解三角形知识点归纳总结.docx

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1、精品名师归纳总结一. 正弦定理：第一章解三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 正弦定理： 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结接圆的直径,即asin Absin Bcsin C2R （其中 R是三角形外接圆的半径）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 变形： 1）abcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsinsin Csinsinsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） 化边为角：a : b : csinA : sinB : sin C

2、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin A ; bsin B ; asin A ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b sin Bcsin Ccsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 ）化边为角： a2Rsin A,b2Rsin B,c2 Rsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 ）化角为边：sin Aa ; sin Bbsin Aa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

3、师归纳总结sin Bb sin Cc sin Cc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 ）化角为边：sin Aa ,sin B 2Rb ,sin Cc2R2R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 利用正弦定理可以解决以下两类三角形的问题：已知两个角及任意边,求其他两边和另一角。 例：已知角 B,C,a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结o解法：由 A+B+C=180,求角 A, 由正弦定理 asin A ; bsin Ba;sinA; 求出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bsin Bcsin Ccsin C可编辑资料 - - - 欢

4、迎下载精品名师归纳总结b 与 c已知两边和其中边的对角,求其他两个角及另一边。例：已知边 a,b,A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：由正弦定理 absinsinA 求出角 B, 由 A+B+C=18o0求出角 C,再使用正B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弦定理 asin A 求出 c 边c sin C4. ABC中,已知锐角 A,边 b,就 absin A 时, B无解。b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 absin A 或ab 时, B有一个解。b sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 bsin Aa b 时,

5、B有两个解。A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：已知 A60, a2,b23 , 求 B 有一个解 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 A60, b2,a23 , 求 B 有两个解 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：由正弦定理求角时,留意解的个数。二. 三角形面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. SABC1 ab sin C 21 bcsin A21 ac sin B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.

6、SABC1 a2b cr, 其中 r 是三角形内切圆半径 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. SABCp pa pb pc ,其中 p1 a2bc ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. SABCabc 4 R,R 为外接圆半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. S ABC2 R 2 sinA sinB sin C,R 为外接圆半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三. 余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

7、a 2b 2c22bc cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2a 2c22ac cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c 2a 2b22 ab cos C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 变形：cos A222bca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos B222acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2

8、ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos Ca 2b 2c 22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意整体代入,如： a 2c2b2accosB12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 利用余弦定理判定三角形外形：设a 、 b 、 c是C 的角、 、 C 的对边,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如,所以为锐角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 c2b 2a 2A为直角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如,所以为钝角,就是钝角三角形可编辑资料 -

9、- - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 利用余弦定理可以解决以下两类三角形的问题： 1）已知三边,求三个角 2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角四、应用题1. 已知两角和一边（如 A、B、C）,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求 a、b2. 已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c 边。再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=,求另一角3. 已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求 B,由 A+B+C= 求 C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要留意解可能有多种情形4. 已知三边 a、b、c,应用余弦定理求 A、B,再由 A+B+C=,求角

10、C5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心, 将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角） ,通常表达成 . 正北或正南,北偏东度, 北偏西度,南偏东度,南偏西度.6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角 , 视线在水平线下方的角叫俯角 .视线仰角俯角铅直线水平线视线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、三角形中常见的结论1） 三角形三角关系： A+B+C=1802） 三角形三边关系：。 C=180 A+B。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两 边 之 和 大 于 第 三 边 ：,。可编辑资料 - - -

11、 欢迎下载精品名师归纳总结两 边 之 差 小 于 第 三 边 ：,。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3） 在同一个三角形中大边对大角：AB4) 三角形内的诱导公式：absin Asin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin ABsin C,cos ABcos C,tan ABtan C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan AB2tanC22sinC 22CCcos 2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos22sin 2可编辑资

12、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) sin sincos cos sin.(2) cos cos cos .sin sin .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) tan tan tan 1.tan tan.6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 22sincos .2222(2) cos 2cos sin 2cos 112sin .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 3sin 21cos 2 2; cos21cos 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2tan(4) tan 21tan 2 .7) 三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点可编辑资料 - - - 欢迎下载