高中数学_椭圆_知识题型总结3.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -教学课题椭圆学问点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ，这个动点的轨迹叫椭圆 .这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.留意： 如，就动点的轨迹为线段。如，就动点的轨迹无图形 .讲练结合一 .椭圆的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1如ABC 的两个顶点 A4,0 , B4,0，ABC 的周长为 18 ，就顶点 C 的轨迹方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：， 其中。2当焦点在

2、轴上时，椭圆的标准方程：，其中。留意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程。2在椭圆的两种标准方程中，都有和。3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。讲练结合二利用标准方程确定参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21椭圆 x4y1 的焦距为 2 ，就 m =。2m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2椭圆5x2ky 25 的一个焦点是0,2 ，那么 k。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

3、- - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学问点三：椭圆的简洁几何性质椭圆的的简洁几何性质（ 1）对称性对于椭圆标准方程，把 x 换成 x，或把 y 换成 y，或把 x、y 同时换成 x、 y，方程都不变，所以椭圆是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（ 2）范畴椭圆上全部的点都位于直线x=a

4、和 y= b 所围成的矩形内， 所以椭圆上点的坐标满意|x| a，|y| b。（ 3）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0），椭圆（ab 0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A 1（ a，A 2（ a， 0），B1（0， b）， B2（0，b）。线段 A 1A 2 ，B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A 2|=2a， |B1B2 |=2b。a 和 b 分别叫做椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的长半轴长和短半轴长。（ 4）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。由于

5、 ac 0，所以 e 的取值范畴是 0e1。e 越接近 1，就 c 就越接近 a，从而越小，因此椭圆越扁。反之， e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b 时， c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -椭圆的图像中线段的几何特点（

6、如下图） ：（1），。（2），。（3）,，。学问点四：椭圆与（ab 0）的区分和联系标准方程图形焦点，焦距范畴性质对称性关于，x 轴、y 轴和原点对称，顶点，轴长轴长=，短轴长 =离心率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -准线方程焦半径，留意： 椭圆，（ab0）的相同点为外形、大小都相同，参数间的关系222都有 ab0 和，a =b +c 。

7、不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。题型一椭圆焦点三角形面积公式的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2定理在椭圆 xa 22y1（ a b 0）中，焦点分别为2b 2F1 、F2 ，点 P 是椭圆上任意一点，yF1 PF2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 S F1PF2btan.2PP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：记| PF1 |r1 , | PF2 |r2 ，由椭圆的第肯定义得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r1r22 a,r1r2 4a 2 .F 1

8、OF 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22在 F1 PF2 中，由余弦定理得：r12r22 r1r 2 cos22c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结配方得：r1r 22r1r22r1r2cos4c 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2即 4a 22r1r2 1cos4c2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r1r22a 2c 2 2

9、b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1cos1cos由任意三角形的面积公式得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S F1PF 21r1 r22sinb2sin1cos2 sincosb 2222 cos2b 2tan.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S F1 PF22b 2 tan. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典题妙解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y 2例 1如 P 是椭圆1上的一点，F1、F2 是其焦点，且F1PF260，求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10064可编辑资料 -

10、- - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 F1 PF2的面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2解法一：在椭圆1中， a10, b8, c6, 而60 . 记 |PF1 |r1 ,| PF2 |r2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

11、师归纳总结10064可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 P 在椭圆上，由椭圆的第肯定义得：r1r22a20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 F1PF22中，由余弦定理得：r12r22 r1r 2cos2c 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结配方，得：r1r 23r1r2144.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24003r1r2144. 从而r1r2256.3可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S F1 PF21 r r122sin1256233643 .23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2解法二：在椭圆1中， b 264 ，而60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10064可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S F1PF 2b 2 tan264 tan 30643 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明白，两

13、个解法的优劣立现！x 2y 2PFPF1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知 P 是椭圆1上的点，F1、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，如12，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结259| PF1 | PF2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F1PF2的面积为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 33B. 23C. 3D.33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设F1PF2， 就 cosPF1PF21，60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| PF1 | PF2 |2可编辑资料 -

14、- - 欢迎下载精品名师归纳总结S F1PF22b tan29 tan3033.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应选答案A.练习6已知椭圆的中心在原点，F1、F2 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且PF1| PF1 |PF2| PF 2 |1 ，2F1 PF2的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积是3 ，准线方程为x43，求椭圆的标准方程.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结参考答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共

15、19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 解：设F1 PF2，cosPF1PF21 ,120.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| PF1 | PF 2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S F1PF 2b 2 tan2b 2 tan 603b 23 ，b1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 243又，即c3c2b 2cc 21143cc c333 .3可编辑资料 -

16、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结c3 或 c3 .23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 c3 时， ab2c 22 ，这时椭圆的标准方程为xy21 。 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 c3 时， a3b 2c 223，这时椭圆的标准方程为32x y21 。 43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，为最大，60 ，不合题意 .x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求的椭圆的标准方程为y 21 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型二中点弦问题点差法可编辑资料 - - -

17、欢迎下载精品名师归纳总结x2中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理 ”或“ 点差法 ”求解。在椭圆a 2y 12b 2中，以P x0 , y0 为中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点的弦所在直线方程？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22例 3.过椭圆 xy1内一点M 2， 1 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结164弦所在的直线方程。分析： 本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的讨论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：法一设所求直线方程为y

18、1k x2 ，代入椭圆方程并整理，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4 k 21 x 2 2 k 2k x4 2 k1 2160 ，又设直线与椭圆的交点为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A x1 ， y1 、B x 2 ， y 2 ，就 x1、 x2 是方程的两个根，于是x1x282 k 24 k 2k ，1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又M 为AB的中点，x1x2 242 k 2k 4k 212 ，

19、解之得 k1 ，故所求直线方2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结程为x2 y40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二设直线与椭圆的交点为A x1，y1 、B x2 ，y2 ，M 2，1为AB的中点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品名师归纳总结 xx4， yy2 ，又 A、B两点在椭圆上，就x24 y216 ， x 24 y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12121122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结116，两式相减得 x 2x 2 4 y 2y2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212 y1y2x1x2x1 4 y1x21y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即k AB点差法1 ，故所求直线为x2 y402可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.过点1，0的直线 l 与中心在原点，

21、焦点在 x 轴上且离心率为2 的椭圆 C 相交于 A、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 两点，直线y= 1 x 过线段 AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l2对称，试求直线l 与椭圆 C 的方程 .命题意图：此题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新奇，基础性强，属级题目.学问依靠：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当的利用离心率设出方程是同学简洁犯的错误.恰当的利用好对称问题是解决好此题的关键.技巧与方法：此题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于

22、直线AB 斜率的等式 .解法二，用韦达定理 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：由 e= ca2 ,得2a 2b2a 21 ,从而2a2=2b2,c=b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2212设椭圆方程为x2+2y2=2b2,Ax1,y1,Bx2,y2在椭圆上 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1就x12+2y2=2b2,x2+2y2=2b2,两式相减得，x2 x2+2y12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，

23、共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y 2=0, y1y2x1x2x1 2 y1x2.y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 AB 中点为 x0,y0,就 kAB=x02 y0,又x0,y0在直线 y= 1 x 上， y0=21 x0,于是2x0=2 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1,kAB=1,设 l 的方程为 y=

24、x+1.右焦点 b,0关于 l 的对称点设为 x ,y,y1就xb解得x1yxb1y1b 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由点1,1b在椭圆上，得1+21b2=2b2,b2=9 ,a 29 .168可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所求椭圆 C 的方程为8 x2916 y29=1,l的方程为y=x+1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：由 e= ca2a2b2, 得2a 21 ,从而 a2=2b2,c=b.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=kx 1,将l的 方

25、程 代 入C的 方 程 ， 得 1+2k2x2 4k2x+2k2 2b2=0, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x +x =4k 2,y +y=kx 1+kx 1=kx+x 2k=2k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122121212 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12k12k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 l： y= 1 x2过 AB 的中点 x1x2 2, y1y2 2,就1k 2k 212k2212k 2,解得 k=0，或 k=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.如 k=0,就 l 的方程为 y

26、=0,焦点 Fc,0关于直线 l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆 C 上，所以 k=0 舍去， 从而 k= 1，直线 l 的方程为 y= x1,即 y=x+1,以下同解法一 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、一般弦长公式题型三弦长公式与焦半径公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弦长公式：如直线ykxb 与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1, x2 分别为 A、B 的横坐标，就AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - -

27、 - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 k 2xxAB112 y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 ，（ 如y1, y2 分别为A、B 的纵坐标，就k），如弦AB 所在直线方程设为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xkyb ，就AB 1k 2y1y2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦

28、长的运算，一般不用弦长公式运算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用其次定义求解。1. 其次定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e 0ae1 的动点M 的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2留意： 对 x2y1 ab0 对应于右焦点F c， 0 的准线称为右准线，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程是

29、 xa，对应于左焦点2cF1 c， 0 的准线为左准线xa2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2对于椭圆xay 2b 21 ab0 ，设P x， y为椭圆上一点，由其次定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r左c左焦半径xa 2a0r左ex0ca 2acaex0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cr右右焦半径a 2x

30、0cc右raex0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 2已知点 P 在椭圆a 2x 221 abb0 上， F1 、F2 为椭圆的两个焦点，求| PF1| PF2 |的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

31、 - 欢迎下载精品名师归纳总结6.解：设 P x0，y0 ，椭圆的准线方程为y a，不妨设F1、F2 分别为下焦点、上焦点2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| PF1| a 2y0cc| PF2 |c，aa 2ay0c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 | PF |c ya， | PF |ac y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1020可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 | PFa| | PF|ac y aac y a 2c22y可编辑

32、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1200aaa 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ay0a ，2当 y00 时， | PF1| | PF2 | 最大，最大值为a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 y a时， | PF| | PF|最小，最小值为a 2c2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此， |PF |PF|的取值范畴是b 2 ， a 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22例 2.椭圆 xy1的焦点为 F 、 F ，点 P为其上的动点，当12F1 PF2 为钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结94时，点 P 横坐标的取值范畴是 。（ 2000 年全国高考题）分析： 可先求 F1PF2 90时， P 点的横坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：法一在椭圆中， a3，b2 ，c5，依焦半径公式知| PF1