线性代数重点总结.docx

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1、精品名师归纳总结A不行逆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r AAAxn有非零解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0是A的特点值A的列（行）向量线性相关A可逆 r AnAx0只有零解A的特点值全不为零AA的列（行）向量线性无关AT A是正定矩阵A与同阶单位阵等价Ap1 p2ps , pi是初等阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R n , Ax总有唯独解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组等价相像矩阵矩阵合同具有反身性、对称性、传递性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 关于

2、 e1 ,e2, en ：称为n 的标准基,n 中的自然基,单位坐标向量。 e1 ,e2, en 线性无关。 e1, e2 , en1。 tr E =n 。任意一个 n 维向量都可以用 e1 , e2 , en 线性表示 . 行列式的运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 A与B 都是方阵（不必同阶） , 就AAAA BBBB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1mn A BB上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于副对角线：a2n 1a1 na2n 1

3、a1n1n n 12a aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n2nn1an1an1 逆矩阵的求法 : A 1A A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A E初等行变换 E A 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1ab1dbTTTABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cdadbccaCDBTD T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a2A11a11a2aan1n1A 111a1ana21a2aan1111AA可编辑资料

4、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结111n1A2A2A2A12AA 1AA 1nnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 方阵的幂的性质：Am AnAm n Am n Amn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 设 f xa xmaxm 1a xa ,对 n 阶矩阵 A 规定：f Aa AmaAm 1a Aa E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mm 110mm 110为 A 的一个多项式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 设 Am n , Bn s,A 的 列 向 量 为 1,2 ,n ,B 的 列 向 量 为 1 ,2 ,s ,

5、AB 的 列 向 量 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r1, r2, rs,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就： riA i ,i1,2, s,即 A 1,2,s A1, A2 , A s 用A, B中简可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如b , b , b T , 就 Abbb单的一个提可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n1122nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： AB的第i个列向量 ri是A的列向量的线性组合AB的第i个行向量 ri是B的行向量的线性组合,组合系数就是,组合系数就是i的各重量。高运算速度

6、i的各重量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用对角矩阵左乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量。用对角矩阵右乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与分块对角阵相乘类似 , 即： AA11A22B11, BB22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A11B11ABA22 B22AkkBkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

7、师归纳总结Akk Bkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 矩阵方程的解法：设法化成IAXB或IIXAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 A0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(I) 的解法：构造 A B初等行变换 E X （当B为一列时 ,即为克莱姆法就）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(II) 的解法：将等式两边转置化为AT X TBT,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用I 的方法求出X T,再转置得 X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资

8、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Ax和 Bx同解（A, B 列向量个数相同） , 就： 它们的极大无关组相对应 , 从而秩相等。 它们对应的部分组有一样的线性相关性。 它们有相同的内在线性关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 判定 1,2 , s 是 Ax0 的基础解系的条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,2, s 线性无关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,2, s 是 Ax0 的解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 snr A每个解向量中自由变量的个数 . 零

9、向量是任何向量的线性组合 , 零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关。单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关。整体无关 , 部分必无关 . 原向量组无关 , 接长向量组无关。接长向量组相关 , 原向量组相关 . 两个向量线性相关对应元素成比例。两两正交的非零向量组线性无关. 向量组1,2,n 中任一向量 i 1 i n 都是此向量组的线性组合 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 向量组1,2,n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1 个向量线性表示 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

10、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组1,2,n 线性无关向量组中每一个向量i 都不能由其余 n1个向量线性表示 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 维列向量组1,2,n 线性相关r An 。m 维列向量组r A0A1,.2,n 线性无关r An .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 1,2 ,n 线性无关,而 1,2,n ,线性相关 , 就 可由 1,2 ,n 线性表示 , 且表示法惟可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一.矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩 .阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 .矩阵的行初等变换不转变矩阵的秩 ,

11、且不转变列向量间的线性关系矩阵的列初等变换不转变矩阵的秩 , 且不转变行向量间的线性关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组等价1,2 ,n 和 1 ,2 ,n 可以相互线性表示 .记作：1,2,n1,2 ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B .记作： AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.矩阵 A 与 B 等价r Ar BA, B 作为向量组等价 , 即：秩相等的向量组不肯定等价.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵 A 与 B 作为向量组

12、等价r 1,2 ,nr 1,2,nr 1,2,n, 1,2 ,n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵 A 与 B 等价.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.向量组1,2,s 可由向量组 1,2,n 线性表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 1,2,n,1,2 ,s r 1,2 ,n r 1,2 ,s r 1,2,n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.向量组1,2,s 可由向量组 1,2,n 线性表示 , 且sn,就 1,2 ,s 线

13、性相关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组1,2,s 线性无关 , 且可由1,2 ,n 线性表示 , 就s n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.向量组1,2,s 可由向量组 1,2,n 线性表示 , 且r 1,2,sr 1,2,n , 就两向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量组等价。.任一向量组和它的极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价., 且这两个组所含向量的个数相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.如两个线性无关的

14、向量组等价 , 就它们包含的向量个数相等 .如 A 是mn矩阵, 就 r Amin m, n , 如r Am, A 的行向量线性无关。如r An , A 的列向量线性无关 , 即：1,2,n 线性无关 .线性方程组的矩阵式Ax向量式x11x22xnnAa11a21a12a22a1na2n, xx1x2,b1b21 j2 jj, j1,2, nam1am2amnxnbmmj可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结立身以立学为先,立学以读书为本可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ax有无穷多解nAx有非零解当A为方阵时A0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资

15、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,2 ,n 线性相关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可由1 ,2,n 线性表示Ax有解r Ar AAx有唯独组解Ax只有零解当A为方阵时A0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1 ,2 ,n线性无关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当A为方阵时克莱姆法就r Ar A不行由 1 ,2 ,n线性表示Ax无解r Ar Ar A1r A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TT矩阵转置的性质： A A ABB A

16、kAkAAA ABTAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵可逆的性质： A 1 1A AB 1B 1 A 1kA 1k 1 A 1A 1A 1 A 1T AT 1 A 1 k Ak 1A k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A相伴矩阵的性质： A n 2AA ABB AkAkn 1 An 1 AAA1 A 1A A kAk AAA AA E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TTTTTTTTnr A 1

17、0如r An如r An1如r An1ABA BkAkn A A A kkAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11, 2是Ax0的解 ,12也是它的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2是Ax0的解 , 对任意k, k也是它的解齐次方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31,2,k是Ax0的解 ,对任意k个常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,2 ,k , 1 122kk也是它的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线性方程组

18、解的性质：4是Ax的解,是其导出组 Ax0的解 ,是Ax的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结51,2是Ax的两个解 ,12是其导出组 Ax0的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结62是Ax的解,就1也是它的解12是其导出组 Ax0的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结71,2,k 是Ax的解,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1221 122kk也是Axkk是Ax的解0的解12k112k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

19、 设 A 为mn矩阵, 如 r Am, 就 r Ar A , 从而 Ax肯定有解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 mn 时, 肯定不是唯独解 .方程个数未知数的个数向量维数向量个数, 就该向量组线性相关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 是r A和r A 的上限. 矩阵的秩的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r Ar AT r AT A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r AB r Ar B可编辑资料 - - - 欢迎下

20、载精品名师归纳总结 r AB min r A, r B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r kAr A 如k00如k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 rAr A Br B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如A0,就r A 1 如Am n , Bn s, 且r AB0,就r Ar B n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如P,Q可逆, 就r PAr AQr A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如A可逆,就r ABr B可

21、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如B可逆,就r ABr A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如r An, 就r ABr B, 且 A 在矩阵乘法中有左消去律 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB0BABACBC标准正交基 n 个n 维线性无关的向量 , 两两正交 , 每个向量长度为 1.与 正交 ,0 .是单位向量,1. 内积的性质： 正定性： ,0,且,0,2 ,1 ,2 1,2,c, c 对称性： , 双线性： ,1 12 ,c,施密特1,2 ,3线性无关 ,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正交化2,1可编辑资料 - -

22、- 欢迎下载精品名师归纳总结2211 1123,13,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3311 22 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单位化： 112233123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正交矩阵AATE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 A 是正交矩阵的充要条件： A 的 n个行（列）向量构成n 的一组标准正交基 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 正交矩阵的性质：ATA。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结。TTAAA AE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T A 是正交阵

23、 , 就A （或A 1 ）也是正交阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 两个正交阵之积仍是正交阵。 正交阵的行列式等于1 或-1.A的特点矩阵EA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A的特点多项式EAf .A的特点方程EA0 .AxxAx与x线性相关 上三角阵、下三角阵、对角阵的特点值就是主对角线上的n 各元素.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 A0 , 就0 为 A 的特点值 , 且 Ax0 的基础解系即为属于0 的线性无关的特点向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A1

24、2nnitr A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 a2 如 r A1 , 就 A 肯定可分解为 A =b ,b ,b、A21 12 2n na ba ba b A , 从而 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的特点值为： 1tr Aa1b1a2b2an bn ,23n0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 A 的全部特点值 1 ,2 , n ,f x 是多项式 , 就:可编辑资料 -

25、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f A 的全部特点值为f 1 , f 2, f n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 A 可逆时,A 1 的全部特点值为1 , 1 , 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的全部特点值为AAA.,12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kAkaAbEab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1是A的特点值 ,就:21分别有特点值2.可编辑资料

26、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结AmmAAAkAkaAbEabA11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x是A关于 的特点向量,就x也是关于A2Am A2的特点向量 .m A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A与 B 相像BP 1AP（ P 为可逆阵）记为： AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A 相像于对角阵的充要条件： A 恰有n 个线性无关的特点向量 .这时, P 为 A 的特点向量拼成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的矩阵,P 1AP 为对角阵 , 主对角线上的元素为 A

27、的特点值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A 可对角化的充要条件：nr i EAkiki 为 i 的重数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 n阶矩阵 A 有n 个互异的特点值 , 就 A 与对角阵相像 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A与 B 正交相像BP 1 AP（ P 为正交矩阵）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 相像矩阵的性质：A 1B 1如 A, B 均可逆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

28、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ATBTkk AB（ k 为整数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EAEB , 从而 A, B 有相同的特点值 , 但特点向量不肯定相同 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即: x 是 A 关于 0 的特点向量 , P1x 是 B 关于的特点向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0AB从而 A, B 同时可逆或不行逆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r Ar B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 tr Atr B可编辑资料 - -

29、- 欢迎下载精品名师归纳总结 数量矩阵只与自己相像 . 对称矩阵的性质： 特点值全是实数 , 特点向量是实向量。 与对角矩阵合同。 不同特点值的特点向量必定正交。 k 重特点值必定有 k 个线性无关的特点向量。 必可用正交矩阵相像对角化（肯定有n 个线性无关的特点向量 , A 可能有重的特点值 , 重数= nr EA ）.A可以相像对角化A 与对角阵相像.记为： A（称 是 A 的相像标准型） 如 A 为可对角化矩阵 , 就其非零特点值的个数（重数重复运算）r A . 设 i 为对应于i 的线性无关的特点向量 , 就有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

30、迎下载精品名师归纳总结A 1,2,n A1, A2 , An11 ,2 2 ,nn 121,2,n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Pn 如 AB ,CD , 就： AB.CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T 如 AB , 就f Af B ,f Af B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次型f x1, x2, xnX T AXA 为对称矩阵X x1, x2, xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A与 B 合同BC T AC .记作： AB（ A, B为对称阵,C为可逆阵 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是： AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师