经济数学基础讲义 .docx

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1、精品名师归纳总结经济数学线性代数学习讲义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1，矩阵：合川电大兰冬生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0A =121214 ，称为矩阵。熟悉矩阵第一步：行与列，横为行，竖为列，10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一行依次 0,1,2 ，其次行 1,1,4第一列 0,1,2这是一个三行三列矩阵， 再给出一个三行四列矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25A122142313612可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结教材概念的 m行 n 列矩阵。可

2、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a 21a12 a 22a1n a2 n，这个矩阵记作Am n ， 说明这个矩阵有 m 行， n 列，留意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a m1am2amn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：25231213是三行四列矩阵，也说成34 矩阵，留意行3 在前面，列214612行 m 写在前面 ,列 n 写在后面，括号里面的称为元素，记为列，aij， i 是行， j 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

3、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 在后面，这里a112 （就是指的第一行第一列那个数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a231（就是指的其次行第三列那个数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2，矩阵加法矩阵加法，满意行列相同的矩阵才能相加，对应位置的数相加。010012022例如：101+114=215110210120减法是对应位置的数相减。 , 3，矩阵的乘法矩阵乘法参看以下法就： 留意字母对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a 21 a31a12 a22 a32a13

4、 a23 a33b11 b21 b31b12 b22 b32b13 b23 b33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21 a31说明：b11 b11 b11a12 a 22 a32b21 b21 b21a13 a 23a 33b31 b31 b31a11 a 21 a31b12 b12 b12a12 a 22a 32b22 b22 b22a13 a23 a 33b32 b32 b32a11 a 21 a31b13 b13 b13a12 a22 a32b23 b23 b23a13 a 23 a33b33 b33 b33可编辑

5、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a12a13b11b12b13c11c12c13留意角标，角标是23，就是其次行乘以第三列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 21a31a22 a32a23 a33b21 b31b22 b32b23 b33= c21c31c22c32c23c33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结乘积的结果矩阵c11 等于第一个矩阵的第一行元素a11 a12a13 乘以其次个矩阵的第可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一列元素 b11 b21 b31 ，留意是对应元素相乘，再

6、求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结乘积的结果矩阵c21 等于第一个矩阵的其次行元素a21a22a23 乘以其次个矩阵的第可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一列元素b11 b21 b31 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依次类推， 结果元素cij等于第 i 行乘以第 j 列，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例：矩阵 A = 1012对应元素相乘，再求和632， B =12 ，041可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB= 101263212 =2104141可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一行乘以第一列，1601242第一行乘以其次列，1302211其次行乘以第一列，1621044其次行乘以其次列，1322011可以乘的条件：第一个矩阵的列数和其次个矩阵的行数必需相同，就是尾首必可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结须相同，Am n Bwv 可以乘必需是 A 矩阵脚标的尾 n 等于 B 矩阵脚标的首 w相等，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nw可编辑资料 - - - 欢

8、迎下载精品名师归纳总结例如: A23 B33 可乘A2 3 B4 3 不行乘，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只要尾首相同就可乘，Am n Bwv 乘积为 mv 矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如: A23 B33 可乘，乘积结果为C2 3 矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A4 3 B32 可乘，乘积结果为C4 2 矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵的数乘 ，一个数乘以一个

9、矩阵，等于这个矩阵的每个元素乘以这个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： A = 10122 ，3A =306 .0360可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法不行交换，一般情形下4，矩阵的转置ABBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵 A 转置矩阵记为AT ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转置就是把矩阵的行列元素对调，也可以看成沿主对角线翻转！可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0A =121

10、2T14 ，就 A10012111240主对角线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结主对角线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结102A12011, 就 AT0220可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结主对角线主对角线从这里看出，下面一个矩阵 A 是 2 3 矩阵（ 2 行 3 列）就 A T是 32 矩阵（ 3行 2 列），2021 年 1 月考题：设 A 为 3 4 矩阵， B 为 52 矩阵，且乘积矩阵 ACTBT 有意义，就 C 为（ B ）矩阵。A. 42 B. 24 C. 35D. 53分析：依据尾首相同法ACTBT 可表示为（ 34）（）（ 2

11、 5），中间一个就是 42，留意是 CT，所以 C 就是 2 4。对称矩阵：对称矩阵的元素依主对角线对称：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设 A102a03231，当a0 时， A是对称矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5，求矩阵的逆预备学问 ：（ 1），在数的学习中，数的单位是 1， 311 ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1001矩阵的单位是 I00,除主对角是 1 以外，其余全是 0，并且，单位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结001矩阵全是方阵（行数与列数相等）任何矩阵乘以单位阵不变 AI=A，（可以试一试）可编

12、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1例， 3 阶单位阵， I = 000010 ，我们以 3 阶阵来说逆，01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结012已知 A =114210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与前面 313阵？1 类似，能不能找到一个矩阵，使得A 乘以这个矩阵等于单位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记为 AA 1I , A1 称为 A 的逆，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）矩阵的初等变换，将矩阵的任意两行互换，把某一行乘以一个数（指对这一行的每个元素都乘以

13、这个数），把某一行乘以一个数，然后加到另外一行。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求逆求逆原理： A I I A1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结01举例： 设矩阵 A =1124 ，求逆矩阵A 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：第一步：把210A 和单位阵 I 写在一起 ,012100 AI =114010210001其次步：初等变换114010012100，（由于第一行第一个数是0，要化成前面是单210001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结位阵，这里就不能是 0，于是交

14、换 1,2行，任凭两行都可以交换，由于其次行第一个数是 1，简洁，所以就 1,2 行互换）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1140012103801000第一行乘以 -2加到第三行，目的是化0，除21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结主对角以外，其他全部化成 0114010012100其次行乘以 3 加到第三行，002321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结102012002110100321现在开头化上面，其次行乘以 -1 加到第一行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结100211010421第三行直接加到第一行。加到其次行002321

15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把对角线上的都化成 1，100211010421第三行乘以0013211 21 ，这一步是把前面化成单位阵，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个就是我们要的 IA 1 ，前半部分是 I ，后半部分就是 A 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结211所以 A-1 =4213 211 2这是个考题，详细运算可以省略些步骤，给出解题答案为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0设矩阵 A =121211 4 ，求逆矩阵 A10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

16、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结012100114010解 由于 AI =121140001001001238100201012100010421002321002321102110100211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1002110104210013211 2211所以 A-1 =4213 211 2另一种题型，解矩阵方程，其原理是对AXB 两边左乘（ 就是靠在左边）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1 ，得 A1 AXA 1B , 由于A 1 AI , 所以 XA 1 B ，留意任何矩阵乘以单位可编辑资料 - - - 欢迎

17、下载精品名师归纳总结阵保持不变。12323例：已知AXB ，其中A357, B58 ，求X581001分析：先求逆，在运算。解：利用初等行变换得1231001231003570100123105810001025501可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123100012310001121120463010552001121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结100010001641552121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即A 1641552121可编辑资

18、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由矩阵乘法和转置运算得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1XAB6412355258121018131523812可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考题举例：1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结102. 设矩阵 A =1262， B =1043-12 ，运算 AB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由于 AB= 11 ABI =202201106312 =2141412110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4102011101211

19、011可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结012111220121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 AB -1 = 2213. 设矩阵 A = 022112 ，B =10023 ，运算 BA -1 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11解 由于 BA= 12302 =530124220可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAI =5 431020111114201可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10所以1112453BA -1 =12251013201252可编辑资料

20、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结22314. 解矩阵方程X342可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解 由于331040111113401可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111013210430132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23143即3432可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以， X =4331 =2221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 设矩阵 A = 102120，B =123012，运算 ABT

21、-1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：10AB T1022112032743212所以 ABT 13722可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 设矩阵 A1213，且有ATAB35，求矩阵 B 42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结35解： AB42所以 BA 134AT5AT2A 135114223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1226 , 又 A 132511可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

22、 - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 B322611251028411可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 设矩阵 A =1536， B =11，运算 A-I -1 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设矩阵 A=-1-6 ，B=1解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123238.已知AXB ，其中A357, B58，求X581001解：利用初等行变换得1231001231003570100123105810001025501可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123100012310001

23、121120463010552001121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结100010001641552121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即A 1641552121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由矩阵乘法和转置运算得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1XAB6412355258121018131523812可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 已知 AXB ，其中 A1

24、22110 ， B13521 ，求 X . 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1210. 设矩阵 A, B35解：由于12，求解矩阵方程 XAB 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121035011210013110520131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11252即353112121=1252=102335233111013所以， X =11. 设矩阵 A227， I是3 阶单位矩阵，求 IA1348解：由矩阵减法运算得100013113IA0

25、10227237001348349利用初等行变换得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结113100113100110100311121001011110010001231301311100010001131301211即 IA113130121112. 设矩阵 A112122013, B211，求 A1 B 解：利用初等行变换得112100110201100110011116001041100101001156034011即A 1563411由矩阵乘法得43A 1B53641112114672370100112103490010103011010011021010011230010

26、43100431010531001641431可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13.设矩阵 A101231241， B123，求 2IAT B .解 由于 2 I100AT = 2 010001101231241T1021043111所以 2IAT B =0210431112 =3103914设矩阵 A1121021 , B23125，求 A1B 解：由于112100110201100110011116001041100101001156034011即A 1563411所以A 1 B4563341112155691 211200113=020021=00224110100110

27、2101001123001043100431010531001641431136315设矩阵A =421，求A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1363100114107解由于 AI=421010001012211001211001114107110141001012001012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结017013010002710101012001102013010271130可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0100130-1271012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 A=271012113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16 A1115, 求（I21A ）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结100113IA010110011251110103013011105101020 110520可编辑资料 - - -