线性规划的常见题型及其解法 .docx

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1、精品名师归纳总结课题线性规划的常见题型及其解法答案线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函数、平面对量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然的融合在一起,使数学问题的解答变得更加新奇别致归纳起来常见的命题探究角度有：1. 求线性目标函数的最值2. 求非线性目标函数的最值3. 求线性规划中的参数4. 线性规划的实际应用本节主要讲解线性规划的常见基础类题型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【母题一】 已知变量 x, y 满意约束条件x y3, x y 1, 2x y 3,就目标函数 z 2x 3y 的取值范畴为 可编辑资料 - - - 欢迎下

2、载精品名师归纳总结A 7 , 23B 8, 23C7 , 8D 7 , 25x求这类目标函数的最值常将函数z axby 转化为直线的斜截式：y abz,通过求b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线的截距 z的最值,间接求出z 的最值 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 画出不等式组x y 3, x y 1, 2x y 3,表示的平面区域如图中阴影部分所示,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由目标函数 z 2x3y 得 y 2x zy 2x 知在点 B 处目标函数取到最小值,解方程组可编辑资料

3、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结,平移直线333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x y 3, 2x y 3,x 2,得y 1,所以 B2,1, zmin 2 2 31 7,在点 A 处目标函数取到最大值,解方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x y 1, 2x y 3,x 4,得y 5,所以 A4,5, zmax 2 4 3 5 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【母题二】 变量 x, y 满意x 4y 30, 3x 5y 25 0

4、, x 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y(1) 设 z,求 z 的最小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x 1(2) 设 z x2 y2,求 z 的取值范畴。(3) 设 z x2 y2 6x 4y 13,求 z 的取值范畴点x,y 在不等式组表示的平面区域内, y1y 0表示点 x,y和 10 连线的斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22x 121,x2率。x2 y2 表示点 x,y和原点距离的平方。x2 y2 6x 4y 13 x 32 y 22 表示点 x,y和点 3,2的距离的平方 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

5、【解析】 1 由约束条件x4y 3 0, 3x 5y 25 0, x 1,作出 x, y的可行域如下列图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 1,由解得 A 1,3x5y 25 0,22 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 1,由x 4y 3 0,解得 C1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 4y 3 0,由3x 5y 25 0,解得 B5,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

6、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 zyy 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x 1x12212 012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 z 的值即是可行域中的点与, 0 连线的斜率,观看图形可知zmin 2 9125 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 z x2 y2 的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方 结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,dmin |OC|2, dmax |OB| 29 2 z 293 z x2 y2 6x4y 13 x 32 y 22 的几何意义是： 可行域上的点到点 3,2的距离的平方结合图形可

7、知,可行域上的点到 3,2的距离中, dmin 1 3 4,dmax 3 5 2 2 2 2 8 16 z 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是精确作出可行域,懂得目标函数的意义2. 常见的目标函数有：(1) 截距型：形如 z axby可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x求这类目标函数的最值常将函数z ax by 转化为直线的斜截式： y ab最值,间接求出 z 的最值zz,通过求直线的截距的bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 距离型：形一：如zx a2 yb2, zx2 y2 Dx

8、Ey F,此类目标函数常转化为点x,y与定点的距离。形二： z x a2 yb2, z x2 y2Dx Ey F,此类目标函数常转化为点x,y与定点的距离的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平方d(3) 斜率型：形如z y, z ay bzy, z ay b x,y与定点所在直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线的斜率xcx ,cx dx,此类目标函数常转化为点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【提示】留意转化的等价性及几何意义角度一：求线性目标函数的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 2022 新课标全国 卷设 x, y 满意约

9、束条件x y7 0, x 3y1 0, 3x y5 0,就 z2x y 的最大值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 10B 8C3D 2【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示,由 z 2xy 得 y 2xz,作出直线 y 2x,平移使之经过可行域,观看可知,当直线经过点A5,2 时, 对应的 z 值最大故 zmax 2 5 2 8【答案】 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 2022高考天津卷 设变量 x, y 满意约束条件x 2 0, x y3 0, 2x y3 0,就目标函数 z x6y 的最大值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 3

10、B 4C18【解析】D 40作出约束条件对应的平面区域如下列图,当目标函数经过点 0,3时, z 取得最大值18【答案】 C32022 高考陕西卷 如点 x,y位于曲线 y |x|与 y 2 所围成的封闭区域, 就 2x y 的最小值为 A 6B 2C0D 2【解析】 如图,曲线 y |x|与 y2 所围成的封闭区域如图中阴影部分,令 z 2xy,就 y2x z,作直线 y 2x,在封闭区域内平行移动直线y 2x,当经过点 2,2时, z取得最小值,此时z2 2 2 6【答案】 A角度二：求非线性目标的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 2022高考山东卷 在平面直角坐标系

11、xOy 中, M 为不等式组2x y 2 0, x 2y 1 0, 3x y 8 0所表示的区域上一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结动点,就直线 OM 斜率的最小值为 A 2B 111C 3D 2【解析】 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显当点 M 与点 A 重合时直线 OM 的斜率最小, 由直线方程 x 2y 1 0 和 3x y 80,解得 A3 , 1,故 OM 斜率的最小值为 13【解析】 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知实数 x,y 满意0 x 2, y 2, x 2y,就 z2

12、x y 1x1的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】 由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数 z 2x y 1 2y 1的取值范畴可转化为点x,y与1, 1所在直线的斜率加上2 的取值x 1x 1范畴,由图形知,A 点坐标为 2,1,就点 1, 1与2, 1所在直线的斜率为22 2,点 0,0 与1, 1所在直线的斜率为 1,所以 z 的取值范畴为 , 1 224, 【答案】 , 1 22 4, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 2022 郑州质检 设实数 x, y 满意不等式组x y 2 y x 2, y 1,就 x2y2 的取值范畴是

13、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1 , 2B 1, 4C2, 2D 2 , 4【解析】 如下列图,不等式组表示的平面区域是ABC 的内部 含边界 ,x2 y2 表示的是此区域内的点x,y到原点距离的平方从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离,其值为1。最远的距离为AO,其值为 2,故 x2y2 的取值范畴是 1,4 【答案】 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 2022 高考北京卷 设 D 为不等式组间的距离的最小值为x0, 2xy 0, xy 3 0所表示的平面区域,区域D 上的点与点 1,0之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解

14、析】 作出可行域,如图中阴影部分所示,就依据图形可知,点B1,0到直线 2xy 0 的距离最小, d |2 1 0|25,故最小距离为 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 25522 1 55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 设不等式组x 1, x2y 3 0, yx所表示的平面区域是1,平面区域 2 与 1 关于直线 3x4y 9 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称对于 1 中的任意点 A 与 2 中的任意点 B, |AB|的最小值等于 28A 5B 4可编辑资料 - - - 欢

15、迎下载精品名师归纳总结C125D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 不等式组x 1x 2y3 0 y x,所表示的平面区域如下列图,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组x 1,得y xx 1点 A1,1到直线 3x 4y9 0 的距离 dy 1|3 4 9|5 2,就|AB|的最小值为 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 B角度三：求线性规划中的参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 如不等式组x 0, x 3y

16、 4, 3xy 4所表示的平面区域被直线y kx4分为面积相等的两部分,3就 k 的值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结73A 3B 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C4D334【解析】 不等式组表示的平面区域如下列图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于直线 y kx40, 4因此只有直线过AB 中点时, 直线 y kx4A1,1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3过定点32154155k4 能平分平面区域 由于37可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B0,4 ,所以 AB 中点 D【解析】 A,当 y kx 23

17、过点2, 2时, 223,所以 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 2022 高考北京卷 如 x, y 满意x y 20, kx y 20, y 0,且 z y x 的最小值为 4,就 k 的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2B 211C2D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 D作出线性约束条件x y 2 0, kx y 2 0, y 0的可行域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k 0 时,如图所示,此时可行域为y 轴上方、直线 x y 2 0 的右上方

18、、直线 kx y 2 0 的右下方的区域,明显此时z y x 无最小值当 k 1 时, zy x 取得最小值 2。当 k 1 时, z y x 取得最小值 2,均不符合题意2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 1 k 0 时,如图所示,此时可行域为点A2,0, B , 0 ,C0,2 所围成的三角形区域,当k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221直线 z y x 经过点 B k, 0 时,有最小值,即 k 4. k 2【答案】 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112022 高考安徽卷 x,y 满意约束条件x y 2 0, x2y 2 0, 2x

19、 y 2 0.如 z y ax 取得最大值的最优解不唯独,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就实数 a 的值为 112A 或 1B 2 或2C2 或 1D 2 或 1【解析】法一 ：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知 A0,2, B2,0, C 2, 2,就zA 2,zB 2a,zC 2a 2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯独,只要 zA zB zC 或 zA zC zB 或zB zC zA,解得 a 1 或 a 2法二 ：目标函数 z y ax 可化为 yax z,令 l 0：y ax,平移 l0 ,就当 l 0 AB 或 l 0 AC 时符合题意, 故 a 1

20、或 a 2【答案】 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12在约束条件x 0, y 0, x y s, y 2x4.下,当 3s 5 时,目标函数 z 3x2y 的最大值的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 6 , 15B 7, 15C6 , 8D 7 , 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 由x y s, y 2x 4,x 4 s,得y 2s 4,就交点为 B4 s,2s 4,y 2x 4 与 x 轴的交点为 A2,0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与 y 轴的交点为C 0,4, x y s 与 y 轴的交点为

21、 C0, s作出当 s3 和 s 5 时约束条件表示的平面区域,即可行域,如图12 中阴影部分所示12当 3 s 4 时,可行域是四边形OABC 及其内部,此时, 7 zmax 8。 当 4 s 5 时,可行域是 OAC 及其内部,此时,zmax 8综上所述,可得目标函数z 3x 2y 的最大值的取值范畴是7, 8 【答案】 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结132022 通化一模 设 x,y 满意约束条件x 0, y 0,如 zx2y 3x 1的最小值为3,就 a 的值为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x y 1, 3a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精

22、品名师归纳总结 1【解析】 x 2y 3x 12 y 1x 1y 1,而表示过点 x,y与1, 1连线的斜率,易知a 0, x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可作出可行域,由题意知y 11,即 y 1 0 1 1 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x 的最小值是 4x 1 min3a 1. a3a 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 1角度四：线性规划的实际应用14. A, B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知A 产品需要在甲机器上加工3 小时

23、,在乙机器上加工1 小时。 B 产品需要在甲机器上加工1 小时,在乙机器上加工3 小时 在一个工作日内, 甲机器至多只能使用11 小时, 乙机器至多只能使用9 小时 A 产品每件利润 300元, B 产品每件利润400 元,就这两台机器在一个工作日内制造的最大利润是 元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】设生产 A 产品 x 件, B 产品 y 件,就 x,y 满意约束条件3x y 11, x 3y9, x N, y N,生产利润为 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结300x 400y画出可行域,如图中阴影部分包含边界 内的整点,明显z 300x 400y

24、在点 A 处取得最大值,由方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3xy 11,程组解得x 3y 9,【答案】 1 700x 3, y 2,就 zmax 300 3 400 2 1 700故最大利润是 1 700 元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15. 某玩具生产公司每天方案生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个,生产一个卫兵需5 分钟,生产一个骑兵需7 分钟,生产一个伞兵需4 分钟,已知总生产时间不超过10 小时如生产一个卫兵可获可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利润 5 元,生产一个骑兵可获利润6 元,生产一个伞兵可获利润3 元 1试用每天生产

25、的卫兵个数x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 w 元。 2怎样安排生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少？【解析】 1依题意每天生产的伞兵个数为100x y,所以利润 w 5x 6y 3100 x y 2x3y 300可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 约束条件为5x 7y 4 100x y 600,100 x y 0, x 0,y 0, x,y N .整理得x 3y 200, x y 100,x 0, y0, x, yN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结目标函数为 w 2x 3y 300 作出可行域如下列图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

26、总结初始直线 l 0：2x 3y 0,平移初始直线经过点A 时,w 有最大值由最优解为 A50,50 ,所以 w max 550 元x 3y 200, x y 100,x50,得y50.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以每天生产卫兵50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,最大利润为550 元一、挑选题1. 已知点 3, 1 和点 4, 6在直线 3x 2y a 0 的两侧,就 a 的取值范畴为 A 24,7B 7,24C, 724 , D , 24 7, 【解析】 依据题意知 9 2 a 1212 a 0即a 7a 24 0,解得 7a 24【答案】 B可编辑资料

27、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 2022 临沂检测 如 x,y 满意约束条件x0, x2y 3, 2x y 3,就 z xy 的最小值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 3B 03C2D 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 作出不等式组x 0, x 2y 3, 2x y 3表示的可行域 如下列图的 ABC 的边界及内部 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平移直线 zx y,易知当直线 z xy 经过点 C0,3时,目标函数 zxy 取得最小值,即 zmin 3【答案】 Ax|y | 1, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

28、师归纳总结32022泉州质检 已知 O 为坐标原点, A1,2 ,点 P 的坐标 x,y满意约束条件x0,就 zOAOP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的最大值为 A 2B 1C1D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 如图作可行域, z x2y,明显在 B0,1处 z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAOPmax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知实数 x,y 满意：x 2y 10, x2, xy 1 0,就 z 2x 2y1 的取值范畴是 可编辑资料

29、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3A 5, 5B 0, 5C 5, 5D 5, 533【解析】 画出不等式组所表示的区域,如图阴影部分所示,作直线l：2x 2y1 0,平移 l 可知 2 1325可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 1z2 2 2 1 1,即 z 的取值范畴是 ,5 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 D5. 假如点 1, b在两条平行直线 6x 8y1 0 和 3x 4y 50 之间,就 b 应取的整数值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2B 1C3D 0【解析】 由题意知 6 8b 13 4b 5 0,

30、即 b78b 2 0, 7 b 2, b 应取的整数为 18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 B62022 郑州模拟 已知正三角形 ABC 的顶点 A1,1,B1,3 ,顶点 C 在第一象限, 如点 x,y在 ABC内部,就 z x y 的取值范畴是 A 1 3, 2B 0, 2C3 1,2D 0, 1 3【解析】 如图,依据题意得C1 3, 2作直线 x y 0,并向左上或右下平移,过点B1,3和 C1 3, 2时, z xy 取范畴的边界值, 即 1 3 2z 13, z x y 的取值范畴是 1 3, 2【答案】 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

31、72022 成都二诊 在平面直角坐标系xOy 中, P 为不等式组y 1, x y2 0, x y1 0,所表示的平面区域上一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结动点,就直线 OP 斜率的最大值为 1A 2B 31C2D 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 作出可行域如下列图,当点P 位于x y2, y 1,的交点 1,1时, kOPmax 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 D8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A x, y|x y 1,且 x 0, y 0 ,就平面区域 B x y, x y|x, y A 的面积为 A

32、2B 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1D124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 不等式x y 1, x 0, y 0,所表示的可行域如下列图,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 ax y,b x y,就此两目标函数的范畴分别为a x y 0,1 ,b x y 1,1 ,又 a b 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0,2 ,a b 2y 0,2 ,点坐标 x y,x y,即点 a,b满意约束条件0 a 1, 1 b1, 0 a b2,0 a b2,作出该不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式组所表示的可行域如下列图,由图示可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积S【答案】 B12 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 设 x,y 满意约束条件的取值范畴是 3xy 2 0, x y0, x 0, y 0,如目标函数 z ax bya 0, b 0的最大值为 4,就 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 0, 4B 0, 4C4 ,