M，周长就增加 b 厘 M6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4 7、常用数据=3.142 =6.283 =9.424 =12.565 =15

15、.7第五单元、百分数 一、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。注： 百分数是特的用来表示一种特别的倍比关系的，表示两个数的比，所以，百分数又叫百分比或百分率，百分数不能带单位。1、百分数和分数的区分和联系：（1） 联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。（2） 区分：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示详细数量，所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，仍能带单位表示详细数量。百分数的分子可以是小数，分数的分子只以是整数。注： 百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，分母是100 的分数并不是百分数，必需把分母写成“ %”才是百分数，所以“分母是 100 的分数就是百可编辑

16、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分数”这句话是错误的。“ %”的两个 0 要小写，不要与百分数前面的数混淆。一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出 M 率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在 70、80%，出油率在 30、40%。2、小数、分数、百分数之间的互化（1） ）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“%”。（2） ）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“%”。（3） ）百分数化分数：先把百分数写成分母是100 的分数，然后再化简成最简分数。（4） ）分数化百分数：分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然

17、后化成百分数。（5） ）小数 化 分数：把小数成分母是 10、100、1000 等的分数再化简。（6） ）分数 化 小数：分子除以分母。二、百分数应用题1、 求常见的百分率 如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几2、 求一个数比另一个数多（或少）百分之几，实际生活中，人们常用增加了百分之几、削减了百分之几、节省了百分之几等来表示增加、或削减的幅度。求甲比乙多百分之几（甲-乙）乙求乙比甲少百分之几（甲-乙）甲3、 求一个数的百分之几是多少 一个数（单位“ 1”） 百分率4、 已知一个数的百分之几是多少，求这个数部重量百分率 =一个数（单位“ 1”）可

18、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、 折扣 折扣、打折的意义：几折就是非常之几也就是百分之几十折扣成数几分之几百分之几小数通用八折八成非常之八百分之八十0.8八五折八成五非常之八点五百分之八十五0.85五折五成非常之五百分之五十0.5半价6、 纳税 缴纳的税款叫做应纳税额。（应纳税额）（总收入） =（税率）（应纳税额） =（总收入）（税率） 7、 利率（1） ）存入银行的钱叫做本金。（2） ）取款时银行多支付的钱叫做利息。（3） ）利息与本金的比值叫做利 率。利息 =本金利率时间税后利息 =利息-利息的应纳税额 =利息-利息 5%注： 国债和训练储蓄的利息不纳税8、百分数应用题型

19、分类（ 1）求甲是乙的百分之几（甲 乙） 100% =甲100% =百分之几乙可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求甲比乙多 少百分之几差 100% =差 100%可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结比字后面乙例甲是 50，乙是 40，甲是乙的百分之几？（ 50 是 40 的百分之几？） 50 40=125%甲是 50，乙是 40，乙是甲的百分之几？（ 40 是 50 的百分之几？） 40 50=80%乙是 40，甲是乙的 125%，甲数是多少？（ 40 的 125%是多少？） 40 125%=50甲是 50，乙是甲的 80%，乙数是多少？（ 50 的 80%是

20、多少？） 50 80%=40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结乙是 40，乙是甲的 80%，甲数是多少？（一个数的 80%是 40，这个数是多少？） 4080%=50甲是 50，甲是乙的 125%，乙数是多少？（一个数的 125%是 50，这个数是多少？） 50125%=40甲是 50，乙是 40，甲比乙多百分之几？（ 50 比 40 多百分之几？） 50- 40 40 100%=25%甲是 50，乙是 40，乙比甲少百分之几？（ 40 比 50 少百分之几？） 50- 40 50 100%=20%甲比乙多 25%，多10，乙是多少？10 25%=40甲比乙多 25%，多10，甲

21、是多少？10 25%+10=50.乙比甲少 20%，少10，甲是多少？10 20%=50.乙比甲少 20%，少10，乙是多少？10 20%-10=40.乙是 40，甲比乙多 25%，甲数是多少？（什么数比 40 多 25%？） 40（ 1+25%） =50.甲是 50，乙比甲少 20%，乙数是多少？（什么数比 50 多 25%？） 50（1-20%）=40.乙是 40，比甲少 20%，甲数是多少？（ 40 比什么数少 20%？） 40（1-20%）=50.甲是 50，比乙多 25%，乙数是多少？（ 50 比什么数多 25%？） 40（1+25%）=40第六单元、统计可编辑资料 - - - 欢迎

22、下载精品名师归纳总结1、 扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。2、 常用统计图的优点：（1） ）、条形统计图直观显示每个数量的多少。（2） ）、折线统计图不仅直观显示数量的增减变化，仍可清楚看出各个数量的多少。（3） ）、扇形统计图直观显示部分和总量的关系。第七单元、数学广角一、讨论中国古代的鸡兔同笼问题。1、 用表格方式解决有局限性，数目必需小，例： 头数 鸡（只）兔（只） 腿数351343523335332（逐一列表法、腿数少，小幅度跳动。腿数多，大幅度跳动。跳动逐一相结合、取中列表）2

23、、 用假设法解决（1） ） 假如都是兔（2） ） 假如都是鸡（3） ） 假如它们各抬起一条腿（4） ） 假如兔子抬起两条前腿3、 用代数方法解（一般规律）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注释：这个问题，是我国古代闻名趣题之一。大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个好玩的问题。书中是这样表达的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有如干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头。从下面数，有 94 只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 二、和尚分馒头100 个和尚吃 100 个馒头，大和尚一人吃 3 个，小和尚三人吃一个。大小和尚各多少人？

24、国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗里有一道闻名算题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个， 大小和尚各几丁？ 假如译成白话文，其意思是：有100 个和尚分 100 只馒头，正好分完。假如大和尚一人分 3 只，小和尚 3 人分一只，试问大、小和尚各有几人？方法一，用方程解：解：设大和尚有 x 人，就小和尚有 100 x 人，依据题意列得方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x +1 100 x=1003可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 25100 25 75 人方法二，鸡兔同笼法：(1) 假设 100 人全是大和尚，应吃馒头多少个？ 3 100

25、=300个 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 这样多吃了几个了？300 100=200个 (3) 为什么多吃了 200 个了？这是由于把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头？3 1 = 8 （个）33(4) 每个小和尚多算了 8/3 个馒头，一共多算了 200 个，所以小和尚有：小和尚： 200 8 75（人）3大和尚： 100 75 25（人） 方法三，分组法：由于大和尚一人分 3 只馒头，小和尚 3 人分一只馒头。我们可以把 3 个小和尚与 1 个大和尚编为一组，这样每组 4 个和尚刚好分 4 个馒头，那么 100 个和尚总共分为 10

26、0（ 3+1）=25 组，由于每组有 1 个大和尚，所以有 25 个大和尚。又由于每组有 3 个小和尚，所以有 25 375 个小和尚。这是直指算法统宗里的解法，原话是： 置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。 所谓 实 便是 被除数 ， 法 便是 除数 。列式就是：100（ 3+1） =25（组） 大和尚： 25 1=25（人）小和尚： 100-25=75（人）或 253=75（人）我国古代劳动人民的聪明由此可见一斑。三、整数、分数、百分数应用题结构类型（一）求甲是乙的几倍（或几分之几或百分之几）的应用题。解法：甲数除以乙数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：校

27、内里有杨树 40 棵，柳树有 50 棵，杨树的棵树占柳树的百分之几？（或几分之几？）（二）求甲数的几倍（或几分之几或百分之几）是多少的应用题。解答分数应用题，第一要确定单位“ 1”，在单位“ 1”确定以后，一个详细数量总与一个详细分数（分率）相对应，这种关系叫“量率对应”，这是解答分数应用题的关 键。求一个数的几倍（几分之几或百分之几）是多少用乘法，单位“1”分率 =对应数量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：六年级有同学 180 人，五年级的同学人数是六年级人数的56 。五年级有同学多少可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结人？51806 =150（三）已知甲数的几倍（或几分之几或百分之几）是多少，求甲数（即求标准量或单位“ 1”）的应用题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：对应数量对应分率 =单位“ 1”5例：育红学校六年级男生有 120 人，占参与爱好活动小组人数的3. 六年级参与爱好活可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结动小组人数共有同学多少人？31205 =200（人）可编辑资料 - - - 欢迎下载