第七章线性变换总结篇.docx

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1、精品名师归纳总结第 7 章线性变换7、1 学问点归纳与要点解析一. 线性变换的概念与判别1、线性变换的定义数域 P 上的线性空间 V 的一个变换称为线性变换 , 假如对 V 中任意的元素,与数域 P 中的任意数 k , 都有 :,kk。注: V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。2、线性变换的判别设为数域 P 上线性空间 V 的一个变换 , 那么:为V 的线性变换klkl,V ,k,lP 3、线性变换的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设V 就是数域 P 上的线性空间 ,为V 的线性变换 ,1 ,2 ,L ,s ,V 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

2、归纳总结性质 1、00,;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 2、 如1 ,2 ,L ,s 线性相关 , 那么1,2 ,L ,s也线性相关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 3、 设线性变换为单射 , 假如 1 ,2 ,L ,s 线性无关 , 那么1,2 ,L ,s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也线性无关。注: 设V 就是数域 P 上的线性空间 ,1,2,L,m ,1,2,L,s 就是 V 中的两个向量组 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 :1c11 12c21 1c12 2Lc22 2Lc1s sc2ss可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结LLL可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mcm1 1记:cm22Lc11 c12cms sc21Lc22Lcm1 cm2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,2,L ,m1, 2 ,L ,sMMM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c1sc2sLcms可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于 就 是 , 如 dim V

4、n ,1 ,2,L,n 就 是 V 的 一 组 基 ,就 是 V 的 线 性 变 换 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,2,L ,m 就是 V 中任意一组向量 , 假如 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1b1112b211b122Lb222Lb1nnb2 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结LLL可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mbm11bm22Lbmnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记:1,2 ,L ,m1,2

5、 Lm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 :,L,L ,b11 b12b21Lb22Lcm1 cm2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12m12nMMM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b11 b12b21Lb22Lcm1 cm2b1nb2nLcmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 B,1,2 ,L,m 就是矩阵 B 的列向量组 ,假如i , i ,L ,i 就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMM12r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1nb2nL

6、cmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ,2,L,m 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 , 那 么i,iLi就 就 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12rm的一个极大线性无关组,因此向量组1,m等于秩B 。1 ,2 L2 L的秩4、 线性变换举例(1) 设V 就是数域 P 上的任一线性空间。零变换 :00,V ;恒等变换 :,V 。幂零线性变换 : 设就是数域 P 上的线性空间V 的线性变换 , 假如存在正整数m , 使得m0 , 就称为幂零变换。幂等变换 : 设就是数域 P 上的线性空间 V 的线性变换

7、 , 假如2, 就称为幂等变换。(2) VPn , 任意取定数域P 上的一个 n 级方阵 A , 令:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x1x2x2x1x2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A,P 。MMMxnxnxn(3) VP x , Dfxfx ,fxP x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 4VPn n ,Aaij就是 V 中一固定矩阵 ,XAX ,XPn n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二. 线性变换的运算、矩阵1、 加法、乘法、数量乘法(1) 定义 :设V 就是数域 P 上的线性空间 ,就是 V 的两个

8、线性变换 , 定义它们的与、乘积分别为 : 对任意的V,任取 kP , 定义数量乘积k为: 对任意的Vkk的负变换 -为: 对任意的V-=-就、 k与 -都就是 V 的线性变换。(2) L V= 为V 的线性变换 , 按线性变换的加法与数乘运算做成数域P 上的维线性空间。2、 线性变换的矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 定义 : 设V 就是数域 P 上的 n 维线性空间 ,就是 V 的线性变换 ,1 ,2,L,n 就是 V可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的一组基 , 假如 :1a111a122L2La21 L1a222nan11an 22La1nnLa

9、2nnLannn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么称矩阵 Aa11 a12a21La22Lan1 an 2为线性变换在基 1 ,2 ,L,n 下的矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 na2nLann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时 :1 ,2 ,L ,n1,2Ln1,2 ,L ,nA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 线性变换的与、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵:可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载精品名师归纳总结设 1 ,2 ,L,n 就是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一组基 ,L V, 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它们在1,2 ,L,n下的矩阵分别为A,B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1) f :L VPn n ,aA 就是数域 P 上的线性空间 L V到数域 P 上的线性空可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结间 Pn n 的同构映射 , 因此L VPn n 。可编辑资料 -

11、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结2可逆A 可逆3 、与 -在基1,2 ,L,n 下的矩阵分别为AB,AB与 A ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 任取 kP , k在基 1,2,L,n 下的矩阵为 kA;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 如为可逆线性变换 , 就1 在基,2 ,L,n 下的矩阵为A 1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 设 fxa xmaxm 1La xa为 数 域 P 上 的 任 一多 项式 , 那么可编辑资料 - - - 欢

12、迎下载精品名师归纳总结mm 110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结famam 1Laa为 V的 恒 等 变 换 在 基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mm 110,L ,下的矩阵为 : fAa AmaAm 1La Aa E 。12nmm 110n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三. 特点值、特点向量与对角矩阵1、 矩阵的特点值与特点向量(1) 矩阵的特点多项式 : 设 A 为 n 级复方阵 , 将多项式f AEnA 称为 A 的特点多项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注: 1如A

13、a, 就:ijnnnf AEnA1a11a22Lannnn 1L1A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1 trAn 1L1 n A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 将 EnA 称为矩阵 A 的特点矩阵 ,EnA0 称为矩阵 A的特点方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 定义 : n 级方阵 A 的特点多项式fAEnA 在复数域上的全部根都叫做其特点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

14、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值 根 , 设0C 就是 A 的特点值 , 齐次线性方程组EnA X0 的每个非零解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都叫做矩阵 A 的属于其特点值0 的特点向量。(3) 求法 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1) 求 fAEnA 在复数域上的全部根1 ,2,L ,n 重根按重数运算 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 对 kk1,Ln解 齐 次 线 性 方 程 组k EnA X0 , 得 其 一 个 基 础 解 系可编辑资料 - - - 欢迎下

15、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1 ,k2 ,L ,k,lk lkn秩k EnA ,就矩阵 A 的属于特点值k 的全部特点向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量为 sk1 k 1sk 2k 2Lsk ,lkk ,lk,其中sk1, sk 2,L, sk,l为不全为零的任意常数 复可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k数。(4) 重要结论 :1) 设 0C 就是 A 的特点值 ,X 0 就是 A 的属于其特点值0 的特点向量 , g x 为

16、一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复系数多项式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g0为 gA 的特点值 ,X 0 为 g A 的属于特点值g0的特点向量 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 假如 A 仍就是可逆矩阵 , 那么1A与分别为00A 1 与 A 的特点值 ,X 0 为A 1 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结属于特点值1 的特点向量 ,0X 0 为 A 的属于特点值A的特点向量 ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

17、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如1 ,2 ,L, n 就是矩阵 A 的全部特点值 , 那么 g1 ,g2,L ,gn就就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g A 的全部特点值 , 假如 A 仍就是可逆矩阵, 就1 , 1 ,L, 1 为 A1的全部特可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结征值 ,AA,LA,为 A 的全部特点值 ;12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如1 ,2 ,L , n就 是 矩 阵A的 全部 特 征 值

18、,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结trA12Ln ,A12 Ln 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 线性变换的特点值与特点向量(1) 定义 : 设就是数域 P 上的线性空间 V 的线性变换 ,0P , 如存在 0V , 使得0, 就称 0 为的一个特点值 ,为的一个属于特点值0 的特点向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 线性变换的特点多项式设就是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换 , 任取 V 的一组基1 ,2 ,L,n ,设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

19、纳总结在该基下的矩阵为A , 称矩阵为 A 的特点多项式EnA 为的特点多项式 , 记为 fEnA , 即线性变换的特点多项式为其在任意基下矩阵的特点多项式。(3) 求法 : 设就是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1) 取定 V 的一组基1 ,2 ,L,n , 求出在该基下的矩阵A;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 求fEnA 在 P 中的全部根1 ,2 ,L, m 0mn , 重根按重数运算 ,可编辑资料 - -

20、- 欢迎下载精品名师归纳总结且 m0 表示无特点值 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 如 m0 , 对 kt1,Ls 解齐次线性方程组k EnA X0 , 得其一个基础解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系k1 ,k 2 ,L ,k,l k lkn秩k EnA ,就线性变换的属于特点值k 的全部可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特点向量为1,2,L ,nsk1k1sk 2k 2Lsk , lkk, lk,其中sk1, sk 2,L, sk,l 为可编

21、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kP 中不全为零的任意常数。3、 矩阵相像(1) 定义 : 设 A,B 就是数域 P 上的两个 n 级方阵 , 假如存在数域 P 上的 n 级可逆矩阵 T , 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 T(2) 性质 :1 ATB , 就称矩阵 A相像于矩阵 B , 记为 A : B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1) 矩阵相像就是等价关系, 即: 设 A,B,C 都就是 n 级方阵 , 那么 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A :A; 如 A :B , 那么 B :A; 如 A :B 且 B :C

22、 , 就 A : C 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 如 A :B , 那么 fAEnAf BEnB , 因此矩阵 A 与矩阵 B有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相同的特点值 , 相同的迹 trAtrB , 相同的行列式 AB 。3) 两个实对称阵相像它们有相同的特点值。(3) 有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相像。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 如 T1ATB , 那么 BkT 1 AkT ,kZ。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

23、 - 欢迎下载精品名师归纳总结4、 线性变换与矩阵可对角化(1) 矩阵可对角化1) 设 A 就是 n 级方阵 , 假如存在 n 级可逆矩阵 T , 使得 T角化。2) n 级方阵 A 可对角化A有 n 个线性无关特点向量。1AT 为对角阵 , 就称 A 可对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 假如 n 级方阵 A 有 n 个不同的特点值 , 就 A 可对角化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4设 1 ,2 ,L ,k 就是 n 级方阵 A 的全部不同的特点值 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fA

24、EnAl1l2lkL12k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称 lii1,2,L,k 为i 的代数重数 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称 sin秩i EnAi1,2,L,k 为i 的几何重数 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结silii1,2,L,k ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 级方阵 A 可对角化对 i1,2,L,k 都有 i

25、的代数重数 =i 的几何重数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注:1 、 设齐次线性方程组i EnA X0的解空间为Wi , 就 sidim Wi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V2、 称iCn Ai为 n 级方阵 A 的属于特点值i 的特点子空间 , 那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结isdim Vi(2) 线性变换可对角化1) 设就是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换 , 假如存在 V 的一组基 , 使得在该基下的矩阵为对角阵, 就称

26、可对角化。2) 数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换可对角化有 n 个线性无关特点向量。3) 设就是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换 , 假如有 n 个不同的特点值 , 就可对角化。4) 设就是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换 ,在V 的一组基下的矩阵为A ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 1 ,2 ,L ,k 就是 n 级方阵 A 的全部不同的特点值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 1 ,2,L , kP , 那么 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

27、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可对角化对 i1,2,L,k 都有 i 的代数重数 =i 的几何重数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 1 ,2 ,L, k 不全在数域 P 中, 就不行对角化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Vi注:i 的几何重数 = dim, 其中Vi为的属于特点值i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Vi的特点子空间。四. 线性变换的值域与核1 、 定 义 :设就 是 数 域P上 的 线 性 空 间 V的 线 性

28、变 换 ,将可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 0V0,VV分别称为线性变换的核与值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 与 V 也分别记为 ker与 Im 。2 、 线 性 变 换 的 秩 与 零 度 :V 与10都 就 是 V 的 子 空 间 , 将 dimV与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dim1 0分别称为的秩与零度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 有限维线性空间的线性变换的值域与核设 V 就是数域P 上的 n 维线性空间 ,就是 V 的线性变换 ,1,2 ,L,n

29、 为 V 的一组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基,在该基下的矩阵为A , r秩 A ,a11a22LannV 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结110a1 a2就是齐次线性方程组ManAX0 的解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如 1 ,2 ,L, n r就 是 AX0 的 一 个 基 础 解 系 , 那 么 1 ,2 ,L ,n r 其 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1,2

30、,L ,nkk1,2, L, nr就就是10 的一组基 , 于就是 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1dim0nr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 0L,L ,kkLkk ,k ,L ,kP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n r1 122n rn r12n r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此的秩与零度为 nr 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) VL1,2,L ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于就是1,2 ,L ,n的一个极大线性无

31、关组就就是V 的一组基 , 而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,2,L ,n的秩等于秩A = r , 所以 dimVr , 即的秩为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结秩 A = r 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4) dimVdim1 0n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 求法 :设V 就是数域 P 上的 n 维线性空间 ,就是 V 的线性变换。1) 10 的求法 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 取定 V 的一组基1,2 ,L,n ,求出在该基下的矩阵

32、 A ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解齐次线性方程组AX0 , 得其一个基础解系1 ,2 ,L,n r r秩 A ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 令 k1,2 ,L ,nkk1,2, L, nr,得10 的一组基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,2,L ,n r ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10L1,2 ,L, n rk1 1k2 2Lkn rn rk1,k2 ,L,kn rP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) V 的求法 : 取定 V 的一组基1 ,2,L,n ,求出在该基下的矩阵 A ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 设矩阵 A 的列向量组为1,2,L,n ,求出 1 ,2,L,n 的一个极大线性无关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结组 i ,i ,L ,