第十讲弧弦圆心角圆周角.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第十讲弧、弦、圆心角、圆周角学问点一弧、弦、圆心角的关系【定义】、如下列图， AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做BBAAABOO【探究】如下列图的 O中，分别作相等的圆心角AOB.和 A.OB.将圆心角 AOB绕圆心 O旋转到 A OB的位置，你能发觉哪些等量关系？为什么？相等的弦：。相等的弧：【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等了？如图 1，在 O和 O中，.分别作相等的圆心角AOB和 A OB得到如图2，滚动一个圆， 使 O 与 O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋

2、转一个角度，使得OA与 OA重合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OOOO BBAAOOBOO A AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结你能发觉哪些等量关系？说一说你的理由？因此，我们可以得到下面的定理：【归纳】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦。几何语言：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的相等，.所对的也相等几何语言：在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的相等，.所对的也相等几何语言：【辨析】定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？你能举出反例吗？【拓展】C如图

3、，在 O中， AB、CD是两条弦A（1） 假如 AB=CD，那么 , F（2） 假如弧 AB=弧 CD，那么 , E（3） 假如 AOB= COD，那么 , OD（4） 假如 AB=CD,OEAB，OFCD,OE与 OF相等吗？B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5）假如 OE=OF，那么AB 与 CD的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关系？ .为什么？ AOB与 COD了？【归纳】 : 在同圆或等圆中， 两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也。可编辑资料 - - - 欢迎下载精

4、品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【应用】例、如图，在 O中， AB=ACACB=60 ，求证 AOB=BOC=AOC.方法小结：圆中证明圆心角相等，可通过证明 例、 如图， AB是 O的直径， BC=CD= DE， COD=35，求 AOE的度数。方法小结：同圆中，弧相等的关系可转化为 例、已知：如图，A、B、C、D 在 O 上， AB=CD求证： AOC= DOB可编辑资

5、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法小结：同圆中，由弦相等可得【自我检测】1假如两个圆心角相等，那么（） ,弧之间可进行加或 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A这两个圆心角所对的弦相等B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D以上说法都不对2在同圆中，圆心角AOB=2COD，就两条弧AB 与 CD 的关系是（）两条弦AB 和 CD的关系是（）A. AB=2CDBAB2CDCAB2CDD不能确定 3、一条弦长恰好为半径长，就此弦所对的弧是半圆的 _4、如图， AB和 DE是 O的直径， 弦 AC DE，如弦 BE=3，就弦 CE= 5、如下列图，平行

6、四边形ABCD中，以 A 为圆心， AB 为半径的圆分别交AD、BC于 E、F，延长 BA 交圆于G。求证： EF = EG思路导航 ：证弧 EF和弧 GE 相等，可通过证明两条弧所对的 相等，因此，可作帮助线 6、已知：如图，P 是 AOB 的角平分线OC上的一点， P 与 OA 相交于 E，F 点，与 OB 相交于 G， H 点，试确定线段 EF 与 GH 之间的大小关系，并证明你的结论思路导航： 由角平线线可联想 ,因此可添加辅且线 由同圆中 相等，可得出弦EF和 GH 相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2

7、 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学问点二、圆周角定理【探究】：同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（ AOB和 ACB【探究】：假如同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和 E，他们的视角ADB和 AEB相同吗？ ACB, ADB 和 AEB 的 共 同 特 征 是 ， 顶 点 在 ， 并 且 两 边 的角叫做圆周角。【辨析】识别图形：判定以下各图中的角是否是圆周角？【探究】如图， AB 为 O 的直径， BOC、

8、 BAC分别是 BC所对的圆心角、圆周角，求出图（） 、（）、（）中 BAC的度数通过运算发觉：BAC BOC试证明这个结论【探究】如图， B C 所对的圆心角有多少个？B C 所对的圆周角有多少个？在画出的很多个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？你能证明刚才的结论吗？圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论 : 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 辨析 ：在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？【小结】：圆周角定理的前提条件是： 【应用】例1、图中分别相等的圆周角有 例2、如图， 点 A、B、C

9、在 O上， AOBC， OAC=20，就 AOB的度数是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方法小结 ： 求圆中的圆周角可利用 所对 实现转化。例3、如图， OA、OB、OC都是圆 O的半径 , AOB=2 BOC求证 : ACB=2BAC方 法 小 结 ： 已 知 两 个 圆 心 角 的 关 系 ， 可 通 过 所 对 的 与 的关系联系

10、已知与未知。例 4、如图， AB是 O的直径， BD是 O的弦，延长BD到 C，使 AC=AB，BD与 CD的大小有什么关系？为什么？方法小结：直径所对的圆周角是 ，垂直可结合等腰三角形 的性质。例 5、如图， AB为圆 O 的直径， CD为圆 O的弦， ACD=42度，就 BAD= 方法小结：圆中显现直径，求圆周角时，可构造直径所对 解题。【自我检测】1、 如图， ABD 的三个顶点在O 上， AB 是直径，点C 在 O 上，且 ABD=52，就 BCD= 2、 如图，在 O中，弧 AB=弧 AC， AOB=50，就 ADC的度数 = 3、 如图， BD 是 O 的直径， CBD=30，就

11、A 的度数为 4 、 如图4， A、B 是 O 的直径， C、D、E 都是圆上的点，就1+2= .【经典例题】例、如图，四边形ABCD的四个顶点在圆O 上，且对角线ACBD,OEBC 于点 E，1求证： OE=AD2思路导航 ：由倍分关系，联系 ，由 OE和 BC 的位置关系，由垂径定可知点E 是 BC的 , 又由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

12、- -圆的性质知点O为直径的中点，故可作帮助线 此题学问点： , , 学问点三、圆内接四边形的性质【定义】假如四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图 1 中，四边形 ABCD是 O的内接四边形。 O是四边形 ABCD的外接圆。圆内接四边形有以下性质：性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。 应用例 1、如图，四边形 ABCD内接于 O，BOD=100 ，就 BCD= 度例 2、如图 A， B，C 是 O 上的三个点，如 AOC=100，就 ABC等于例 3、如图， ABC内接于 O， OBC=40，就

13、 A 的度数为方法小结 ：圆中求角的问题可利用圆内接四边形 的性质解题，未显现基本图形时，可构造圆内接边形解题。例 4、如图， AB是半圆的直径，点D 是弧 AC的中点， ABC=50，就 DAB等于（）例 5、如图，已知AB=AC=AD， BAC=44，就 BDC 的度数为（）方法小结 ：弧中点的条件可转化为 ,见直径应想到 ，例 5 中显现到定点A 的距离相等的线段，可构造帮助圆。经典例题 如图， ABC内接于 O，且 ABAC BAC的外角平分线交O于 E，EFAB，垂足为 F（1）求证： EB=EC。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）分别求式子AB + AC和BFA

14、B -AC的 值AF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如 EF=AC=3， AB=5，求 AEF的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -妙题巧解 如图，在四边形ABCD中， ABC= ADC=90， DAB=60， BD=6cm，求对角线AC 的长【自我检测】1、 如图 12，四边形 ABCD内接于圆， DCE=70，就

15、 BOD= 2、如图， A、B、C 在 O 上， OAB=22.5，就 ACB= 3、如图， O 是 ABC 的外接圆，已知B=62，就 CAO= 4、已知 A， B， C是 O 上不同的三个点，AOB=60，就 ACB= 5、如图 OA=OB=OC且 ACB=30，就 AOB 的= 第 1 题第 2 题第 3 题第 5 题6、 如图，等腰 ABC中， AC=BC， O为 ABC的外接圆， D 为弧 BC上一点， CEAD于 E，求证： AE=BD+DE7 、如图，C经过坐标原点， 且与两坐标轴分别交于点A与点 B，点 A 的坐标为（0，4），M是圆上一点， BMO=120（1）求证： AB 为 C直径（2）求 C 的半径及圆心C 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载