解三角形知识点汇总和典型例题.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -文成训练学科辅导教案讲义授课对象授课老师徐老师授课时间3 月 11 日授课题目解三角形复习总结课型复习课使用教具人教版教材 教学目标娴熟把握三角形六元素之间的关系，会解三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结教学重点和难点敏捷解斜三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结参考教材人教版必修 5 第一章教学流程及授课详案解三角形的必备学问和典型例题及详解一、学问必备：1直角三角形中各元素间的关系：在 ABC中， C 90， AB c， AC b， BC a。222（ 1）三边之间的

2、关系：a b c 。（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系：A B90。（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin A cos Ba ， cos A sin Bcb ， tan A a 。cb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2斜三角形中各元素间的关系：在 ABC中， A、B、 C为其内角， a、b、 c 分别表示A、B、C的对边。（ 1）三角形内角和：A BC 。（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin Ab sin Bc sin C2R （ R

3、 为外接圆半径）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2 b2 c22bccos A。b2 c2a2 2cacos B。c2a2 b2 2abcosC。3三角形的面积公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） S1 aha21 bhb21 chc（ ha、hb、hc 分别表示a、b、c 上的高）。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12

4、 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） S1 absin C21 bcsin A21 acsin B。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义的，这里所说的元素仍可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（ 1）两类正弦定懂得三角形的问题：第 1

5、、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（ 2）两类余弦定懂得三角形的问题：第 1、已知三边求三角.第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，仍要留意三角形自身的特点。（ 1）角的变换由于在 ABC 中，A+B+C=，所以 sinA+B=sinC。cosA+B= cosC。tanA+B= tanC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin AB 2Ccos2,cos AB 2sin C 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）判定

6、三角形外形时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6求解三角形应用题的一般步骤：（ 1）分析：分析题意，弄清已知和所求。（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图。（3）求解：正确运用正、余弦定理求解。（ 4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 1：正、余弦定理例 1（ 1）在ABC 中，已知A32.00 ， B81.80 ， a42.9 cm，解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在ABC 中，已知 a20

7、cm， b28 cm， A400 ，解三角形（角度精确到10 ，边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结长精确到1cm）。解：（ 1）依据三角形内角和定理，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1800 AB180032.0081.8066.20 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

8、 - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据正弦定理，依据正弦定理，basin B sin AcasinC sin A42.9sin81.80sin32.00042.9sin66.2 0sin32.080.1cm 。74.1 cm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）依据正弦定理，sin Bbsin Aa28sin400 200.8999.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 00 B 1800 ，所以 B640 ，或 B1160.可编辑资料

9、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 B640 时，C1800 AB180040 0640 760 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结casin C sin A20sin760sin40 030cm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 B1160 时，00000asinC20sin240可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C180 AB18040116 24 ， csin Asin40013cm.可编辑资料

10、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：应用正弦定理时（1）应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。（ 2）对于解三角形中的复杂运算可使用运算器可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 2：三角形面积例 2在ABC 中， sin A面积。cos A22， AC2 ， AB3 ，求tan A 的值和ABC的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：先解三角方程，求出角A 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Acos A2 cos A 145 2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosA45 .ooo2

11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结o又 0A180 ,A4560 , A105.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan Atan4560 13o1323 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinAsin105sin4560 sin45 cos60cos45 sin6026 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

12、 - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S ABC1 ACAB sin A 212326243 26 。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：由 sin Acos A 运算它的对偶关系式sin Acos A 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin Acos A22cos A212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sinAcos A12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q 0oA180o,sin

13、A0,cos A0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另解sin 2 A12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsin AAcos A 2cos A6212 sinAcos A3 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结+得 sin A26 。4得 cos A26 。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 tan Asin A cos A26442623 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本学问，着重数学考查运算才能，是一道三角的基础试题。两种解法比较起

14、来，你认为哪一种解法比较简洁了？题型 3：三角形中的三角恒等变换问题例 3在 ABC中， a、b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边长，已知a、 b、c 成等比数列，22b sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 a c =ac bc，求 A 的大小及c的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：因给出的是a、b、c 之间的等量关系，要求A，需找 A 与三边的关系，故可用b22b sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结余弦定理。由b =ac 可变形为c=a，再用正弦定理可求c的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

15、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2解法一： a、b、c 成等比数列，b =ac。又 a2 c2=acbc， b2+c2a2=bc。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2在 ABC中，由余弦定理得：cos A=c 22bca 2bc1=，2bc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

16、师归纳总结 A=60。在 ABC中，由正弦定理得sin B= b sin Aa， b =ac，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 A=60，b sin Bcb2 sin 60 ac3=sin60 =。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：在 ABC中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由面积公式得1 bcsin A= 21 acsin B 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 b =ac， A=60， bcsin A=b sin B。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

17、总结 b sin Bc=sin A=3 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型 4：正、余弦定理判定三角形外形例 4在 ABC中，如 2cos Bsin A sinC ，就 ABC的外形肯定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案： C解析： 2sin Acos B sin C =sin （ A B） =sinAcosB+cosAsinB sin （ AB） 0， A B另解：角化边点评：此题考查了三角形的基本性质，要求通过观看、分析、判定明确解题思路和

18、变形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方向，通畅解题途径题型 5：三角形中求值问题例 5ABC 的三个内角为A、B、C ，求当 A 为何值时， cosA值，并求出这个最大值。2cos BC 2取得最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -B+C AB+CA可编辑资料 - - - 欢迎

19、下载精品名师归纳总结解析：由A+B+C=，得2 = 2 2，所以有cos 2=sin 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2 =1 2sin2A2 + 2sinA= 2sin 2A 1322 2 + 2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A当 sin=1，即 A=时, cosA+2cosB+C3取得最大值为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22322点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三

20、角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。题型 6：正余弦定理的实际应用例 6（ 2021 辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为750 ， 300 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为600 ， AC=0.1km。摸索究图中B， D 间距离与另可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结外哪两点间距离相等，然后求B， D

21、 的距离（运算结果精确到 0.01km ，21.414 ，62.449 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 在 ABC中， DAC=30,ADC=60 DAC=30,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 CD=AC=0.1 又 BCD=180 60 60=60，故 CB是 CAD底边 AD的中垂线，所以BD=BA，在 ABC中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinABBCAsinACABC, 即 AB=ACsin60 sin 15326 ,20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3

22、 26因此， BD=200.33km。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 B， D 的距离约为0.33km 。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题舒展，但也不行太难，只要把握基本学问、概念，深刻懂得其中基本的数量关系即可过关。三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（ 1）已知两角和一边（如A、B、C），由 A+B+C= 求 C，由正弦定理求a、b。（ 2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c 边。再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C =，求另一角。可编辑资料 -

23、- - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 3）已知两边和其中一边的对角（如a、 b、A），应用正弦定理求B，由 A+B+C= 求C，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要留意解可能有多种情形。（ 4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由 A+B+C =，求角 C。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2三角学中的射影定理：在ABC 中， baco

24、sCccos A ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3两内角与其正弦值：在ABC 中， ABsin Asin B ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4解三角形问题可能显现一解、两解或无解的情形，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮忙懂得”。三、课后跟踪训练1. （ 2021 上海文数18. ）如 ABC 的三个内角满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinA :sinB :sin C5:11:13，就 ABC（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A）肯定是锐角三角形.（

25、 B）肯定是直角三角形.（ C）肯定是钝角三角形.D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由 sin A :sinB :sin5 2C1125:11:13132及正弦定理得a:b:c=5:11:13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由余弦定理得cos c25110 ，所以角C 为钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. （ 2021 天津理数7）在 ABC中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，如 a2b23bc ，sin C23 sin B ，就 A=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（A

26、） 300（ B） 60 0（C） 1200（ D） 1500可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 A【解析】此题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由正弦定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c23bc2R2 R23b ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 cosA=b2 +c2 -a23bcc2=3bc2 3bc30，所以 A=30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bc2bc2bc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【温馨提示】 解三角形的基本思

27、路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3. （ 2021 湖北理数） 3. 在ABC 中， a=15,b=10,A=60 ，就 cosB =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 223B 223C 6 D633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 Dab15

28、103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 依据正弦定理sin A可得sin Bsin60osin B解得 sin B，又由于 ba ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 BA，故 B 为锐角，所以cos B1sin2 B6 ，故 D 正确 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.（2021 广东理数） 11. 已知 a,b,c分别是 ABC的三个内角A,B,C 所对的边， 如 a=1,b=3 , A+C=2B,就 sinC=.13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由A+C=2B 及 A+ B+ C =180知， B =6

29、0 由正弦定理知，sin A，即sin 60o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin A1 由 ab 知， AB260o ，就 A30o，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C180oAB180o30o60o90o ， sin Csin90 o1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5（2021 湖南卷文） 在锐角ABC 中， BC的取值范畴为.1,B2A, 就ACcos A的值等于，AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析设A,B2 . 由正弦定理得ACBC ,AC1AC2.sin 2sin2coscos可编辑资料 - - - 欢迎下载精

30、品名师归纳总结由锐角ABC 得 0o290o0o45o ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 0o180o390o30o60o，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 30o45o2cos3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22AC2cos2,3.6. （ 2021 全国卷理）在ABC 中，内角A、B、C 的对边长分别为a 、 b 、 c ，已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2c 22b ，且 sinA cosC3cos A sin C,求 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： : 此题事实上比较简洁, 但考

31、生反应不知从何入手. 对已知条件 1a2c22b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左侧是二次的右侧是一次的, 同学总感觉用余弦定理不好处理, 而对已知条件2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin A cosC3cos Asin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式, 甚至有的同学仍想用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

32、 - -现在已经不再考的积化和差, 导致找不到突破口而失分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解法：在ABC 中就 QsinA cosC3cosAsin C, 由正弦定理及余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2有 : agb2c22abb2c232bcagc,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（角化边）化简并整理得：2a2c2 b2 . 又由已知 a2c22b4bb2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

33、载精品名师归纳总结解得 b4或b0舍）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7在 ABC中，已知 A、B、 C成等差数列，求tan Atan C3 tanA tan C 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222解析：由于A、B、C成等差数列，又AB C 180，所以A C 120，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACAC从而 60，故 tan223 . 由两角和的正切公式，得tan A2tan C23 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 tan A2tan C233 tan A

34、 2tan C ,21tanA tan C 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan Atan C3 tan A tan C3 。2222点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角求解，同时结合三角变换公式的逆用。8. （ 2021 四川卷文）在ABC 中， A、B 为锐角，角A、B、C所对的边分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a、b、c ，且sin A5 ,sin B10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结510（ I ）求 AB 的值。（ II ）如 ab21 ，求 a、b、c 的值。510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（ I ） A、B 为锐角，sin A,s