线性代数知识点总结第二章3.docx

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1、精品名师归纳总结线性代数学问点总结其次章矩阵及其运算第一节 矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义由 mn 个 数aiji1 , 2 ,m , j;1 ,n2 ,排 成,的 m 行 n 列 的 数 表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21a12 a22a1n a2n称为 m 行 n 列矩阵。简称 mn 矩阵,记作 Aa11 a21a12 a22a1n a2n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1am 2amnam1am1a mn可编辑资料

2、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简记为AAm naijm naij, 这mn个数称为A的元素, 简称为元 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展 几种特别的矩阵：方阵 ： 行数与列数都等于 n 的矩阵 A。 记作： An。行列 矩阵： 只有一行 列的矩阵。也称行 列向量。同型矩阵： 两矩阵的行数相等,列数也相等。相等矩阵： AB 同型 ,且对应元素相等。记作：A B 零矩阵： 元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵： 不在主对角线上的元素都是零。单位阵： 主

3、对角线上元素都是1,其它元素都是 0,记作： En不引起混淆时,也可表示为 E （课本 P29P31）留意矩阵与行列式有本质的区分,行列式是一个算式, 一个数字行列式经过运算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同。其次节 矩阵的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵的加法设有两个 m n 矩阵Aaij和Bbij,那么矩阵 A 与 B 的和记作 AB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规定为 ABa11 a21b11 b21a12 a22b12 b22a1n a2 nb1n b2 n可编辑资料 -

4、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1bm1am2bm2amnbmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。（课本 P33） 矩阵加法的运算规律1 ABBA 。2 ABCABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 设矩阵Aaij, 记m nAaij m na11 a21am1a12 a22am1a1n a2 namn, A 称为矩阵 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的 负矩阵4 AA0, ABAB 。（课本 P33）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

5、归纳总结数与矩阵相乘数 与矩阵 A的乘积记作A或A, 规定为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 与矩阵A的乘积记作A或A, 规定为 AAa11 a21a12 a22a1n a2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1am1amn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数乘矩阵的运算规律（设A、B 为 m n矩阵,为数）1 AA 。2 AAA。3 ABAB 。（课本 P33） 矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

6、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵与矩阵相乘设 Bbij 是一个 ms矩阵, Bbij 是一个 sn 矩阵,那么规定矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结阵A与 矩阵B的 乘积 是 一个m n矩 阵 C ijc,其 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ai1ai 2aisb1 jb2 jbsjai1b1 jai 2 b2 jais bsjsaik bkj , ik 11,2,m; j1,2, n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并把此乘积记作CAB留意1。A 与 B 能相乘的条件是：A 的列数 B 的行数。2。矩阵的乘法不满意交

7、换律,即在一般情形下,ABBA ,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。3。对于 n 阶方阵 A 和 B,如 AB=BA,就称 A 与 B 是可交换的。矩阵乘法的运算规律1 AB CA BC 。2 ABA BAB3 A BCABAC , BCABACA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 Am n En nEm m Am nAm n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 如 A 是 n 阶方阵,就称 Ak 为 A 的 k 次幂,即 AkA AA ,并且k个Am AkAm k ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

8、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kAmA mkm, k为正整数 。规定： A0 E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k留意矩阵不满意交换律,即ABBA , ABAk B k （但也有例外） （课本 P36）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结纯量阵矩 阵E称 为 纯 量 阵 , 作 用 是 将 图 形 放 大倍 。 且 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E AAE A,A 为 n 阶方阵时

9、,有 En AnAn En An ,说明纯量阵与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任何同阶方阵都是可交换的。 （课本 P36）转置矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作A ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122T如 A, A4581425。28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转置矩阵的运算性质T1 ATA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T2 ABATBT 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T3 AAT 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T4 ABBT AT。（课

10、本 P39）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方阵的行列式由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式,叫做方阵A 的行列式,记作A 或det A（ 记住这个符号 ）留意矩阵与行列式是两个不同的概念,n 阶矩阵是 n2 个数按肯定方式排成的数表,而 n阶行列式就是这些数按肯定的运算法就所确定的一个数。运算性质T1 AA 。2 An A 。(3) ABA BB ABA （课本 P40）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称阵设 A 为 n 阶方阵,假如满意 A=AT ,即aijajii , j1,2, n那么 A 称为对称可

11、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,假如 ATA 就称矩阵 A 为反对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的。即反对称矩阵A=（a ij）中的元素满意 aij aji , i, j=1, 2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相伴矩阵行 列 式 A的 各 个 元 素 的 代 数 余 子 式Aij所 构 成 的 如 下 矩 阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A11 A12AA21 A22An1 A

12、n2称为矩阵 A 的相伴矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1nA2nAnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质AAA AA E （ 易忘学问点 ）（课本 P？）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。（ 2）只有当第一个矩阵的列数等于其次个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满意交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节逆矩阵定义对于 n 阶矩阵 A,假如有一个 n 阶矩阵 B,使得 ABBA E 就说矩阵 A 是可逆的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

13、并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。A的逆矩阵记作A 1 , 即A 1B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明1 A , B 互为逆阵, A = B-12 只对方阵定义逆阵。3.如 A 是可逆矩阵,就A 的逆矩阵是唯独的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1矩阵 A 可逆的充分必要条件是A0 ,并且当 A 可逆时,有 A 11 A* A（重要 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（证明见课本P？）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇特矩阵与非奇特矩阵当 A0 时, A 称为奇特矩阵,

14、当A0 时, A 称为非奇特矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1阵。即A可逆A为非奇特矩阵A0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论如ABE或BA=E ,就 BA（证明见课本 P？ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*(1) 先求| A| 并判定当| A |0时逆阵存在。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求逆矩阵方法（2）求A 。可编辑资料

15、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结3求 1A*| A |A 1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结更好的求逆矩阵的方法-chapter3 初等变换法（ A,E逆矩阵的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 如A可逆 ,就A111亦可逆 ,且 A 1A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 如A可逆 , 数0, 就A可逆, 且A11 A。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 如A, B为同阶方阵且均可逆, 就AB亦可逆 ,且 AB 1B 1

16、A1。（以上证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结见课本 P43）4 TT11 T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如A可逆 ,就A 亦可逆 , 且 AA。115 如A可逆 ,就有 AA。总结逆矩阵的运算方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 待定系数法 。2 利用公式 A 1A 。 3 初等变换法 下一章介绍A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第四节矩阵分块法矩阵分块将矩阵 A 用如干条纵线和横线分成很多个小矩阵,每一个小矩阵称为A 的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的

17、目的是为了简化运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分块矩阵的运算规章加法A 与 B 同型,且 A、B 的分块方法相同,就A 与 B 的和定义为对应子块相加。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数乘AAij 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ATAT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A11A12A131121TTT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转置设A, 就AA12A22。先外转再内转 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A21A22A23TT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A13A23乘法

18、首 先 AB有 意 义 , 其 次 A的 列 的 分 法 与 B的 行 的 分 法 相 同 。设A为ml矩阵, B为ln矩阵,分块成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AA1, A2,At即列向量组 ,BB1B2即行向量组 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 Ai1, Ai 2, Ait 的列数分别等于BnB1j , B2 j , Btj的行数, 那么 ABC11Cs1C1r,Csr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 CijtAik Bkjk 1i1

19、, s; j1, r。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块对角阵（准对角矩阵）设 A 为 n 阶矩阵,如A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A2且非零子块都是方阵,即A, 其中 Aii1,2,s 都是方阵 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结As有：1) AA1 A2As 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 如每个AiA1A0, 就A可逆 ,且有 A2,可编辑资料 - -

20、 - 欢迎下载精品名师归纳总结As可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A可逆1111A 可逆 i1,2, s且AdiagA, A, A（ diag（ A）表示对角阵A）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i12sT（课本 P？）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有用的结论设A AO, 就AO（证明见课本 P.）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线性方程组的分块表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线性方程组a11 x1 a21 x1a12 x2 a22 x2.a1n xnb1a2n xnb2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

21、名师归纳总结.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记Aaij ,am1 x1x1 x2x,am2 x2b.b1 b2amn xn,Bbna11 a21a12 a22.a1nb1a2nb2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xnbmam1am2.amnbm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 A 为系数矩阵, x 称为未知数向量,b 称为常数向量, B 称为增广矩阵。增广矩阵可以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分块表示为： B A,b或Ba1, a2,., an, b可编辑资料 - - - 欢迎下载