自考线性代数经管类第章教案已排版 .docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -线性代数（经管类）第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由如干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子， 它实质上表示把这些数按肯定的规章进行运算，其结果为一个确定的数 .1二阶行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 4 个数aiji , j1,2 得到以下式子：a11 a21a12 a22称为一个二阶行列式，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其运算规章为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21a12 a22a11a22a12 a21可编辑资

2、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2三阶行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 9 个数aiji , j1,2,3 得到以下式子：a11 a21 a31a12 a 22 a32a13 a23 a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为一个三阶行列式， 它如何进行运算了？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法， 我们采纳递归法， 为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3余子式及代数余子式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设有三阶行列式a11D 3a 21a 31a12 a 22 a32a13 a 23a 33可编辑资料 - -

3、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任何一个元素aij，我们划去它所在的第i行及第 j列，剩下的元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素a ij的余子式，记成M ij

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如M 11a22ja32a23 a33， M 21a12 a32a13 a33， M 31a12 a22a13 a23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再记Aij1iM ij，称 Aij 为元素a ij 的代数余子式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如A11M 11 ，A21M 21 ，A31M 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 ，三阶行列式 D

5、 3 定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11D 3a21a31a12 a 22a32a13 a23a33a11 A11a 21 A21a 31A31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1我们把它称为 D 3 按第一列的绽开式，常常简写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D 34n 阶行列式3ai1i 1Ai131 ii 1ai1M i1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一阶行列式D1a11a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

6、总结n 阶行列式a11 a21Dna12 a22a1n a2na11A11a21A21an1An1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 Aij i , j1,2,L, n 为元素a ij的代数余子式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5特殊行列式a11a12La1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上三角行列式0a22La2 na aL a可

7、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结LLLL11 22nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下三角行列式a11 a210La22L00a aL a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结LLLL11 22nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an 2Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 42 页 -

8、 - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对角行列式a11 00La22L00a11a22 Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结LLLL可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（二）行列式的性质性质 1行列式和它的转置行列式相等，即DD T性质 2用数 k 乘行列式 D中某一行（列）的所行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数. 有

9、元素所得到的性质 3互换行列式的任意两行（列） ，行列式的值转变符号.推论 1假如行列式中有某两行（列）相同，就此行列式的值等于零.推论 2假如行列式中某两行（列）的对应元素成比例，就此行列式的值等于零 .性质 4行列式可以按行（列）拆开.性质 5把行列式 D的某一行（列）的全部元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理 1（行列式绽开定理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 阶行列式 Daij等于它的任意一行 （列）的各元素与其对应的n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代数余子式

10、的乘积的和，即Da i1 Ai 1a i 2 Ai 2a in Ain i1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或 Da1 j A1 ja 2 j A2 ja nj Anj j1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结前一式称为 D 按第 i行的绽开式，后一式称为 D按第 j列的绽开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列绽开来求出它的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 42 页 - - - - - -

11、- - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 2n阶行列式 Daij的任意一行（列）各元素与另一行（列）n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对应元素的代数余子式的乘积之和等于零. 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a i1 Ak1ai 2 Ak 2ain Akn0ik可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或 a1 j A1sa2 j A2 sanj Ans0 js可

12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（三）行列式的运算行列式的运算主要采纳以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要留意的是，在互换两行或两列时，必需在新的行列式的前面乘上（ 1），在按行或按列提取公因子k 时，必需在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列绽开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生许多个“ 0”元素，再按这一行或这一列绽开：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1运算行列式D 421415232702531 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

13、师归纳总结解：观看到其次列第四行的元素为0，而且其次列第一行的元素可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 a121 ，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结后按其次列绽开 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -562按其次列绽开15072521412141可编辑资料 -

14、- - 欢迎下载精品名师归纳总结31 2 12行D45232 3行11行21行5062105 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结702570255312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2列51列 100 按其次行绽开737531281375可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abbbbabbbbabbbba例 2运算行列式D 4解：方法 1这个行列式的元素含有文字，在运算它的值时，切忌用文字作字母，由于文字可能取0 值. 要留意观看其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为a3b （我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上

15、去，提出第一列的公因子 a3b ，再将后三行都减去第一行：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a bbbab abbabbababbbaa3b b b b 3b a b b 3b b a b 3b b b a11a3b11bbba bbb abbba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1bbb0ab00 a3b00ab0000ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3b ab3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法 2观看到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采纳“加边法”来运算，即是构造一个与D 4有相同值的五阶行列式可编辑资料 - - -

16、 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -abbbbabbbbabbbba1bbbb1bbbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0abbb1行（1） 2，3，4，5 行1ab000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D40babb10ab00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0bbab100ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精

17、品名师归纳总结0bbba1000ab这样得到一个 “箭形”行列式，假如 ab ，就原行列式的值为零，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故不妨假设 ab ，即 ab0 ，把后四列的1倍加到第一列上，可ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以把第一列的（ 1）化为零 .14bbbbb ab0ab000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00ab0014bab4aba3b ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结000ab00000ab例 3三阶范德蒙德行列式111V3x1x2x3 x2x1 x3x1 x3x2 222x1x2x3（四）克拉默法就定

18、理 1（克拉默法就）设含有n 个方程的 n 元线性方程组为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11x1 a21x1a12 x2La22 x2La1n xn a2 n xnb1,b2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L L L L L L L L L L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1x1an 2 x2Lann xnbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 果 其 系 数 行 列 式 Daij0 ， 就 方 程 组 必 有 唯 一 解 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

19、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nD jx j, jD1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 D j是把 D 中第 j列换成常数项b1 , b2 , bn 后得到的行列式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把这个法就应用于齐次线性方程组，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 2设有含 n 个方程的

20、n 元齐次线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11x1 a21x1a12 x2La22 x2La1n xn0,a2 n xn0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L L L L L L L L L L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1 x1an 2 x2Lannxn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如其系数行列式D0 ，就该方程组只有零解：x1x2xn0换句话说，如齐次线性方程组有非零解，就必有D0 ，在教材其次章中，将要证明， n 个方程的 n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.其次章矩阵（一

21、）矩阵的定义1矩阵的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 mn 个数aij i1,2, m; j1,2, n 排成的一个 m行 n 列的数表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21Aa12 a22a1n a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为一个 m行 n 列矩阵或 mam1n 矩阵am2amn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 mn 时，称 Aaij为 n 阶矩阵或 n 阶方

22、阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Om n 或 O表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 3 个常用的特殊方阵：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n 阶对角矩阵是指形如a11 0

23、A00a220的矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n 阶单位方阵是指形如00100010Enann的矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n 阶三角矩阵是指形如a11 000a12 a221a1n a2na11,a2100a220的矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 矩阵与行列式的差异00annan 1an 2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵仅是一个数表， 而 n 阶行列

24、式的最终结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数， 而且行列式记号“ * ”与矩阵记号“*”也不同，不能用错 .（二）矩阵的运算1矩阵的同型与相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设有矩阵 Aa ij mn ， Bbij k，如 mk ， n，就说 A 与 B 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同型矩阵 . 如 A 与 B 同型, 且对应元素相等，即aijbij，就称矩阵 A 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 相等，记为 AB因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩

25、阵，才能说相等.2 矩阵的加、减法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A a ij mn ， Bbij mn 是两个同型矩阵就规定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABaijbij m nABa ijbij m n留意：只有 A 与 B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加表达为元素的相加，因而与一般数的加法运算有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相同的运算律 .3数乘运

26、算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A a ij mn ， k 为任一个数，就规定kAkaij m n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故数 k 与矩阵 A 的乘积就是 A 中全部元素都乘以k，要留意数 k与行列式 D的乘积， 只是用 k 乘行列式中某一行或某一列， 这两种数乘截然不同 .矩阵的数乘运算具有一般数的乘法所具有的运算律.4乘法运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A a ij mk ， Bbij kn ，就规定 ABcij m n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中

27、cija i1b1 ja i 2 b2 jaik bkji1,2, m;j1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此定义可知，只有当左矩阵 A的列数与右矩阵 B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵 AB的行数为 A 的行数，AB的列数为 B 的列数， 而矩阵 AB中的元素是由左矩阵A 中某一行元素与右矩阵B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与一般数的乘法有所不同，一般的：不满意交换律，即ABBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 AB0 时，不能推出 A0 或 B0 ，因而也不满意消去律.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊，如

28、矩阵A 与 B 满意 ABBA，就称 A 与 B 可交换，此时 A与 B 必为同阶方阵 .矩阵乘法满意结合律，安排律及与数乘的结合律.5方阵的乘幂与多项式方阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A 为 n 阶方阵，就规定Am1A4A2L 43Am个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - -

29、 -特殊 A0E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又如 fxaxmaxm 1La xa，就规定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mm 110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f AaAmaAm 1La Aa E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mm 110称 f A 为 A 的方阵多项式，它也是一个n 阶方阵6矩阵的转置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A 为一个 mn 矩阵，把 A 中行与列互换，得到一个nm 矩阵，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为 A 的转置矩阵，记为AT ，转置运算满意以下运算律

30、：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ATA ， AB TATB T ， kA TkAT， AB TB T AT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设 A 为一个 n 阶方阵，如 A 满意 ATA ，就称 A 为对称矩阵，如A 满意 ATA，就称 A 为反对称矩阵 .7方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于 n 阶方阵， 有方阵的行列式的概念 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A aij 为一个 n 阶方阵，就由A 中元素构成一个n 阶行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

31、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aij，称为方阵的行列式，记为AAn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方阵的行列式具有以下性质：设A， B 为 n 阶方阵， k 为数，就 ATA 。 kAk n A ABAB（三）方阵的逆矩阵1可逆矩阵的概念与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -设 A 为 一个n阶方阵，如存在另

32、一个n阶方阵B，使满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABBAE ，就把 B 称为 A 的逆矩阵，且说 A 为一个可逆矩阵，意指可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵 B 记为 A 1 ，从而 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与 A 1 第一必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A， B 为同阶可逆矩阵，k0 为常数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 A 1 是可逆矩阵，且 A 1 1A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AB是可逆矩阵，且 AB 1B 1 A 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 kA 是可逆矩阵，且kA11 A 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AT 是可逆矩