线性代数教案第二章矩阵.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案授课章节其次章矩阵 2.1 矩阵2.2 矩阵的运算目的要求懂得矩阵的定义，把握矩阵的运算重点矩阵的运算难点矩阵的乘法 2.1 矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer 法就。但是Cramer法就有它的局限性：1. 系数行列式D0 。2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。接下来要学习的仍是关于解线性方程组，即 Cramer 法就无法用上的用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始

2、终。矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区分。矩阵与行列式也有很大的 关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们经常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等例 1某种物资有3 个产的， 4 个销的，调配量如表1 所示表 1产的销的调配情形表销的产的B1B2B3B4A11635A23120A34012那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：163531204012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料

3、 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案在预先商定行列意义的情形下，这样的简洁矩形数表就能说明整个产销调配的状况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结到如下矩阵的概念。定义 2.1由 mn 个数aij i1,2,m ; j1,2, n 排成的 m 行 n 列数表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21a12 a22a1n a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1am 2amn（ 2.1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为一个 m 行 n 列矩阵，简称mn 矩阵。这 mn 个数称为矩阵的元素，其中aij 称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为矩阵的第i 行第 j 列元素 .（ 2.1）式也简记为Aaijm n 或 A aij . 有时 m

5、n 矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结阵 A 也记作Am n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.当 m 13.当 m =n 时，称 mn 矩阵为长方阵（长得像长方形）。n 时，称矩阵为n 阶方阵（长得像正方形），简称方阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

6、归纳总结假如 Aaij 与 Bbij 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aijbiji1,2,; j1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作AB5.全部元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为 O . 值得留意的是：不同型的零矩阵是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不相等的 .例 2 设 A12x3265 z，1x3By6z，已知 AB，求 x, y, z .8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

7、载精品名师归纳总结【解】由于 2xx ， 2y ， 5zz8 ，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1,y2,z2二、几种特殊矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） mn 矩阵 Aaijm n，当 mn 时，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

8、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21Aa12 a22a1n a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an 2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为 n 阶方阵 ，记为An . 特殊的，一阶方阵aa .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方阵中从左上角元素a11 到右下角元素ann的这条对角线称为方阵的主对角线，从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

9、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结右上角元素a1n 到左下角元素an1 的这条对角线称为方阵的副对角线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）形如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 0Aa12 a22a1n a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00ann的 n 阶方阵称为 上三角矩阵 .（ 3）形如a1100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a21Aa220可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an 2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的 n

10、 阶方阵称为 下三角矩阵 .（ 4）形如10002000n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的 n 阶方阵称为n 阶对角矩阵 ，记为diag1 ,2 ,n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）形如0000A00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案的 n 阶方阵称为n 阶数量矩阵 。特殊的，当1 时

11、，即矩阵100010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为 n 阶单位矩阵 ，记为E n .001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应当留意到， 单位矩阵是数量矩阵，数量矩阵是对角矩阵，而反之就未必成立. 当然零矩阵也是数量矩阵.（ 6）只有一行的矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1 na1a2an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为行矩阵，又称行向量. 为防止元素间的混淆，行矩阵也记作A a1 , a2 , an （ 7）只有一列的矩阵b1 b2Bn 1bn称为 列矩阵 ，又称 列向量 .就向量而言， 称其元素为重量，重量的个

12、数称为向量的维数. 例如，2,1, 2,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 4 维行向量，12是 3 维列向量 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11Aa21a12 a22a1n a2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1am 2amn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的每一行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 25 页 - - - - -

13、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ai1ai 2ain i1, 2, m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都是 n 维行向量。 A 的每一列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 ja2 jamj j1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都是 m 维列向量 .（ 8）重量都是0 的向量称为 零向量 ，记为T00,0,0三、矩阵的线性运算1. 矩阵的加法可编辑资料 - - - 欢

14、迎下载精品名师归纳总结定义 2.2设有两个 mn 矩阵 A aij 和 Bbij ，矩阵 A 与 B 的和记为AB，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABaijbij a11 a21b11 b21a12 a22b12 b22a1 na2 nb1n b2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1bm1am2bm 2amnbmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两个同型矩阵的和即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 值得留意的是：只有两个矩阵是同型矩阵时

15、，才能进行矩阵的加法运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵加法满意以下运算规律（设A, B,C 都是 mn 矩阵）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） ABBA .（ 2） AB CA BC .（ 3） AOOAA .2. 矩阵的数乘可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 2.3设有 mn 矩阵 A aij ， k 为任意常数， 数 k 与矩阵 A 的乘积称为矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的数乘，记作kA 或 Ak，规定为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - -

16、- - -第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kAA kka11 ka21ka12 ka22ka1n ka2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kam1kam2kamn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即矩阵的数乘就是用这个数乘矩阵的全部元素.设 Aaij ，记Aaij A 称为矩阵A 的负矩阵 . 明显有AAO

17、由此规定矩阵的减法为ABAB 即两个同型矩阵的减法为对应位置元素相减.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数与矩阵的乘法满意以下运算规律（设A, B 是 mn 矩阵， k , l 为数）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） kl AkAlA .（ 2） k ABkAkB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） kl Ak lAl kA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4） 1AA ， 1 AA .（ 5）如 kAO ，就 k0 或 AO .矩阵相加与矩阵数乘结合起来，统称为矩阵的线性运算.骣3- 2骣4- 3.例 3设

18、矩阵A = .50 ， B = . 82 ，求 3A - 2 B.桫16 .桫- 17 【解】先做矩阵的数乘运算3A 和 2B，然后求矩阵3A 与 2B 的差 .骣3创33- 2骣9- 6.3A =.3创530=.150 .桫3创136.桫318 骣2创42- 3骣8- 6.2B =.2 创822=.164 .桫2. 12. 7.桫- 214 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - -

19、- - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结骣9-6 骣8- 6骣10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3A -2B =.150 - .164 =.- 1- 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. .桫318 .桫-214 .桫54 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结骣1-20骣826可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 已知设A = .,B = . ， 2 AXB2 X, 求 X 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

20、总结.桫435.桫5341骣222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】X = B - 32 A = .桫- 1- 1-1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、矩阵的乘法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 2.4设 A aij 是 ms 矩阵， Bbij 是 sn 矩阵， 规定矩阵A 与 B 的乘积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是一个 mn 矩阵 Ccij ，其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cijai1b1 ja

21、i 2 b2 jais bsjsaik bkjk 1i1,2,m; j1,2,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即矩阵 C 的第 i 行第 j 列的元素cij是矩阵 A 的第 i 行与矩阵B 的第 j 列对应元素相乘可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结之和，记作CAB留意1只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时， A, B 才能作乘法运算AB。(2) 两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A 的行数，它的列数等于右矩阵 B 的列数。(3) 乘积矩阵AB 中的第 i 行第 j 列的元素等于A 的第 i 行

22、元素与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法就.例 5 设矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结103A,B212410113234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 AB 及 BA .【解】由于 A 是 23 矩阵， B 是 33 矩阵， A 的列数等于B 的行数，所以矩阵A与 B 可以相乘 . 其乘积 AB 是一个 23 矩阵：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资

23、料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结103AB212410113234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结140 132110133100334 241 122 211 1232013241010125511由于 B 的列数不等于A 的行数，因此BA 没有意义 .例 6求矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A a1a2b1 b2an ,B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn的乘积 AB 及 BA .【解】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB

24、 a1a2b1b2an a1b1a2b2nan bn ai bi .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1 b2BAa1a2bnan b1 a1 b2 a1b1a2 b2 a2i 1b1an b2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bnbn a1bn a2bn an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 某的区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，假如用矩阵A 表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位： 台），用 B 表示两种家用电器的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3

25、2单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）：用矩阵C =cij 表示这三家可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，求矩阵C。III单价利润骣2010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.A =.2511.桫189骣3.50.8.B =.桫51.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】C 中的元素分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

26、总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c11 c21 c31203.5105120253.5115142.5，183.595108c12 c22 c32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结200.8101.228250.8111.233.2180.891.225.2即骣cc 骣12028 . 1112 .C =.c21c22=.142.533.2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.桫c31c32.桫10825.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵的乘

27、法满意以下运算规律（假设运算都是可行的）：（ 1）乘法结合律 AB CA BC .（ 2）数乘结合律k AB kA BA kB 其中 k 为数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）左乘安排律A BC ABAC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右乘安排律 BC ABACA例 8求矩阵632615A,B,C211311的乘积 AB 、BA 及 AC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】AB.2663001321006326927211339BA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC6315927.211139由以上的例子可知

28、：（ 1）矩阵的乘法不满意交换律，即在一般情形下，ABBA .（ 2 ）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即由ABO ，一般不能得出AO 或BO .（ 3）矩阵的乘法不满意消去律，即由ABAC ，一般不能从等式两边消去A，得 出 BC .如矩阵 A 与 B 满意 ABBA ，就称矩阵A 与 B 可交换 .单位矩阵在矩阵的乘法运算中占有特殊的位置. 任何矩阵与单位矩阵相乘（假设运算可以进行） ，都等于这个矩阵，即对任意的矩阵A，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AEA,EAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师

29、精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案单位矩阵的这条性质，使得单位矩阵在矩阵乘法运算中的位置类似于实数乘法中的数1 . 不过应当留意， 假如矩阵 A 不是方阵， 上面两个式子中的单位矩阵的阶数是不同的.五、矩阵的转置定义 2.5把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为A 的转置矩阵 ，记作 AT .例如，矩阵120311A的转置矩阵为132101AT矩阵的转置也是一种运算，满意下述运算

30、规律（假设运算都是可行的）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） AT TA.（ 2） ABTATBT .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） kAT（ 4） ABTkA （其中 k 为数）TTTB A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9 已 知201132171,B423201A求 AB T .【解】 （解法一）由于1712010143AB423132171310201可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 AB T0171413310可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

31、名师归纳总结（解法二）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案TTT1422101772003141313112310 ABB A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 2.6n 阶方阵 A 满意 ATA ，就称 A 为对称矩阵 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如，可编辑资料 - - - 欢迎下载精

32、品名师归纳总结13A22,B3122136312621可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都是对称矩阵. 对称矩阵的特点是它的元素以主对角线为对称轴对应相等. 由定义可以直接得到：对称矩阵的和、数乘仍为对称矩阵.六、方阵的行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义2.7由 n 阶方阵 A aij 的元素所构成的行列式（各元素位置不变），称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方阵 A 的行列式，记作|A|或 det A .方阵与行列式是不同的概念，n 阶方阵是n2 个数按肯定方式排成的数表，而n 阶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结