第二章《数列》全章教案按课时备课,共课时.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -课题 : 2.1 数列的概念与简洁表示法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结教学目标（第 1 课时）授课类型： 新授课可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问与技能：懂得数列及其有关概念，明白数列和函数之间的关系。明白数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项。对于比较简洁的数列，会依据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法：通过对一列数的观看、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培育同学的观看才能和抽象概括才能情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学

2、习的爱好。教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点依据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程 . 课题导入三角形数： 1， 3， 6， 10，正方形数： 1， 4， 9， 16， 25，. 讲授新课数列的定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列 .留意 ：数列的数是按肯定次序排列的，因此，假如组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。定义中并没有规定数列中的数必需不同，因此，同一个数在数列中可以重复显现.数列的项 ：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项） ，第2 项，第n 项，.例如，上述例子均是数列，其中中，“ 4”是这

3、个数列的第1 项（或首项） ，“ 9”是这个数列中的第6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项. 数列的一般形式：a1 , a 2 , a3 ,a n ,，或简记为a n，其中a n 是数列的第n 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结合上述例子，帮忙同学懂得数列及项的定义. 中，这是一个数列，它的首项是“1”，“的第“ 3”项，等等1 ”是这个数列3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有肯定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导同学进一步懂得数列与项的

4、定义，从而发觉数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项1 11112345可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结序号12345这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：1an来表示其对应关系n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即：只要依次用1， 2， 3代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 数列的通项公式：假如数列a n的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

5、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -就叫做这个数列的通项公式.留意 ：并不是全部数列都能写出其通项公式，如上述数列。一个数列的通项公式有时是不唯独的，如数列：1 ， 0 ， 1， 0， 1， 0 ，它的通项公式可以是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na11n21，也可以是a n| cos n1| .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

6、师归纳总结数列通项公式的作用：求数列中任意一项。检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中全部各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项5. 数列与函数的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*数列可以看成以正整数集N （或它的有限子集1 ， 2，3， n ）为定义域的函数anf n，当自变量从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数 y=fx , 假如 fi （ i=1 、2、3、4 ）有意义

7、，那么我们可以得到一个数列 f1 、 f2 、f3 、 f4 ， fn ，6数列的分类：1）依据数列项数的多少分：有穷数列 ：项数有限的数列 . 例如数列 1， 2， 3， 4， 5， 6。是 有穷数列无穷数列 ：项数无限的数列 . 例如数列 1， 2， 3， 4， 5， 6 是 无穷数列2）依据数列项的大小分：递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摇摆数列：从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列观看： 课本 P33 的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摇摆数

8、列？ 范例讲解 课 本 P34-35 例 1. 课堂练习课本 P36 练习 3、4、5 补充练习 ：依据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 3, 5, 9, 17, 33,。224,3156810,。356399可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 0, 1, 0, 1, 0, 1,。4 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,。5 2, 6, 12, 20, 30, 42,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1an 2n 1。2an 2n2n 1 2n。 311a n 1n。2可编辑资

9、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 将数列变形为1 0, 2 1, 3 0, 41, 5 0, 6 1, 7 0, 8 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 an n1n。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 将数列变形为1 2, 23, 3 4, 4 5, 5 6,，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 1n 1 nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - -

10、 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -. 课时小结本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会依据通项公式求其任意一项，并会依据数列的前n 项求一些简洁数列的通项公式。 . 课后作业课本 P38 习题 2.1A 组的第 1 题板书设计授后记课题 : 2.1 数列的概念与简洁表示法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结教学目标（第课时）授课类型： 新授课可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问与技能：明白数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同。会依据数列的递推公式写出数列的可编辑资料

11、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结前几项。懂得数列的前n 项和与an 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过程与方法：经受数列学问的感受及懂得运用的过程。情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的爱好。教学重点依据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点懂得递推公式与通项公式的关系教学过程 . 课题导入 复习引入 数列及有关定义 . 讲授新课数列的表示方法1、 通项公式法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如数列an的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

12、结列的通项公式。如数列的通项公式为。 的通项公式为。的通项公式为。2、 图象法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -启示同学仿照函数图象的画法画数列的图形详细方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，由于横坐标为正整数，所以这些点都在轴

13、的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观的看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势3、 递推公式法学问都来源于实践，最终仍要应用于生活用其来解决一些实际问题观看钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型模型一： 自上而下：第 1 层钢管数为4。即： 14 1+3第 2 层钢管数为5。即： 25 2+3第 3 层钢管数为6。即： 36 3+3第 4 层钢管数为7。即： 47 4+3第 5 层钢管数为8。即： 58 5+3第 6 层钢管数为9。即： 69 6+3第 7 层钢管数为10。即： 710 7+3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如用 a n 表示钢管数， n 表示层

14、数，就可得出每一层的钢管数为一数列，且ann31 n 7）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷的求出每一层的钢管数这会给我们的统计与运算带来许多便利。让同学们连续看此图片，是否仍有其他规律可循？（启示同学查找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 a14 。 a 2541a11 。 a3651a 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依此类推：anan 11 （ 2 n 7）可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品名师归纳总结对于上述所求关系，如知其第1 项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递推公式：假如已知数列an的第 1 项（或前几项） ，且任一项an 与它的前一项a n 1 （或前n 项）间的关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3， 5， 8，13， 21，34， 55，89可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递推公式为：a13, a 25, ana n 1an 2 3n8可编辑资料 - -

16、 - 欢迎下载精品名师归纳总结数列可看作特别的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，第一请同学回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，用表示第项，依次写出成为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4、列表法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 范例讲解 简记

17、为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 设数列aa n满意na1111n写出这个数列的前五项。1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：分析：题中已给出an的第 1 项即 a11 ，递推公式：an11a n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：据题意可知：a111, a21a112, a31a 221， a 413a358, a535可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补充例题 可编

18、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 已知 a12 ， a n 12 an写出前 5 项，并猜想an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法一： a12 a2222 2 a22 223 ，观看可得a2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3法二：由a na2a a2a即2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a na n 1n 1an 1a n 2nna n 2a n 3n 1a 22n a1a n 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

19、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a na2 n 12 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 课堂练习课本 P36 练习 2 补充练习 1依据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a1 0,an 1 a n 2n 1 nN。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a 1,a2 ann N。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n 1an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ;3a1 3,an 1 3

20、an 2 n N.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1a1 0,a2 1,a 3 4,a 4 9,a5 16, a n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a1 1,2,a2 31a 3 222,a 4 45a 15322, an ;6n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3a1 3 1+230 ,a 2 7 1+231 ,a3 191+23 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - -

21、 - -第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a4 55 1+233 ,a5 163 1+234 , a 1 23 n 1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n. 课时小结本节课学习了以下内容：1递推公式及其用法。2通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n 项）之间的关系. . 课后作业习题 2。1A 组的第 4、 6 题板书设计授后记课题 : 2.2等差数

22、列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结教学目标（第 1 课时）授课类型： 新授课可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问与技能：明白公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能依据定义判定一个数列是等差数列 ;正确熟识使用等差数列的各种表示法，能敏捷运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项过程与方法：经受等差数列的简洁产生过程和应用等差数列的基本学问解决问题的过程。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培育同学的观看、分析资料的才能，积极思维，追求新知的创新意识。教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式。教学难点 等差数列的性质教学过程 . 课题

23、导入 创设情境 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的 几种方法列举法、通项公式、 递推公式、图象法 . 这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。课本 P41 页的 4 个例子： 0， 5， 10， 15， 20， 25， 48， 53，58， 63 18， 15.5 ， 13， 10.5 ， 8， 5.5 10072，10144， 10216， 10288， 10366观看：请同学们认真观看一下，看看以上四个数列有什么共同特点？共同特点：从其次项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）。（误：每相邻两项的差相等应指明作差的次序是后项减前项），我们给

24、具有这种特点的数列一个名字等差数列 . 讲授新课1等差数列 ：一般的，假如一个数列从其次项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -公差d 肯定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

25、结对于数列a n , 如 an a n1 =d 与 n 无关的数或字母 ， n 2，n N，就此数列是等差数列，d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为公差。摸索： 数列、的通项公式存在吗？假如存在，分别是什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2等差数列的通项公式：a na1n1d 【或 ana mnm d 】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得如一等差数列a n的首项是a1 ，公差是 d，就据其定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义可得：可编辑资料

26、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a1d 即： a 2a1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3a2d 即： a 3a2da12d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a4a 3d 即： a4a 3da13d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此归纳等差数列的通项公式可得：a na1n1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知一数列为等差数列，就

27、只要知其首项a1 和公差 d，便可求得其通项a n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由上述关系仍可得：a ma1m1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： a1am m1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就： ana1n1d= a mm1d n1dam nmd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即等差数列的其次通项公式 范例讲解 ana mn

28、mdaman d=mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1求等差数列8， 5， 2的第 20 项 -401 是不是等差数列-5， -9，-13的项？假如是，是第几项？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 a18, d58253 n=20 ，得a 208201349可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 a15, d954得数列通项公式为：a n54 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意可知，此题是要回答是否存在正整数n，使得401

29、54n1 成立解之得n=100，即 -401 是这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个数列的第100 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 已知数列 an 的通项公式a npnq ，其中 p 、 q 是常数，那么这个数列是否肯定是等差数列？如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是，首项与公差分别是什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 -

30、- - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看a na n1 （ n 2）是不是一个与n 无关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的常数。解：当 n 2 时,（取数列an中的任意相邻两项a n 1 与 a n （ n2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1 pnqp n1qpnq pnpq p 为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

31、 - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 是等差数列，首项a1pq ，公差为p。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：如p=0，就 a n 是公差为0 的等差数列，即为常数列q， q， q，如 p 0, 就 a n 是关于 n 的一次式 ,从图象上看 ,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上 ,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 a n 为等差数列的充要条件是其通项a n =pn+q p 、q 是常数 ，称其为第3 通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结判定数列是否是等差数列的方法是否满意

32、3 个通项公式中的一个。. 课堂练习课本 P45 练习 1、2、3、4 补充练习 1.（ 1）求等差数列3， 7， 11，的第4 项与第 10 项.分析：依据所给数列的前3 项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：依据题意可知：a1 =3, d=7 3=4.该数列的通项公式为：an =3+（ n 1） 4,即 an =4n 1（ n1,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 N * ）a4 =44 1=15, a10 =4 10 1=39.可编辑资料 - - - 欢迎

33、下载精品名师归纳总结评述：关键是求出通项公式.（ 2）求等差数列10， 8， 6，的第20 项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：依据题意可知：a1 =10, d=8 10= 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结该数列的通项公式为：a n =10+ （n 1）（ 2） ,即：a n = 2n+12, a 20 = 2 20+12=28.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评述：要留意解题步骤的规范性与精确性.（ 3）100 是不是等差数列2， 9，16，的项？假如是，是第几项？假如不是，说明理由.可编

34、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：要想判定一数是否为某一数列的其中一项，就关键是要看是否存在一正整数n 值，使得a n 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这一数 .解：依据题意可得：a1 =2, d=9 2=7.此数列通项公式为：an =2+ （n 1） 7=7n 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 7n 5=100, 解得： n=15, 100 是这个数列的第15 项.（ 4） 20 是不是等差数列0， 3 1 ， 7，的项？假如是，是第几项？假如不是，说明理由.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由题意可知：a =0, d= 3 1 此数列的通项公式为：12an =7 n+ 7 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料