高中数学选修-推理与证明教案及章节测试及答案 .docx

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1、精品名师归纳总结推理与证明一、核心学问1. 合情推理1归纳推理的定义：从个别事实 中推演出一般性的结论， 像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。2类比推理的定义： 依据两个或两类对象之间在某些方面的相像或相同， 推演出它们在其他方面也相像或相同，这样的推理称为类比推理。 类比推理是由特别到特别的推理。2. 演绎推理(1) 定义： 演绎推理是依据已有的事实和正确的结论包括定义、公理、定理等依据严格的规律法就得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特别的推理。(2) 演绎推理的主要形式：三段论“三段论”可以表示为： 大前题：M 是 P小前提： S 是 M结论：

2、S 是 P。其中是大前提，它供应了一个一般性的原理。是小前提，它指出了一个 特别对象。是结论，它是依据一般性原理，对特别情形做出的判定。3. 直接证明直接证明是从命题的条件或结论动身，依据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。1综合法就是“由因导果” ， 从已知条件动身， 不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。2分析法就是从所要证明的结论动身，不断的用充分条件替换前面的条件或者 肯定成立的式子，可称为“由果索因”。要留意表达的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件 .分析法和综合法常结合使用，不要将它们割 裂开。4 反证法1定义

3、：是指从否认的结论动身， 经过规律推理， 导出冲突，证明结论的否 定是错误的，从而确定原结论是正确的证明方法。2一般步骤：1假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。从假设 动身，经过推理论证，得出冲突。从冲突判定假设不正确，即所求证命题正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结确。3反证法的思维方法 : 正难就反 5. 数学归纳法只能证明与正整数有关的数学命题的步骤(1) 证明：当 n取第一个值 n0 n0 N*时命题成立。(2) 假设当 n=k kN*，且 kn0 时命题成立，证明当 n=k+1时命题也成立由1 ，2 可知，命题对于从 n0开头的全部正整数 n都正确。二、典型例题可

4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.已知f x12 f x, f f x211 （xN *），猜想f x）的表达式为 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. fx42x2。 B.f x2。 C.x1f x1。 D.x1f x2.2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2.已知f n 1111 nN * ，运算得 f 23 ， f 42 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 85

5、 ， f2163 ，f 327 ，由此估计：当 n22 时，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 2 n 2n1 nN * 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3.已知：sin2 30sin 2 90sin2 1503 。 sin 2 52sin 2 65sin2 12532可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通过观看上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：3 = *并给出 *式的证明 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：一般形式 :sin 2sin 2 60 sin 2 3120 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

6、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：左边 =1cos 2 21cos2 2120 1cos 2 2240 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=31 cos 222cos2120 cos2240 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= 31cos222cos2cos120sin2sin120cos2cos240sin2sin240 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=31 cos 2221 cos 223 sin 221 cos 223 sin 22 = 3右边2可编辑资料 - - -

7、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将一般形式写成sin2 60 sin 2sin 260 3 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 2 240 sin 2120 sin232等均正确。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4假设a, b, c 均为实数，且 ax 22 y, b2y22z,cz22x。36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证： a,b,c 中至少有一个大于 0。答案：用反证法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 a,b, c 都不大于 0，即 a0, b0, c0 ，就有

8、abc0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 abc x22 y y 22z2z 22 x36 x12 y12 z123236可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= x1 2 y12z123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x12 , y1 2 , z12均大于或等于 0，30 ， abc0 ，这与假设 abc0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结冲突，故 a,b, c 中至少有一个大于 0。例 5. 求证： 1+3+5+2n+1=n2n N*三、课后练习1数列 1,3,6,10,15，的递推公式可能是 B可编辑资料 - - - 欢迎下

9、载精品名师归纳总结a1 1，A.*an 1an n nNa1 1，nn1B.a an nN* ， n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 1，C.nan 1a n1 nN*D.a1 1， a a n 1 nN* ，n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1 解析记数列为 an ，由已知观看规律： a2 比 a1 多 2，a3 比 a2 多 3，a4 比 a3 多a1 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4，可知当 n2时，an比an 1多 n，可得递推关系an an 1n n2，nN* 可编辑资料

10、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2用数学归纳法证明等式 1 2 3 n3 n3 n4 nN* 时，验2证 n1，左边应取的项是 DA1B12C123D1234 解析当 n 1 时，左 12 1 3 12 4，故应选 D.fn1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123已知 nn n n2 ，就D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结113Af n 中共有 n 项，当 n2 时， f 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Bf n 中共有 n1 项，当 n2 时， f 2Cf n 中共有 n2n 项，当 n 2 时， f 2111 234113

11、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Df n 中共有 n2n1 项，当 n 2 时， f 2111 234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析项数为 n2 n1 n2n1，故应选 D. 4已知 abc0，就 abbcca 的值DA大于 0B小于 0C不小于 0D不大于 0 解析解法 1：abc0， a2b2c22ab 2ac2bc0，a2b2c2 abacbc20.5. 已知 c1，a c1 c，b c c1，就正确的结论是 B AabBa bC a bDa、b 大小不定 解析a c1 c1，b c c11，c1

12、cc c1由于c1c0， cc10，所以 c 1 cc c10，所以 a0，就 a21a22a12 。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：证明：要证a21a22a12 ， a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只需证 a 212a12 。a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a0，两边均大于零，因此只需证a 21a 222a1a2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只需证 a2144 a21a2a 2a21a22222 a1 ，a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只需

13、证 a21a22 a21 ，只需证21aaa21212 aa22 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即证 a21a 22 ，它明显成立。原不等式成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14.ABC 中，已知 3b23a sinB ，且cos AcosC，求证：ABC 为等边三角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形。解:分析：由 3b23a sin B3sin B23 sin A sin Bsin A32A, 233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 cos AcosCACACB 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ABC 为等边三角形.315已知： a、b、cR，且 abc1.求证： a2 b2c2 1 证明由 a2 b22ab，及 b2 c2 2bc，c2a22ca.三式相加得 a2 b2c2 abbcca.3 a2b2 c2 a2 b2c2 2 abbcca a b c 2.由 a bc1，得 3 a2 b2 c2 1，.即 a2 b2c213可编辑资料 - - - 欢迎下载