经济数学基础积分学之第章不定积分 .docx

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1、精品名师归纳总结第一单元原函数的概念一、学习目标通过本节课的学习，懂得原函数的概念二、内容讲解这节课我们讲原函数的概念 ，先来看什么是原函数已知求总成本函数边际成本CxC x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） MCMC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求已知已知总成本 Cx，求边际成本 C x，就是求导数反之假如已知边际成本，用MC 表示，要求总成本，这就是我们要争论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC我们引进一个概念：定义 1.1 原函数如对任何 x D， F x=fx，就称 Fx为 fx的原函数 我们来看详细的问题：例如x3 =3x2 Fxfx 。x

2、3 是 3x2 的原函数大家用自己的方法把它搞清晰，不要和导数的概念搞混了可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先考虑这样一个问题：2x 的原函数是哪个？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是2x ，即它使得 2x 成立，我们在下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列函数中进行挑选：2, 1x2 , x 24 , ln x , 2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

3、体会证知1x 2 和 x24 是 2x 的原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通过这个过程应当弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已知函数， 这个函数就是所求的原函数另外， 2x 的原函数不唯独它告知我们原函数不止一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再从另一方面提出问题：sinx 为哪个函数的原函数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xcos x ，说明sinx 是 cosx 的原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

4、结同样 sin x3cos x ，说明sin x3 是 cosx的原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结事实上，sin xc 都是cosx 的原函数，说明原函数有无穷多个那怎样求出一个函数的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全部原函数了？这是下面要争论的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 F x , G x 都是f x 的原函数，就G xF xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：设H xF xG x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

5、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结H xF xG xf xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可知 H xc ，即G xF xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个结论特别重要，我们已经知道，如F x 是f x 的原函数，就F xc 都是f x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原函数而这个结论告知我们任意两个原函数之间差一个常数所以只要求出一个原函数， 就能得到全部原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题

6、摸索 1：假如一个函数f x 有原函数，它可能有多少个原函数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案有无穷多个原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题摸索 2：F x 是f x 的原函数，F xc 是否包含了f x的全部原函数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案是，由于f x 的任一原函数G x 都可表示为F xc 的形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、例题讲解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1例 1 求 x的全体原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

7、纳总结分析： 先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数求原函数就是1看哪个函数的导数是 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 ln x 11，所以 ln x 是 的一个原函数故xx1 的全体原函数为 ln x +c。x例 2 判定 1 是哪个函数的原函数x分析： 看 1 的导函数是哪个函数x解：由于1 x1x 21，所以 x 是1x2的原函数四、课堂练习求sin x 的全体原函数先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数求原函数就是看哪个函数的导数是 sin x 由于cos xsin x ，所以cosx是 sin x 的一个原函数五、课后作

8、业1求以下函数的一个原函数：1（ 1） x21 。（ 2） x 。（ 3） 3。（ 4） 2ex2x2求以下函数的全体原函数：x12（ 1） x2x 。（ 2） 0 。（ 3） x261。（ 4）x1（ 1）x33x13xx3323。（ 2） x ln x 。（ 3） ln 3 。（ 4） e 2x 3x 2c2（ 1）。（ 2） c 。（ 3）x 2727xc。（ 4） x1x2 ln xC其次单元不定积分的定义一、学习目标通过本节课的学习，懂得不定积分的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、内容讲解定义 1.2 不定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f

9、x 的全部原函数的全体称为 不定积分 记作f xdx，其中f x称为被积函数 ， x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为积分变量 ，称为积分符号 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题摸索：在2 x 的积分曲线族中，过原点的曲线是哪一条？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2答案过原点的曲线是y三、例题讲解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 求 2xx 2 的全体原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：全体原函数就是 2 xx 2 的不定积分可编辑资料 - - -

10、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 xx2 dxx 2xc33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 求通过点0 , 1 的曲线 yf x ，使它在 x 点处的切线斜率为3 x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 x2 dx解：x3cy得到一族曲线x 3c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3曲线过点 0 , 1 ，即y01，得到 103cc 所求曲线为 yx1可编辑

11、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、课堂练习练习 1 求 4 x1的全体原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就是求 4 x1 的不定积分，先求一个原函数，再加任意常数即得看哪个函数的导函数是4 x1 因可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2为 2xx4x1，所以4 x1) dx2 x 2xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 2 求过点0 ,2) 的曲线 yf x ，使它在 x 点处的切线斜率为ex 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

12、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x先求 ex 的积分曲线族（即ex 的不定积分），再看曲线族中哪条曲线过点0 ,2) 由不定积分求出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ex 的积分曲线族由于exdxexc，切线斜率为ex 的曲线族是 yec 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、课后作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 求f x2 x1 的不定积分 .11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知曲线 y线方程.F x在任一点x x0 处的切线斜率为x，试求过1

13、, 5 点的曲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. x 2xc 。 2 y2xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三单元导数与不定积分的关系一、学习目标通过本节课的学习，懂得导数运算与不定积分运算之间的互逆关系二、内容讲解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们来争论两个问题，第一f xdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有两个答案给我们挑选f x 。f xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

14、载精品名师归纳总结要求 f x的不定积分，也就是要看哪个函数的导函数是f x，答案当然是f x 但可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面不定积分是要求全体原函数，所以正确的挑选是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x。 fxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xdx即f xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再争论其次个问题f xdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有

15、三个答案给我们挑选f xc 。f xc 。f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不定积分是被积函数的原函数，所以它的导数应当是被积函数，而导函数如存在应是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结唯独的，所以正确的挑选是f xc。f xc f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xdx即f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结请大家自己考虑一个问题df xdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由这两个问题我们明白到，导数和不定积分

16、是两种互逆的运算互逆求导数求不定积分求导公式积分公式求导公式反过来就是积分公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题摸索：在等式f xdxf x和f xdxf xc 中，为什么前式不加c 而后式加 c ？ 答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于前式是先求原函数后求导函数，导函数唯独，所以不加c 。 而后式是先求导函数后求原函数，原函数不唯独，所以加 c 三、例题讲解df x例求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 由微分定义有df xf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由

17、微分定义有四、课堂练习df xf xdxf xc。即求f xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求df x dx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d由微分定义有f xdxf xdxdx，已知f xdxf xd所以f xdx=fxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、课后作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2exdx sin x dxx 2sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 求。 2求x.1 e。2Cx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第四单元积分基本公式一、学习目标通过本节课的学习，熟识

18、积分基本公式二、内容讲解正由于求导与求不定积分互为逆运算，所以导数基本公式和积分基本公式也是互逆的也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式先让我们回忆一下导数基本公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c0 。 x ln x1x。1。xa x ax ln aa0 , a1 。x。ex e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xcos x 。 cos xsin xtan x1cos2 xcot x。1sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将以上这些公式反过来看，我们就能得到积分基本公式

19、：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0dxc。x dx1x1c 111 dx。xln xc。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa xdxaca0 , a1ex dxexc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos xdxln asin xcsin。xd x。cos x1dx c。cos2 xtan xc。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1dx sin 2 xcot xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以上这些积分基本公式都是需

20、要牢记的另外，有一种方法可以检验不定积分运算的正确与否，那就是将运算结果求导数，看是否等于被积函数由此可见，积分基本公式当然很重要， 但最最重要的仍是导数基本公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再来说明积分公式1 dx xln xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln x ln x1ln x lnx1 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0 时，x 。当 x0时，xx1 dxln xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将两个结果统一

21、起来就得到积分公式x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、例题讲解说明在积分基本公式中为什么没有ln xdx的公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 从不定积分运算和导数运算的关系加以说明ln x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：在导数公式中x是由定义及相关法就直接求得的而ln x 的不定积分需要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结找一个函数，使该函数的导函数是ln x ，我们无法在导数基本公式中得到这样的结果，并且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即使通过其它方法

22、找到这个结果，一般来说也不是一个有用的公式所以在积分基本公式中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln xdx没有公式，类似的缘由也没有tan xdx和cotxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们所得到的积分基本公式更加强调导数与不定积分之间互为逆运算的关系四、课后作业利用积分基本公式求以下不定积分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）3dxxxe。（ 2）xdx x 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c（1）1ln 3 3 x1 e。（ 2）2C x可编辑资料 - - - 欢迎

23、下载精品名师归纳总结第五单元不定积分的性质一、学习目标通过本节课的学习，记住不定积分的性质，熟识不定积分的直接积分法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、内容讲解先介绍不定积分的性质积分基本性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 如f x ,g x是可积函数，就有 f xg xdxf xdxg xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如f x 是可积函数， k 为非 0 常数，就有，kf xdxkf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有了积分基本公式和这两条性质，我们就可以

24、把一些基本的函数的不定积分运算出来例如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 xx2 dx2 xdxx 2dx2xdxx 2dx2 1 x 221 x3c3x21 x 3c3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这种利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接运算出不定积分的方法称为直接积分法三、例题讲解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 求x x 23x 2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x x 2解：3x 2 dxxx 2dx3xx 2 dx5x 2 dxx 1dx可编辑资料 - -

25、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e3 xdx例 2 求2e3 x151x 2 15121ln xce 372 x 27ln xce3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx解：2e3 x dx2e3ex dx2ex dx2exc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 求ex 32 x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ex 3解：2 x dx3exdxex 2 x dx3 exdx2e x dx3e 22

26、x exc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 已知边际成本为 2 q3 ，固定成本为 30，求总成本函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于C qC qdq ，有 2q3dqq 23qc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cqq 23qc，将 C030 代入，得 c30 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2总成本函数为Cqq3q30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

27、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 求u 2du可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u 2du u解：x1 1 u 3c3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由变量替换得 x12 dx1x1 x31 2 dx1 31 xc1 3c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意到d x1dx ，即 x1) 2 dx3x 2d x2 xd x1d x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如直接运算左端有1x33 x 23x111可编辑资料

28、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3x 23xc1c1x3331) 3c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用变量替换的方法明显简洁得多四、课堂练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求不定积分2x23 xdxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以利用函数的四就运算及幂函数的性质，将被积函数化为利用积分性质和积分基本公式直接运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的积分2 x23 xdxx2x 2x3 xdxx122x21 1x 3 2 d x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

29、32 x 21x 6 dx4 x 2556 x 6c55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、课后作业求以下不定积分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（ 1）x 2xdx。（ 2）x 24x2dx。（ 3）ex 3 xe x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x22 xc3e xxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ln x4xxc（ 2） 2（ 3） 1ln 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第六单元换元积分法一、学习目标通过本节课的学习，把握不定积分的第一换元积分法（凑微分法）知道其次换元积分法二、

30、内容讲解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们再介绍两种运算不定积分1第一换元积分法：这种方法是将被积函数凑成 ff x xdx的方法f 1u xu x 的形式或是将f xdx 凑成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xdxf 1u xdux 的形式（凑微分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就是说将被积表达式f xdx 凑成某个中间变量 u 的函数f 1 u 乘以这个中间变量的微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

31、迎下载精品名师归纳总结du 而f1 u 的原函数F1 u 是已知的或是简洁求得的此时就有f xdxF1 uxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这种方法的关键是将凑出f xdxf 1udu ，且f 1 udu 简洁运算我们称这种方法为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一换元积分法 （也称为 凑微分法 ）2. 其次换元积分法：这种方法是将积分变量作变量替换xut 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将被积函数f x 变成f xf u