线性代数知识点框架.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载线性代数学问点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。 换言之， 可以把线性代数看作是在争论线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s 和未知数的个数n可以相同，也可以不同。关于线性方程组的解，有三个问题值得争论：（ 1）、方程组是否有解，即解的存在性问题。（ 2）、方程组如何求解，有多少个解。（ 3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。高斯消元法， 最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中

2、涉及到三种对方程的同解变换：（ 1）、把某个方程的k 倍加到另外一个方程上去。（2）、交换某两个方程的位置。（3）、用某个常数k 乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。由详细例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。对方程组的解起打算性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的全部系数及常数项按原先的位置提取出来，形成一张表， 通过争论这张表， 就可以判定解的情形。我们把这样一张由如干个数按某种方式构成的表称为矩阵。可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上

3、都更加简洁。系数矩阵和增广矩阵。高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之， 任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换 化为阶梯形矩阵，求得解。阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。对不同的线性方程组的详细求解结果进行归纳总结（有唯独解、无解、有无穷多解），再经过严格证明， 可得到关于线性方程组解的判别定理：第一是通过初等变换将方程组化为 阶梯形，如得到的阶梯形方程组中显现0=d 这一项，就方程组无解，如未显现0=d 一项，就方程组有解。在方程组有解的情形下，如阶梯形的非零行数目

4、r 等于未知量数目n，方程组有唯独解，如r在利用初等变换得到阶梯型后，仍可进一步得到最简形，使用最简形， 最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加便利，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，挑选阶梯形仍是最简形，取决于个人习惯。常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。齐次方程组的方程组个数如小于未知量个数，就方程组肯定有非零解。利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题（1）解的存在性问题和（ 2）如何求解的问题，这是以线性方程组为动身点建立起来的最基本理论。对于 n 个方程 n 个未知数的特别情形，我们发觉可以利用系数的某种组

5、合来表示其解， 这种按特定规章表示的系数组合称为一个线性方程组（或矩阵）的行列式。行列式的特点： 有 n. 项，每项的符号由角标排列的逆序数打算，是一个数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载通过对行列式进行争论，得到了行列式具有的一些性质（如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行绽开等等），这些性质都有助于我们

6、更便利的运算行列式。用系数行列式可以判定n 个方程的n 元线性方程组的解的情形，这就是克莱姆法就。总而言之， 可把行列式看作是为了争论方程数目与未知量数目相等的特别情形时引出的一部分内容。二在利用高斯消元法求解线性方程组的过程中，涉及到一种重要的运算，即把某一行的倍数加到另一行上， 也就是说， 为了争论从线性方程组的系数和常数项判定它有没有解，有多少解的问题， 需要定义这样的运算，这提示我们可以把问题转为直接争论这种对n 元有序数组的数量乘法和加法运算。数域上的 n 元有序数组称为n 维向量。设向量a=a1,a2,.,an，称 ai 是 a 的第 i 个重量。n 元有序数组写成一行，称为行向量

7、，同时它也可以写为一列，称为列向量。要留意的是，行向量和列向量没有本质区分，只是元素的写法不同。矩阵与向量通过行向量组和列向量组相联系。对给定的向量组，可以定义它的一个线性组合。线性表出定义的是一个向量和另外一组向量之间的相互关系。利用矩阵的列向量组，我们可以把一个线性方程组有没有解的问题转化为一个向量能否由另外一组向量线性表出的问题。同时要留意这个结论的双向作用。从简洁例子（如几何空间中的三个向量）可以看到，假如一个向量a1 能由另外两个向量 a2、a3 线性表出，就这三个向量共面，反之就不共面。为了争论向量个数更多时的类似情形，我们把上述两种对向量组的描述进行推广，便可得到线性相关和线性无

8、关的定义。通过一些简洁例子体会线性相关和线性无关（零向量肯定线性无关、单个非零向量线性无关、单位向量组线性无关等等）。从多个角度 （线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度）体会线性相关和线性无关的本质。部分组线性相关，整个向量组线性相关。向量组线性无关，延长组线性无关。 回到线性方程组的解的问题，即一个向量b 在什么情形下能由另一个向量组a1,a2,.,an线性表出？假如这个向量组本身是线性无关的，可通过分析立刻得到答案：b, a1, a2, ., an线性相关。假如这个向量组本身是线性相关的，就需进一步探讨。任意一个向量组，都可以通过依次削减这个向量组中向量的个数找到它的一个部分组，

9、这个部分组的特点是：本身线性无关， 从向量组的其余向量中任取一个进去，得到的新的向量组都线性相关，我们把这种部分组称作一个向量组的极大线性无关组。假如一个向量组A 中的每个向量都能被另一个向量组B 线性表出， 就称 A 能被 B 线性表出。假如A 和 B 能相互线性表出，称A 和 B 等价。一个向量组可能又不止一个极大线性无关组，但可以确定的是， 向量组和它的极大线性无关组等价，同时由等价的传递性可知，任意两个极大线性无关组等价。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -

10、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载留意到一个重要事实：一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出。这是不难懂得的，例如不共面的三个向量（对应线性无关）的确不行能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出。一个向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等，我们将这个数目r 称为向量组的秩。向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目。等价的向量组有相同的秩。有了秩的概念以后，我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉，从而得到线性方程组的有解的充分必要条件

11、：如系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等，就有解，如不等，就无解。向量组的秩是一个自然数，由这个自然数就可以判定向量组是线性相关仍是线性无关， 由此可见，秩是一个特别深刻而重要的概念，故有必要进一步争论向量组的秩的运算方法。三为了求向量组的秩，我们来考虑矩阵。矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组的秩称为行秩。对阶梯形矩阵进行考察，发觉阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。矩阵的初等行变换不会转变矩阵的行秩，也不会转变矩阵的列秩。任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，就有： A 的行秩 =J 的行

12、秩 =J 的列秩=A 的列秩，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。考虑到 A 的行秩和 A 的转置的列秩的等同性， 就初等列变换也不会转变矩阵的秩。 总而言之， 初等变换不会转变矩阵的秩。 因此假如只需要求矩阵 A 的秩， 而不需要求 A 的列向量组的极大无关组时，可以对 A 既作初等行变换，又作初等列变换，这会给运算带来便利。矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。满秩矩阵的行列式不等于零。非满秩矩阵的行列式必为零。既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，就可以把线性方程组有解的充分必要条件更加

13、简洁的表达如下： 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。另外， 有唯独解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r 等于未知量数目n，有唯独解，r齐次线性方程组的解的结构问题，可以用基础解系来表示。当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于n-r ，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。通过对详细实例进行分析，可以看到求基础解系的方法仍是在于用初等行变换化阶梯形。非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。四在之前争论线性方程组的解的过程当中，留意到矩阵及其秩有着重要的位置和应用，故仍有必要对矩阵及其运算进行特的探讨。矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。可编

14、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载矩阵的另外一个重要应用：线性变换 （最典型例子是旋转变换）。即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。如矩阵A 对应的是旋转一个角度a，矩阵 B 对应的是旋转一个角度b，就矩阵AB 对应的是旋转一个角度a+b。矩阵乘法的特点：如C=AB，就 C 的第

15、i 行、第 j 列的元素是A 的第 i 行与 B 的第 j 列的元素对应乘积之和。A 的列数要和B 的行数相同。 C 的行数是A 的行数， 列数是 B 的列数。需要主义的是矩阵乘法不满意交换律，满意结合律。利用矩阵乘积的写法，线性方程组可更简洁的表示为：Ax=b。对于 C=AB，仍可作如下分析：将左边的矩阵A 写成列向量组的形式，即意味着C 的列向量组能由A 的列向量组表示，从而推知C的列秩小于等于A 的列秩。 将右边的矩阵B写成行向量组的形式， 即意味着C 的行向量组能由B 的行向量组表示， 从而推知C 的行秩小于等于 B 的行秩，再考虑到矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩，最终可得到结论，C

16、的秩小于等于 A 的秩，也小于等于B 的秩，即矩阵乘积的秩总不超过任一个因子的秩。关于矩阵乘积的另外一个重要结论：矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积。 一些特别的矩阵：单位阵、对角阵、初等矩阵。特别要留意，初等矩阵是单位阵经过一次初等变换得到的矩阵。每一个初等矩阵对应一个初等变换，由于左乘的形式为PA（ P 为初等矩阵）， 将 A写成行向量组的形式，PA意味着对A 做了一次初等行变换。同理，AP意味着对 A 做了一次初等列变换，故左乘对应行变换，右乘对应列变换。如 AB=E，就称 A 为可逆矩阵， B 是 A 的逆阵，同样，这时的B 也是可逆矩阵，留意可逆矩阵肯定是方阵。第一种求逆阵的方

17、法：相伴阵。这种方法的理论依据是行列式的按行（列）绽开。矩阵可逆，行列式不为零，行（列）向量组线性无关，满秩，要留意这些结论之间的充分必要性。单位阵和初等矩阵都是可逆的。如矩阵可逆， 就肯定可以通过初等变换化为单位阵，这是不难懂得的，由于初等矩阵满秩，故最终化成的阶梯型（最简形）中非零行数目等于行数，主元数目等于列数，这即是单位阵。进一步， 既然可逆矩阵可以通过初等变换化为单位阵， 而初等变换对应的是初等矩阵， 即意味着： 可逆矩阵可以通过左 （右）乘一系列初等矩阵化为单位阵， 换言之可逆矩阵可看作是一系列初等矩阵的乘积，由于单位阵在乘积中可略去。可逆矩阵作为因子不会转变被乘（无论左乘右乘）的

18、矩阵的秩。由于可逆矩阵可以看作是一系列初等矩阵的乘积，可以想象， 同样的这一系列初等矩阵 作用在单位阵上， 结果是将这个单位阵变为原先矩阵的逆阵，由此引出求逆阵的其次种方法：初等变换。 需要留意的是这个过程中不能混用行列变换，且同样是左乘对应行变换，右乘对应列变换。矩阵分块， 即可把矩阵中的某些行和列的元素看作一个整体，对这些被看作是整体的对 象构成的新的矩阵，运算法就仍旧适用。将矩阵看成一些列行向量组或列向量组的形式，实际也就是一种最常见的对矩阵进行分块的方式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载