解析不等式恒成立问题 .docx

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1、精品名师归纳总结解析不等式恒成立问题纵观近年来各的高考数学试题，有关不等式恒成立问题屡见不鲜，这类问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方 程、几何有机结合起来，具有形式敏捷、思维性强、学问交汇 点多等特点 .考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立， 二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的值或取值范畴 .解决这类问题的关键是转化，通过等价转化能使问题起到“柳暗花明”的成效.而等价转化过程往往渗透着换元、化归、数形结合、分类争论、函数与方程等数学思想方法，其 常用方法主要有：更换主元法、别离参数法、数形结合法、最值法等，笔者试图通过本文能对同学突破这一难点有所启发.一、更换主元法在

2、解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数， 利用函数的图象和性质解决问题，同时留意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加明朗化，一般的，已知存在范畴的量为变量，而待求范畴的量为参数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x1mx21 对满意 m2,2的一切实数 m恒成立， 求 x 的取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值范畴 .解：设f m x21m2 x1, 就不等式2x1mx21 对满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

3、- - 欢迎下载精品名师归纳总结m2,2的一切实数 m 恒成立f m0 对 m2,22m2 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 22 x212 x102 x22 x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f m0f 22 x212 x10 , 即2 x2,2 x30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得22, 故 x 的取值范畴是7131, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x17 或x172222注：此类问题常因思维定势， 同学易把它看成关于x 的不等式争论，此种解法因运算

4、繁琐易出错。假设变换一个角度，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 m 为变量，使f m x21m2x1, 就问题转化为求一次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或常数函数 f m 的值在 2,2 内恒为负时，参数 x 应满意的条件“换位”摸索优势明显.二、别离参数法当不等式中的参数或关于参数的代数式能够与其它变量完全别离出来，且别离后不等式另一边的函数或代数式的最值可求时，常用别离参数法.f xln exa a 为常数是实数集R 上的奇函数，函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xxcos x 在区间, 2上是减函数 .33可编辑资料 - -

5、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 a的值与 的范畴。假设对中的任意实数都有gxt1 在, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33上恒成立，求实数 t 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 m0 ，试争论关于 x 的方程ln xx22exm 的根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x的个数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：、略由题意知，函数gxxcos x 在区间, 2上是减函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

6、归纳总结数.g xmaxg1 ,g xt1在, 2上 恒 成 立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t11 ,3233233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t11 ,t1 .3232注：此类问题可把要求的参变量别离出来，单独放在不等 式的一侧， 将另一侧看成新函数， 于是将问题转化成新函数的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最值问题：假设对于x 取值范畴内的任一个数都有f xg a 恒可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成立，就gaf xmin 。假设对于 x 取值范畴内的任一个数都有可编辑资

7、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg a 恒成立，就三、数形结合法gaf xmax .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如不等式中涉及的函数、 代数式对应的图象、 图形较易画出时， 可通过图象、 图形的位置关系建立不等式求得参数范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x3x6, x2, 假设不等式f x2 xm 恒成立，就实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结63x, x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 的取值范畴是.解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y2 x

8、m及可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x的 图 象 ， 由 于 不 等 式f x2 xm 恒 成 立 ， 所 以 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2 xm的图象应总在函数yf x 的图象下方，因此，当x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时， y4m0, 所以 m4, 故m 的取值范畴是4,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x yy2 xm2Oxa注：解决不等式问题常常要结合函数的图象，依据不等式中量的特点， 挑选适当的两个函数，利用函数图像的上、 下位置关系来确定参

9、数的范畴.利用数形结合解决不等式问题关键可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是构造函数，精确做出函数的图象.如：不等式x2log x0 ，在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x0,2时恒成立， 求 a 的取值范畴 .此不等式为超越不等式， 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解时一般使用数形结合法，设f xx2, g xlogx, 然后在同一坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a标系下精确做出这两个函数的图象，借助图象观看便可求解.四、最值法当

10、不等式一边的函数 或代数式 的最值较易求出时， 可直接求出这个最值最值可能含有参数，然后建立关于参数的不等式求解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xxlnxm, g xa x3x. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 m2 时，求f x 的单调区间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 m3 时，不等式2g xf x 恒成立，求实数a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取值范畴 .解：略可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

11、纳总结当 m3 时，不等式g xf x 即a x3xxln x3 x0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a x21ln x3 ， 亦 即a x2ln x1 ， 所 以 a3ln x12 . 令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3232x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h x3ln xx21 2，就h x6ln x3x ，由h x0 得 x1 .且当 0x1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h x0 。当 x1 时，h x0

12、，即h x在0,1 上单调递增，在 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上单调递减，所以h x 在 x1 处取得极大值h13 ，也就是函数2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h x a3ln xx212 恒成立，需要 a3 ，所以 a的取值范畴为3 ,.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：恒成立问题多与参数的取值范畴问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特点，以“导数”为主要解题工具. 往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题， 因题目涉及学问面广，解题方法敏捷多样， 技巧性强， 难度大等特点， 要求有较强的思维敏捷性和制造性、 较高的解题才能， 上述方法是比较常用的， 但由于问题形式千变万化， 考题亦常考常新， 因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平常的训练中不断领会和总结，老师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使同学在解决此类问题的才能上得到改善和提高.可编辑资料 - - - 欢迎下载