高中数学专题抽象函数常见题型解法.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的详细解析式，只给出了一些表达函数特点的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。一、定义域问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1. 已知函数2f x的定义域是 1， 2，求 f （x）的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 已知函数二、求值问题f x 的定义域是 1，2 ，求函数f log 1 32x的定义域。可编辑资料

2、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 21， f 61例3.已知定义域为R的函数f （ x ），同时满意以下条件：5 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xyf xf y ，求 f（ 3）， f （ 9）的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、值域问题例 4. 设 函数f（ x）定义于实数集上，对于任意实数x、y ，f xyf x f y 总成立，且存可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，即有在 x1x2 ，使得f x1 f x2 ，求函数f x 的

3、值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 xy0 ，得f 0 f 0 2f 00 或 f01。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f 00 ，就f xf x0f xf 00 ，对任意 xR 均成立，这与存在实数x1x2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使 得 fx1 f x2 成立冲突，故f 00 ，必有f 01。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

4、师归纳总结由 于 f xyf xf y 对任意x、 yR 均成立，因此，对任意xR ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf xx 22f x f 2 x 2 f x 202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面来证明，对任意xR， fx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设存在 x0R ，使得f x0 0 ，就f 0f x0x0 f x0 f x0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

5、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这与上面已证的f 00 冲突，因此，对任意xR， f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 fx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特别转化的必要手段。四、解析式问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精

6、心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5. 设对满意x0， x1 的全部实数x，函数f x 满意f xf x1 x1x，求 f（x）的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：在f xf xf1f x11x x12 x11中以 2x1x代换其中 x ，得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再在（ 1）中以x 1 代换 x ，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

7、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1x1f xx2x1f x3x3x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 23 化简得：2x x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1评析：假如把x 和x分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通常情形下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消逝”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例6.设f （ x ） 定 义 于 实 数 集 上 ，

8、当 x0 时 ，f x1 ， 且 对 于 任 意 实 数x 、 y ， 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xyf xf y ，求证：f x 在 R 上为增函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：在f xyf xf y 中取 xy 0 ，得f 0 f 0 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f 00 ，令 x0， y0 ，就f x0 ，与f x1冲突可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

9、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 f00 ，即有f 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0 时，f x10 。当 x0 时，x0， f x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 f xf xf 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x所以10f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又当 x0 时，f 010可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以对任意xR ，恒有f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设x1x2，就 x2x10， f x2x1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

11、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f x2 f x1 x2x1 f x1 f x2x1 f x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 yf x 在 R 上为增函数。评析：一般的，抽象函数所满意的关系式，应看作给定的运算法就，就变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例7.已知 函 数f x xR， x0对任意 不 等于 零的实 数x1、x2都 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1x2 f

12、 x1 f x2 ，试判定函数f（ x ）的奇偶性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：取 x11，x21 得： f 1f 1f 1，所以f 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又取 x1x21得：f 1f 1f 1，所以f 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再取 x1x，x21 就 f x f 1f x ，即 f xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

13、精品名师归纳总结因 为 fx 为非零函数，所以f x为偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结七、对称性问题 例 8. 已知函数yf x 满意f xf x2002 ，求 f1 xf1 2002x 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：已知式即在对称关系式f axf ax2b 中取 a0， b2002 ，所以函数yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1的图象关于点（0， 2002）对称。依据原函数与其反函数的关系，知函数yf的图象关于可编辑资料 -

14、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结x点（ 2002， 0）对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 f1 x1001f1 1001x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将上式中的x 用 x1001 代换，得f1 xf1 2002x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析： 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设 a、b 均为常数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x 对一切实数x 都满意f axf ax2b ，就函数 yf x 的图象关于点 （

15、a，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b）成中心对称图形。八、网络综合问题例 9. 定义在 R 上的函数f（ x ）满意： 对任意实数m ，n，总有f mnf mf n，且当 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -时， 0f （ x）

16、 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特别到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的摸索和解决。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载