高中数学导数典型例题精讲 .docx

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1、精品名师归纳总结导数学问点导数是一种特殊的极限导数经典例题精讲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结几个常用极限：1 lim 10 ， lim an0 | a | 1 。2 limxx ， lim 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnxx0x0xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两个重要的极限 ：1 limsin x1。2 lim11e e=2.718281845.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数极限的四就运算法就：假设limxx0f xa， limxx0g

2、 xb ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) limxx0fxgxab 。 2 limxx0fxgxa b ;3 limxx0f xa b0 .g xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 列 极 限 的 四 就 运 算 法 就 ： 假 设 lim ana,lim bnb ， 就 1 limanbnab 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) limaba b 3 lim ana b04 limc alim c lim ac a c 是常数

3、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnnbnbnnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 在 x0 处的导数或变化率或微商可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0 yx x0limyx0xlimx0f x0xfx x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. 瞬时速度：ss t limt0tlimt0stttst .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结瞬时加速度：av tlimvlimvttvt .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t0tt0t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x

4、在a, b 的导数：f xydydfdxdxylimx0xlimx0f xxxf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x 在点x0 处的导数的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x 在点x0 处的导数是曲线 yf x 在P x0 , f x0 处的切线的斜率f x0 ，相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应的切线方程是 yy0几种常见函数的导数f x0 xx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1C0 C为常数 .2 xn nxnnQ .3sin xcosx .cos xsin x可编辑资料 - - -

5、 欢迎下载精品名师归纳总结4ln x1 。 log xax 1 log xe .5ex ex ;a x a x ln a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a导数的运算法就1 uv uv . 2uvu uvuv2u vuv . 3 vv v0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复合函数的求导法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设函数 ux 在点 x 处有导数u x ，函数 yf u 在点 x 处的对应点 U处有导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy f uyf xxyyu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u， 就

6、复 合 函 数在 点处 有 导 数 ， 且xux， 或 写 作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xf xf u x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例题解析】考点 1导数的概念对概念的要求：明白导数概念的实际背景，把握导数在一点处的定义和导数的几何意义，懂得导函数的概念.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 f x 是f x1 x332 x1 的导函数，就f 1 的值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1考查目的 此题主要考查函数的导数和运算等基础学问和才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

7、 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程 f xx22,2f 1123.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故填 3.例 2. 设函数f xxa ,集合 M= x |f x0 ,P= x|f x0 ,假设 MP,就实数 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1A.- ,1B.0,1C.1,+ D. 1,+ 考查目的 此题主要考查函数的导数和集合等基础学问的应用才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程 由 xa0,当a1时,1xa;当a1时, ax1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yxa ,x1/2y/xax1xa2a10

8、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1a1.x1x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上可得 MP 时,a1.考点 2曲线的切线1关于曲线在某一点的切线求曲线 y=fx 在某一点 Px,y的切线，即求出函数y=fx 在 P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.2关于两曲线的公切线假设始终线同时与两曲线相切，就称该直线为两曲线的公切线.典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 已知函数f x1 x31 ax2bx 在区间 1，1， 1，3 内各有一个极值点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I求32a 24b 的最大值。可编

9、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结II当 a24b8 时，设函数yf x 在点A1， f1 处的切线为 l ，假设 l 在点 A 处穿过函数yf x 的图象即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结动点在点 A 邻近沿曲线yf x 运动，经过点 A 时，从 l 的一侧进入另一侧 ，求函数f x 的表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路启发 ：用求导来求得切线斜率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 答 过 程 ： I 因 为 函 数f x1 x3

10、1 ax2bx 在 区 间 1，1， 1，3内 分 别 有 一 个 极 值 点 ， 所 以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x32x2axb0 在1，1 ， 1，3 内分别有一个实根，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设两实根为x1， x2 x1x2 ，就xxa 24b ，且 0x2x1 4 于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结210a24b 4 ， 0a4b 16 ，且当x11，x23 ，即 a2 ， b3 时等号成立故a24b 的最大值可编辑资料

11、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2是 16II解法一：由f 11ab 知f x 在点 1， f1 处的切线 l 的方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf 1f 1 x1 ，即 y1ab x21 a ，32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于切线 l 在点A1， fx 处空过yf x的图象，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 g xf x1ab x2

12、1a 在 x321 两边邻近的函数值异号，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1不是 gx 的极值点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 g x1 x31 ax2bx1ab x21 a ，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g x2xaxb1ab2xaxa1 x1 x1a) 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 11a ，就 x1 和 x1 a 都是g x的极值点可编辑资料 - - -

13、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 11a ，即 a2 ，又由a 24b8 ，得 b1，故f x1 x3x2x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：同解法一得g xf x121ab xa 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 x1 x3a1 x23a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于切线 l 在点A1， f 1 处穿过yf x的图象，所以g x 在 x1 两边邻近的函数值异号，于是存在m1， m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

14、归纳总结 m11m2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 m1x1 时，g x0 ，当 1xm2 时，g x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或当 m1x1 时，g x0 ，当 1xm2 时，g x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 hxx213ax23a，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 m1x1 时，h x0 ，当 1xm2 时，h x0 。可编辑资料 - - - 欢迎

15、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或当 m1x1 时，h x0 ，当 1xm2 时，hx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 h10 知 x1 是 h x 的一个极值点，就h 12113a0 ，22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 a2 ，又由a24b8 ，得 b1 ，故f x1 x33xx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4. 假设曲线yx 4 的一条切线 l 与直线 x4 y80垂直，就 l 的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A

16、4xy30B x4 y50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 4xy30D x4 y30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4考查目的 此题主要考查函数的导数和直线方程等基础学问的应用才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程 与直线 x4 y80 垂直的直线 l 为 4xym0 ，即yx4 在某一点的导数为4，而 y4x3 ，所以yx 在1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 处导数为 4 ，此点的切线为4xy应选 A.30 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例

17、5 过坐标原点且与x 2+y2-4 x+2 y+5 =0 相切的直线的方程为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. y=-3 x 或 y= 1 xB. y=-3 x 或 y=- 1 xC. y=-3 x 或 y=- 1 xD. y=3 x 或 y= 1 x3333考查目的 此题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础学问的应用才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程 解法 1 ：设切线的方程为ykx,kxy0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 x2 225y1,2圆心为2,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资

18、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k15,3k 28k30.k1 ,k3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 2123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1 x,或y 33x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应选 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,解法 2: 由解法 1 知切点坐标为133 1由222 2/22/5 x2y1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 xx2 xyx22y1/0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y/x2 .xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ky

19、 /3, ky /1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31x132x3 1 , , 222 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y3x, y1 x.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应选 A.例 6. 已知两抛物线C1 : yx2x,C 2 : yx2a ,a 取何值时C1 ， C2 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2思路启发 ：先对C1 : yx2x,C 2 : yx2a 求导数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解 答 过 程 ： 函 数 yx22 x的 导 数 为

20、y2 x2， 曲 线C1 在 点 Px , x 22x1 处 的 切 线 方 程 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111y x 22x1 2 x12 xx1 ，即 y2 x11x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx12曲线 C1在点 Q x2,2a 的切线方程是yx2a2x2 xx2 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa2y2x2 x2x2x假设直线 l 是过点 P 点和 Q 点的公切线，就式和式都是l 的方程，故得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x11x2 ,121，消去x2 得方程，22x12x11a0可编辑资料 - -

21、 - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设 = 4421a0 ，即 a1 时，解得 x211 ，此时点 P、Q 重合 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当时 a1 ， C1 和 C2 有且只有一条公切线，由式得公切线方程为2yx1 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点 3导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是争论函数性质的重要而有力的工具，特殊是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值供应了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，争论方程解的情形等问题结合起来，极大的丰富了中学数学思想方法

22、.复习时，应高度重视以下问题 :1. 求函数的解析式 ; 2.求函数的值域 ; 3. 解决单调性问题 ; 4. 求函数的极值最值;5. 构造函数证明不等式 .典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 函数点f x 的定义域为开区间a,b ，导函数f x 在 a,b 内的图象如下图，就函数f x 在开区间 a, b 内有微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1 个B 2 个C 3 个 D 4 个考查目的 此题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础学问的应用才能. 解答过程 由图象可见 ,在区间 a,0 内的图象上有一个微小值点.应选 A.yyf .x可编

23、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8 . 设函数f x2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2时取得极值baOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 a、b 的值。假设对于任意的x0，3 ，都有f xc2 成立，求 c 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路启发 ：利用函数f x2 x33ax23bx8c 在 x1及 x2 时取得极值构造方程组求a、b 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

24、归纳总结解答过程：2f x6 x6ax3b ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于函数f x 在 x1 及 x2 取得极值，就有f 10 ， f20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结66a3b0，即2412a3b0解得 a3 ， b4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由可知，f x2 x39 x212x8c ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2f x6 x18x126 x1 x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0

25、，1 时， f x0 。当 x1，2 时， f x0 。当 x2，3 时， f x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，当 x1 时，f x 取得极大值f 158c ，又f 08c ，f 398c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2就当 x0，3 时，f x 的最大值为f 398c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于对于任意的 x0，3 ，有f xc 恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以98cc2 ，解得c1 或 c9 ，

26、因此 c 的取值范畴为 ， 19， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9. 函数 y2 x4x3 的值域是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路启发 ：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观看或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采纳导数法求解较为简单。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程： 由 2 xx40 得， x2 ，即函数的定义域为 302, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112xy32 x4 ，可编辑资

27、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x42x322x4x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 2x32x42 x8，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x当 x2 时， y0 ，32x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y2 x4x3 在 2, 上是增函数，而 f 21，y2x4x3 的值域是 1, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10已知函数f x324x3xcos3 cos16，其中 xR,为参数，且 02可编辑资料

28、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结1当时cos0 ，判定函数fx 是否有极值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2要使函数f x 的微小值大于零，求参数的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3假设对 2 中所求的取值范畴内的任意参数，函数f x 在区间 2a1, a内都是增函数，求实数a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考查目的 本小题主要考查运用导数争论三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础学问，考查综合分析和解决问题的才能，以及分类争论的数学思想方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程 当 cos0

29、 时，f x4x3 ，就f x 在 , 内是增函数，故无极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x12 x26x cos，令 f x0 ，得 x0, xcos.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122由，只需分下面两种情形争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当cos0 时，随 x 的变化f x 的符号及f x 的变化情形如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x,00cos0,2cos2 cos, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

30、品名师归纳总结f x+0-0+f x极大值微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，函数f x 在 xcos处取得微小值f cos ，且f cos1 cos33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222416.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要使 f cos0 ，必有1 coscos23 0 ，可得0cos3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由于 0cos3 ，故2442.311或6226可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结错误！未找到引用源。当时 cos0 ，随 x 的变化，f x 的符号及f x 的变化情形如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xcos,2cos2cos,0200,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x+0-0+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x极大值微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，函数f x在x0 处取得微小值f 0 ，且f 03 cos .16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 f 00 ，就 cos0 .冲突 .所以当 cos0 时， f x 的微小值不会大于零 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结