高中数学--数学归纳法.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学 - 数学归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、填空题13.4数学归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111用数学归纳法证明1 1 n nN，且 n1 ，第一步要证的不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n等式是 232 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解析n2 时，左边 1 1111 1，右边 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

2、品名师归纳总结2111答案 2322 123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 用数学归纳法证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12221n2nn 1。当推证当 nk1 等式也成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 352n 12n 122n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，用上归纳假设后需要证明的等式是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1222k2k 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结53解析 当 nk1 时， 1 3 2k 12k 1 2k 12k 3可编辑资料 - - - 欢迎下

3、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk 1k 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 22k 1 2k 12k 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk 1k 1k 1k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2故只需证明22k 1 2k 12k 3 22k 3即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk 1k 1k 1k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2答案 22k 1 2k 12k 3 22k 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

4、归纳总结3如 f n 1222 32 2 n 2，就 f k1 与 f k 的递推关系式是 解析 f k 12 22 2 k 2， f k1 12 22 2 k 22 k1 22 k 2 2。 f k1 f k 2 k 1 2 2 k2 2 .答案f k 1 f k 2 k1 22 k 2 23如存在正整数 m，使得 f n n2 n 73 9 nN* 能被 m整除，就 m .解析f 1 6，f 2 18，f 3 18，猜想： m 6.答案6学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - -4用数学归纳法证明“ n3 n 1

5、 3 n2 3 n N* 能被 9 整除”，要利用归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学 - 数学归纳法假设证 n k1 时的情形，只需绽开的式子是 解析假设当 nk 时，原式能被 9 整除，即 k3 k1 3 k 2 3 能被 9 整除当 nk1 时， k1 3 k 2 3 k3 3 为了能用上面的归纳假设，只需将 k3 3 绽开，让其显现k3 即可答案 k3 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5用数学归纳法证明123 n2的基础上加上 n4 n22，就当 nk1 时左端应在 nk

6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析当 nk 时，左侧 1 2 3 k2，当 nk1 时，左侧 123 k2 k2 1 k1 2，当 nk1 时，左端应在 nk 的基础上加上 k2 1 k22 k2 3 k 1 2.答案 k21 k2 2 k23 k1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16用数学归纳法证明1 111 n1111，就当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2342 12nn 1n 22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nk1 时，左端应在 nk 的基础上加上 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析当 nk

7、时，左侧 111111当 n k 1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2342k12k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1左侧 1234 2k2k2k 2k .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1答案2k112k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 设平面内有 n 条直线 n3 其中有且仅有两条直线相互平行, 任意三条直线不过同一点 . 如用fn表示这n条直线交点的个数, 就 f4=;当 n4时,fn=用 n 表

8、示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案:51 n21n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:f3=2,f4=5,f5=9,每增加一条直线 , 交点增加的个数等于原先直线的条数. f4-f3=3,f5-f4=4, fn-fn-1=n-1.2 / 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学 - 数学归纳法累加

9、得fn-f3=3+4+n -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n22 n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f n 1 n21n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结118用数学归纳法证明不等式11127n N* 成立，其初始值至可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结少应取 242n 164 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 右边 111 24112n 11 n21 212n 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

10、名师归纳总结代入验证可知 n 的最小值是 8.答案812可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9在数列 a 中， a1S n2 n 1 a ，通过运算 a ，a ，a ，猜想 a的表达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n式是 1 且nn3234n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a解析当 n2 时， a a 6a ，即 a 1 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12225 115可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n3 时， a1 a2 a315a3 ，可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品名师归纳总结即 a311 a1a2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1435当 n4 时， a1 a2 a3a4 28a4，a11即427 a1a2 a3 63.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 a1 11， a2 11， a311，a4 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3131535355779可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故猜想 an 答案an12n112n12n 1.2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10用数学归纳法证明 n1 n2nn 2n132 n1 nN* ，从“ k 到 k

12、1”左端需乘的代数式是 3 / 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学 - 数学归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k12k2解析左端需乘的代数式是k 122 k1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案22 k111如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有nnN* 行，在这些数中非 1 的数字之和是 1

13、11121133114641解析全部数字之和 Sn202222n12n1， 除掉 1 的和 2n 1 2n 12n2n.答案2n 2n12对于不等式n2 n n 1 nN* ，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：1 当 n1 时，12 1 1 1，不等式成立(2) 假设当 nk k N* 时，不等式成立，即k2kk1，就当 nk1 时，k 1 2 k1 k2 3k 2k2 3k 2 k2 k 2 2 k1 1，当 nk1 时，不等式成立就上述证法中 （哪一步推理）不正确 .解析 此同学从 nk 到 nk1 的推理中没有应用归纳假设 答案 从 nk 到 n k 1 的推理2222n 1213 1

14、 2 3 4 1 n ，当 n 分别取1,2,3,4时的值依次为 ，所以猜想原式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析当 n1 时，原式 12 1 1111 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 22 21当 n2 时，原式 1222 3 12124 / 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学 - 数学

15、归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n3 时，原式 122232 6 1313 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 24 41当 n4 时，原式 122232 42 10 141可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结猜想原式 1n12n n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2n 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案1， 3,6 ， 10 12二、解答题a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14已知数列 an 满意 an 1 an pan pR ，且 a10,2，试猜想 p 的最小值，*

16、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使得n 0,2对 nN 恒成立，并给出证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明当时，n1aa2paa a p 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21111由于 a1 0,2，所以欲使 a2 0,2恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pa1，就要2恒成立，解得 2 p2 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结apa11由此猜想 p 的最小值为 2.n由于 p2，所以要证该猜想成立，只要证：当p2 时， a 0,2对 nN* 恒成立现用数学归纳法证明：当 n1 时结论明显成立。假设当 n

17、k 时结论成立，即 ak 0,2，k1kkkk就当 nk1 时， a a2 2a a 2 a ，一方面， ak1 ak2 ak 0 成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面， aa 2 a a 1 2 11 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1kkk所以 ak 1 0,2，即当 nk1 时结论也成立由可知，猜想成立，即p 的最小值为 2.15在数列 a 中，对于任意 nN*， a4a3 3a .nn 1nn1 求证：如 | an| 1，就| an 1| 1。2 如存在正整数 m，使得 am 1，求证：5 / 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

18、纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学 - 数学归纳法 | a1| 1。 a cos2k 其中 kZ 参考公式： cos 3 4cos33cos31m 1nn 1nn证明1 由于| a | 1，a 4a3 3a .n1nnnn所以| a| |4 a33a | | a |4|a | 23 1.2 假设 | a1| 1，就21111| a | |4 a3 3a | | a |4|a

19、| 2 3 1.如| ak| 1，就k 1kkkk| a| |4 a33a | | a |4|a | 2 3 1.所以当 | a1| 1 时，有 | an| 1 n N* ，这与已知 am1 冲突，所以 | a1 | 1.由可知，存在，使得 a1cos， 就 a24cos3 3cos cos 3 .n 1k 1假设 nk 时，有 an cos 3 ，即 ak cos 3，33k1kkk就 ak 14a 3a 4cos 3 k 1 3cos 3 cos 3 .n所以对任意 nN* ，a cos 3 n 1 ，m1m1就 amcos 31,32k，其中 kZ.2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精

20、品名师归纳总结即 m 1 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k所以 a1 cos 3m 1 其中 k 为整数 16在数列 a 中， a 1，ac 1 .an1n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 设5c ，1nb an，求数列 bn 的通项公式。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(2) 求使不等式 anan 1 3 成立的 c 的取值范畴a51an 2解析1n 1 2 a 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n12an42an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2，即 bn 14bn 2.可编辑资

21、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1 2an2an 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 24 b2a 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1 3n3 ，又1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 / 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

22、1故 b1 1，高中数学 - 数学归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2所以 bn 31是首项为，公比为 4 的等比数列，423可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b21n 1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n 433，bn 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 a1 1， a2 c1，由 a2 a1，得 c 2.用数学归纳法证明：当c 2 时， an an 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n1时

23、， a2c1aa1，命题成立。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设当 n k 时， akak 1， 就当 nk1 时，a11aak 2 ccak 1.k1k故由知当 c2 时， anan 1.11当 c2 时，由于 can 1 a an，nannn所以 a2 ca 10 有解，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cc24所以2ancc2 42，令 cc242，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 2c10 3 时，an 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

24、品名师归纳总结时，当 c1033，且 1 an ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n于是 an 1a an 1所以 an 13n 1 ， an 32 an 1 3n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 nlog 1 a 3， a3，与已知冲突可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33 时，10n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 c 3 不符合要求10所以 c 的取值范畴是2， 3.7 / 9可编辑资料 - - - 欢迎

25、下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结高中数学 - 数学归纳法已知在正项数列nnnn 117 a 中，对于一切的nN*均有 a2a a成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 证明：数列 an 中的任意一项都小于1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 探究an 与1的大小，并证明你的结论n

26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1证明1 由 a2 a a，得 a a a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nn由于在数列 an 中， an 0，2所以 an 1 0. 所以 a a 0.nn所以 0an 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故数列 an 中的任意一项都小于1.12a1 2111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 由1 知 0an1，那么 a2 a1a1 112 ，442可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1由此猜想： an n2 ，下面用

27、数学归纳法证明：n当 n2 时，明显成立。当 nk 时 k2， kN 时，假设猜想正确，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112即 akk ，aaa2a1 2111 2111k 1k11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么k 1 k kk 22 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24故当 nk1 时，猜想也正确k24kkkk 1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，对于一切nN* ，都有 a 1n.n18.设函数 yfx，对任意实数 x，y 都有 fx y fx fy 2xy.1 求 f0的值。2 如 f11，求 f2，f

28、3，f4的值。3 在2 的条件下，猜想 fnnN* 的表达式并用数学归纳法证明.【解题指南】 1 令 x， y 均为 0 可得 f0。2 利用递推条件可得f2，f3，f4。3 证明时要利用 nk 时的假设及已知条件进行等式转化.【解析】 1 令 xy0，得 f0 0 f0 f0200，得 f00. 2 由 f11，得 f2f1 1 f1f12114.8 / 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结

29、归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学 - 数学归纳法f3f2 1 f2f12219. f4f3 1 f3f123116.3 由2 可猜想 fn n2 ，用数学归纳法证明：2i当 n1 时， f11 1 明显成立 .2ii假设当 nk 时，命题成立，即fkk ，就当 nk1 时，fk 1 fkf12k1 k212kk 1 2 ，故当 nk1 时命题也成立，由i，ii可得，对一切 n N* 都有 fn n2 成立.9 / 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载