第十节连续函数的运算与初等函数的连续性.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第十节连续函数的运算与初等函数的连续性要求 ：会利用函数的连续性求函数的极限，会争论分段函数的连续性。重点 ：利用函数的连续性求函数的极限。难点 ：分段函数连续性的争论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作业 ：习题 1 10（P86 ） 1,2 4567,334 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题提出为了争论函数的连续性，用定义逐点争论将是很困难的但是， 假如我们用连续函数的一些特别性质来争论将会便利得多，因此来争论连续函数的四就运算，复合运算，从而争论我们主要争论对

2、象初等函数连续性一、连续函数的和、差、积及商的连续性定理 1有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数定理 2有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数定理 3两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数，且分母在该点不为零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1函数tan xsin x, cot xcos x，由于sinx,cos x 在区间 , 内连续，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故由定理3 知正切tan x 和余切函数cotx 在它们的定义域内是连续函数可编辑资料 - - - 欢迎下

3、载精品名师归纳总结结论 2三角函数在它们的定义域内是连续函数二、反函数与复合函数的连续性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 4假如函数yf x在区间I x 上单调增加（或单调削减）且连续，那么它的反可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 x y 在对应的区间I yyf x xI x上单调增加（或单调削减）且连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2正弦函数ysinx在区间 , 上单调增加且连续，所以它的反正弦函数22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

4、名师归纳总结yarcsin x 在相应的闭区间1,1 上也是单调增加且连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同样，反余弦函数yarccos x 在区间 1,1 上是单调削减且连续。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反正切函数yarctan x 在区间 , 内是单调增加且连续。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反余切函数yarc cotx 在 , 是单调削减且连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论 3反三角函数在它们的定义域内是连续函数可编辑

5、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 5设函数 ux 当 xx0 时的极限存在且等于a ，即lim xa ，而函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf u 在点 ua 处连续，那么复合函数yf x ，当 xx0 时的极限也存在且等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于 f a ，即limf xf a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明（1）上式又可写为limf xf lim x 。可

6、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx 0xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）定理 5 中的 xx0 换成 x可得类似定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3求极限lim arctansin x可编辑资料

7、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x解lim arctan sin xarctanlim sin xarctan1x0xx0x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 6设函数 u x 在点x0 处连续且 x0 u0 ，而函数yf u 在点u0 处连可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结续，那么复合函数yf x 在点x0 处也是连续的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明由于 limuaf uf a ，所以0,0, 当 | ua |时，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| f uf a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

8、结又由于x 在点x0 连续，所以对上述的0 ，0 ，当 | xx0 |时，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| xa |即| ua |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是，对0,0, 当 | xx0 |时，总有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| f xf a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以复合函数yf x 在点x0 处连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4争论函数ysin3x22x5 及 ysin1的连续性2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

9、结解函数 ysin3x2x5 可看作由ysin u 及 u23x2 x5 复合而成，而正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弦函数ysin u 在区间u内是连续函数，又函数u3x22 x5 在 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结内是连续函数，据定理6 知复合函数ysin3x22x5 在区间 , 内是连续函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 ysin 1x可看作由ysin u 及 u1 复合而成，而正弦函数

10、xysin u 在区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u内是连续函数，又函数u1 在xx0 和 0x内是连续函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结据定理 6 知复合函数ysin 1x在区间 ,0 和 0, 内是连续函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、初等函数的连续性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 指数函数yax a0, a1) 在区间 , 内是连续函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明对任 x0, ，yax0 xax0a x0 a x1，在极限部分已证明极限

11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim a x1 ，所以 lim a x1 ，故 limylima x0 a x10 ，因此指数函数ya x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0x0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

12、师归纳总结点 x0 处连续，又由于x0, 的任意性，指数函数ya x 在 , 内连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 对数函数 ylog axa0,a1) 在区间0, 内是连续函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由指数函数ya x 单调性和连续性得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3幂函数yx（为任何实数） 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结幂函数定义域随而变， 不过在0, 内总是有定义的，因此幂函数在0, 内是连可编辑资料 - - -

13、 欢迎下载精品名师归纳总结续的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 yxln xey，函数eu 与 uln x 都是连续的， 由定理 6 可知幂函数yx在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间 0, 内连续4幂指函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 yu x v x ,ux0 的函数称为幂指函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数u x, vx 连续，且u x0 ，就幂指函数yu x v x连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

14、师归纳总结如极限limu xA A0, limv xB ，就limu xv x A B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx 0xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5求极限lim12x sin x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x021 2x1 lim 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解lim1xsin xlim1x x sin xlim1x x x0 sin xe2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0x0结论 4指数函数，对数函数，幂函数在它

15、们的定义域内连续5初等函数连续性（ 1）基本初等函数在它们的定义域内是连续函数（ 2）一切初等函数在其定义区间内是连续的（定义区间：包含在定义域内的区间）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明由连续性供应了求极限的方法，假如f x 是初等函数，且x0 是函数f x 的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义区间内的点，就有limf xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 6求极限 limx0ln sin x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由于 x0x2是初等函数2f xln

16、sin x定义区间内的点，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limx2ln sin xln sin0 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7求极限lim1x21x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - -

17、 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x21x1x21xx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解limlimlim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0 x1x2log a 1x1xx01x21x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8求极限 limx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m解l il o ga 1xlimlog a 11x xlog a lim 11x x1log a e，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0x0ln a可编辑资料 -

18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ae ，就limln1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xa x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9求极限lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x解lim ax01 axx1 ttlimln a ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xt0 log a 1t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ae ，就lim e11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例

19、10求极限limln12 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解limln12 xlimln112x xln lim 11 22x 2xln e2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xe3xx0x01 3x tet1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又同理可得limlim33 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xt0t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从上面两例可得到，lim0ln1e1, lim011 ，（中变量一样） 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

20、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11求极限limnnn a1a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由于 n改为连续变量x，令 1xt ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limxx a11xlima11xlima1limet ln a1limet ln a1 ln aln a ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx1x1xxt0tt0t ln a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由函数极限与数列极限关系定理，当n 为自然数时，有可编辑资料 - - -

21、欢迎下载精品名师归纳总结limnnn a1ln a x2 ,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12当 b 为何值时，函数f xxb,在区间 ,x1 上连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解当 x1 时，f xx 2 为初等函

22、数，所以是连续函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1 时，f xxb 为初等函数 , 所以是连续函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1时，如使函数在x1 处连续，必有f 10f 10f 1 ，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1b1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，当 b0 时，函数f x 在点 x1 处连续，从而在区间, 上连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6常用的基本极限可编辑资料 - -

23、- 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）设Pxa x na xn 1an , Qxb x mb x m 1bm ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0101（ a00,b00, m, n 为自然数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就PxP x0 , Q x0 Q x0 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l i m,Q x0 0, Px0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0Q x消 去 零 因 子Q，x0 0, P x0 0可编辑资料

24、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limxP xQ xa 0,mnb00,mn ,mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） limsin x1,limtan x1,lim 1cos x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0xx0x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）1xlim 1e,lim 11x xe ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xlimxx0log a 1x1limln1x1 ，可编辑资料 - - - 欢

25、迎下载精品名师归纳总结x0xln ax0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxlim a1ln alim e11 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）lim n n1,nlim n an1a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5） limxarctan x, 2limxarctan x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limxlimxarc cot x e x,0,limxlimxe xarc cot x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载