线性代数知识点总结5.docx

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1、精品名师归纳总结线性代数学问点总结（第3 章）（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（,）=T = T2、长度定义：| |= 3、正交定义：（ ,） = T=T=a1b1+a2b2+anbn =04、正交矩阵的定义： A 为 n 阶矩阵, AAT=E A-1=AT ATA=E |A|= 1（二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量 可由1,2, s 线性表示1非齐次线性方程组（ 1,2, s）（x1, x2, xs） T=有解。 2r （ 1, 2, s）=r（ 1, 2, s,）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件： （明白即可）如1,

2、2,s 线性无关, 1, 2,s,线性相关,就 可由1, 2, s 线性表示。7、线性表示的求法：（大题其次步）设1, 2, s 线性无关, 可由其线性表示。（ 1, 2, s| ）初等行变换 （行最简形 | 系数） 行最简形：每行第一个非 0 的数为 1,其余元素均为 0（三）线性相关和线性无关8、线性相关留意事项：（1） ） 线性相关 =0（2） ） 1, 2 线性相关 1, 2 成比例9、线性相关的充要条件：向量组 1, 2, s 线性相关（ 1） 有个向量可由其余向量线性表示。（ 2） 齐次方程（ 1, 2, s）（x1,x2, xs）T=0 有非零解。（ 3）r （1,2, s） s

3、 即秩小于个数特殊的, n 个 n 维列向量 1, 2, n 线性相关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） r（1,2, n）n（ 2） | 1, 2, n |=0（ 3） （ 1,2, n）不行逆10、线性相关的充分条件：（1） ）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2） ）部分相关,就整体相关（3） ）高维相关,就低维相关（4） ）以少表多,多必相关推论： n+1 个 n 维向量肯定线性相关11、线性无关的充要条件向量组 1, 2, s 线性无关（ 1） 任意向量均不能由其余向量线性表示。（ 2） 齐次方程（ 1, 2, s）（x1,x2, xs）T=0 只有零解（

4、3） r（ 1,2, s）=s特殊的, n 个 n 维向量1, 2, n 线性无关r（ 1, 2, n）=n| 1,2, n | 0矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1） ）整体无关,部分无关（2） ）低维无关,高维无关（3） ）正交的非零向量组线性无关（4） ）不同特点值的特点向量无关13、线性相关、线性无关判定（1） ）定义法（ 2）秩：如小于阶数,线性相关。如等于阶数,线性无关【专业学问补充】（ 1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩 =列数）,矩阵的秩不变。在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变。（2） ）如 n 维列向量 1,2 ,3 线性无关, 1,2, 3可以由其线性表示,即（ 1,2,

5、3）=（1,2, 3）C,就 r（ 1,2,3）=r（C）,从而线性无关。r（ 1, 2, 3） =3 r（ C） =3 |C| 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯独15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩 :非零子式的最高阶数注:向量组 1, 2, s 的秩与矩阵 A=（1,2, s）的秩相等 16、极大线性无关组的求法（1） ） 1, 2, s 为抽象的：定义法（2） ） 1, 2, s 为数字的：（ 1, 2, s）初等行变换 阶梯型矩阵就每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五

6、）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：如1, 2, n 与1,2, n 是 n 维向量空间 V 的两组基,就基变换公式为（ 1, 2, n）=（1,2, n）Cnn其中, C是从基 1, 2, n 到1, 2, n 的过渡矩阵。C=（1,2, n）-1（1,2, n）18、坐标变换公式：向量在基1,2, n 与基1,2, n 的坐标分别为 x=（x1,x2, xn）T,y=（ y1,y2, yn）T,即=x1 1 + x2 2 + +xn n =y11 + y22 + +ynn,就坐标变换公式为 x=Cy或 y=C-1x。其中, C是从基 1, 2,n 到 1, 2, n 的过渡矩阵。 C=（1,2, n） -1（ 1, 2, n）（六） Schmidt正交化19、Schmidt 正交化设1, 2, 3 线性无关（ 1）正交化令1=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）单位化可编辑资料 - - - 欢迎下载