线性代数必考知识点归纳.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点线性代数必考的学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 行 列 式1. n 行列式共有n2 个元素，绽开后有n. 项，可分解为2n 行列式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 代数余子式的性质：、 Aij 和 aij 的大小无关。、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0。、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 代数余子式和余子式的关系：4. 设 n 行列式 D ：M i

2、ji j1AijAiji j 1M ij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1 ，就D1 1n n 12D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为D2 ，就 D2 1n n 12D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3 ，就 D3D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

3、总结将 D 主副角线翻转后，所得行列式为5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积。D4 ，就 D4D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、副对角行列式：副对角元素的乘积 12。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 和 ：副对角元素的乘积 1n n 12。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、拉普拉斯绽开式：AOACA BCBOB、范德蒙行列式：

4、大指标减小指标的连乘积。、特点值。CAOA、BOBCm n1A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 对于 n 阶行列式A ，恒有：EAnkn 1k Sk 1n k ，其中Sk 为 k 阶主子式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 证明 A0 的方法：、 AA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、反证法。、构造齐次方程组、利用秩，证明Ax r A0 ，证明其有非零解。n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、证明0 是其特点值。2、 矩 阵1. A 是 n 阶可逆矩阵：可编辑资料

5、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ar A0 （是非奇特矩阵）。n （是满秩矩阵）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的行（列）向量组线性无关。齐次方程组Ax0 有非零解。bRn ， Axb 总有唯独解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 与 E 等价。A 可表示成如干个初等

6、矩阵的乘积。A 的特点值全不为0。AT A 是正定矩阵。名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的行（列）向量组是Rn 的一组基。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 是 Rn 中某两组基的过渡矩阵。*2. 对于 n 阶矩阵 A ： AAA AA E无条件恒 成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. A1 * A* 1 A 1 T AT 1 A* T AT *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AB TBT AT AB *B* A* AB 1B 1 A 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 矩阵是表格

7、，推导符号为波浪号或箭头。行列式是数值，可求代数和。5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、 B 可逆：A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 AA2，就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结As可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 AA1A21A1As 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 、 A 11A2。1As可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、AO1AO。（主对角分块）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOB 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

8、师归纳总结1、OAOB 1。（副对角分块）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BOA 1O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、ACA 1A1CB 1。（拉普拉斯）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOB 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、AOAO。（拉普拉斯）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CBB1CA 1B 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1. 一个 mn 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标

9、准形，其标准形是唯独确定的：E rOF。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OOm n等价类：全部与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类。标准形为其外形最简洁的矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于同型矩阵A 、 B ，如2. 行最简形矩阵：r Ar BAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、只能通过初等行变换获得。、每行首个非0 元素必需为1。、每行首个非0 元素所在列的其他元素必需为0。3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采纳初等行变换）r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A , E E , X ，

10、就 A 可逆，且XA 1 。c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、对矩阵 A, B 做初等行变化，当A 变为 E 时， B 就变成A 1 B ，即： A, BE , A1B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r、求解线形方程组：对于n 个未知数 n 个方程 Axb ，假如 A, b E , x ，就 A 可逆，且4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：xA 1 b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2

11、 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点、初等矩阵是行变换仍是列变换，由其位置打算：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、2，左乘矩阵A ，i 乘 A 的各行元素。右乘，i 乘 A 的各列元素。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、对调两行或两列，符号E i , j ，且E i, j 1E i,j ，例如：11。11可编辑资

12、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、倍乘某行或某列，符号E i k ，且E i k 1E i 1 ，例如：1kk111kk0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111k1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、倍加某行或某列，符号5. 矩阵秩的基本性质：E ij k ,且E ij k 1E ij k ，如：11k110 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 0r Am n min m, n 。、 r AT r A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 AB ，就r Ar B 。

13、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 P 、 Q 可逆，就r Ar PAr AQr PAQ 。（ 可逆矩阵不影响矩阵的秩）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 maxr A, r Br A, Br Ar B 。（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r ABr Ar B。（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r ABminr A, r B 。（ ）、假如A 是 mn 矩阵， B 是 n

14、s 矩阵，且AB0 ，就：（ ）、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0 解（转置运算后的结论）。、 r Ar Bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 、 B 均为 n 阶方阵，就6. 三种特别矩阵的方幂：r AB r Ar Bn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、秩为1 的矩阵：肯定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采纳结合律。1ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、型如01b的矩阵：利用二项绽开式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结001二项绽开式：abnC 0a nC1a n1b1C m an m bmC

15、n 1a1bn 1C nbnnC m a mbn m 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：、 ab n 绽开后有 nm 01项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mnnn、 Cnn1nm1n .0nCC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2 3mm. nm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mC、组合的性质：Cn mmmm1CCCnrnrC2rCnC。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r1nnn 1nnnnn

16、1r 0、利用特点值和相像对角化：7.相伴矩阵：nr An、相伴矩阵的秩：r A* 1r An1 。0r An1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、相伴矩阵的特点值：A AXX , A*A A 1A* XAX 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

17、名师归纳总结、 A*1A A、 A*A n 1名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 关于 A 矩阵秩的描述：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r A、 r A、 r An ， A 中有 n 阶子式不为0， nn ， A 中有 n 阶子式全部为0。n ， A 中有 n 阶子式不为0。1 阶子式全部为0。（两句话）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 线性方程组：Axb，其中 A 为 mn 矩阵，就：、 m 与方程的个数相同，即方程组Axb 有 m 个方程。、 n 与方程组得未知数个数相同，方程组Axb 为 n 元方程。10. 线

18、性方程组Axb 的求解：、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）。、齐次解为对应齐次方程组的解。、特解：自由变量赋初值后求得。11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成n 元线性方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 x1、a21 x1a12 x 2a22 x2a1 n xna2 n xnb1b2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a m1 x1am 2 x2anm xnbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11、a21a12 a

19、 22a1 nx1b1a2 nx2b2Axb （向量方程，A 为 mn 矩阵， m 个方程， n 个未知数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1am 2amnx mbmx1b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2、a1a2an（全部按列分块，其中b2）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 a1 x1a2 x2xnan xnbn（线性表出）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、有解的充要条件：

20、r Ar A,n （ n 为未知数的个数或维数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1. m 个 n 维列向量所组成的向量组A ：1 ,2 ,m 构成 nm 矩阵 A 1,2 ,T 1 Tm 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 个 n 维行向量所组成的向量组B ：T ,T ,T 构成 mn 矩阵 B2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12mTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应。2. 、向量组的线性相关、无关Ax0 有、无非零解。（齐次线性方程组）、向量的

21、线性表出Axb 是否有解。（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB 是否有解。（矩阵方程）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 矩阵Am n 与Bl n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0 和 Bx0 同解。 P101 例 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. r AT Ar A。 P101 例 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. n 维向量线性相关的几何意义：、线性相关0 。、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）。、,线性相关,共面。6. 线性相关与无关的两套定理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如1,2

22、 ,s 线性相关，就1,2 ,如1,2 ,s 线性无关，就1 ,2 ,s,s必线性相关。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s 1 必线性无关。（向量的个数加加减减，二者为对偶）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点如 r 维向量组A 的每个向量上添上nr 个重量，构成n 维向量组 B ：如 A 线性无关，就B 也

23、线性无关。反之如B 线性相关，就A 也线性相关。（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定。7. 向量组 A （个数为 r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，就rs。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组 A 能由向量组B 线性表示，就向量组 A 能由向量组B 线性表示AXB 有解。r Ar B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r Ar A, B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组 A 能由向量组B 等价r Ar Br A, B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 方阵 A 可逆存在

24、有限个初等矩阵rP1 , P2 , Pl ，使AP1P2Pl 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、矩阵行等价：A BcPAB （左乘，P 可逆）Ax0 与 Bx0 同解、矩阵列等价：A BAQB （右乘，Q 可逆）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、矩阵等价：A BPAQB （ P 、 Q 可逆）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 对于矩阵Am n 与 Bl n ：、如 A 与 B 行等价，就A 与 B 的行秩相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 与 B 行等价，就Ax0 与 Bx0 同解，且A 与 B 的任何对应的

25、列向量组具有相同的线性相关性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、矩阵的初等变换不转变矩阵的秩。、矩阵A 的行秩等于列秩。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 如Am s Bs nCm n ，就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，AT 为系数矩阵。（转置）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 齐次方程组Bx0 的解肯定是ABx0 的解， 考试中可以直接作为定理使用，而无需证明。

26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 ABx0、 Bx0只有零解有非零解Bx ABx0 只有零解。0 肯定存在非零解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 设向量组Bn r: b1, b2 , br 可由向量组An s : a1 ,a2 , as 线性表示为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1 ,b2 ,br a1 ,a2 , as K （ BAK ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 K 为 sr ，且 A 线性无关，就B 组线性无关r K r 。（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性）可编辑资料 - - - 欢迎下载

27、精品名师归纳总结（必要性：rr Br AK r K , r K r,r K r 。充分性：反证法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：当 rs 时， K 为方阵，可当作定理使用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 、对矩阵、对矩阵Am n ，存在Am n ，存在Qn m ，Pn m ，AQE mPAE nr Ar Am 、 Q 的列向量线性无关。n 、 P 的行向量线性无关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14.1 ,2 ,s 线性相关存在一组不全为0 的数x1k1, k2 ,ks ，使得k1 1k22k ss0 成立。（定义）可编辑资料 -

28、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 ,x22 ,s 0 有非零解，即Ax0 有非零解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 1 ,xs2 ,s s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*15. 设 mn 的矩阵 A 的秩为 r ，就 n 元齐次线性方程组Ax0 的解集 S 的秩为：r Snr 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*16. 如为 Axb 的一个解，1 ,2 , n r 为 Ax0 的一个基础解系，就, 1 ,2

29、 ,n r 线性无关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 正交矩阵AT AE 或 A 1AT （定义），性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即T1ai a j0ij i, jij1,2,n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 为正交矩阵，就1TAA 也为正交阵，且A1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 、 B 正交阵，就AB 也是正交阵。留意：求解正交阵，千万不要遗忘施密特正交化和单位

30、化 。2. 施密特正交化：a1, a2 , ar 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1a1 。名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ba b1, a2 bbab1 ,arb 2 a r, b b r a1r ,;可编辑

31、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221rrb12b r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b1, b1 b1 ,b 1 b 2b , 2brb r 1, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 对于一般方阵，不同特点值对应的特点向量线性无关。对于 实对称阵 ，不同特点值对应的特点向量正交。4. 、 A 与 B 等价A 经过初等变换得到B 。PAQB ， P 、 Q 可逆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r Ar B， A 、 B 同型。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 A 与 B 合同CT ACB ，其中可逆。1xT

32、 Ax 与 xT Bx 有相同的正、负惯性指数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 A 与 B 相像PAPB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 相像肯定合同、合同未必相像。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T如 C 为正交矩阵，就CACBAB ，（合同、相像的约束条件不同，相像的更严格）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. A 为对称阵，就A 为二次型矩阵。T7. n 元二次型x Ax 为正定：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的正惯性指数为n 。TA 与 E 合同，即存在可逆矩阵C ，使A 的全部特点值均为正数。 A 的各阶次序主子式均大于0。CACE 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aii0, A0 。必要条件 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载