高等代数北大版教案-第章二次型.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案第五章二次型1二次型的矩阵表示一 授课内容： 1 二次型的矩阵表示二 教学目的： 通过本节的学习，把握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同 .三 教学重点： 矩阵表示二次型四 教学难点： 二次型在非退化下的线性替换下的变化情形.五 教学过程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义：设 P 是一数域， 一个系数在数域 P 中的x1 , x2 , xn 的二次齐次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结多项式f x1,

2、x2 , xn x2a11 12a12x1 x22a1 n x1 xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2a2222a2 nx2 xnannn3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x232称为数域 P 上的一个 n 元二次型 ，或者，简称为 二次型 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例如： x13 元二次型 .x1 x23x1 x32x 24x2 x33x2就是有理数域上的一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 1设 x1 , x2 ,

3、 xn ， y1, y2 , yn 是两组文字， 系数在数域 P 中的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一组关系式x1c11 y1x2c21 y1c12 y2 c22 y2c1n ync2 n yn4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xncn1 y1cn 2 y2cnn yn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为 x1 , x2 , xn 到y1 , y2 , yn 的一个 线性替换 ，或就，简称为线性替换.可

4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如系数行列式cij0 ，那么线性替换 4 就称为 非退化的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次型的矩阵表示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2令aija ji，

5、ij由于xi x jx j xi, 那么二次型 3 就可以写为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx22f x1, x2 , xn a11 1a12x1 x2a1nx1 xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a21x2 x1a222a2nx2 xn+an1xn x1an2xn x2annn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把5 的系数排成一个 nn 矩阵nni 1 j 1aij xi x j5可编辑资料 - -

6、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a21Aa12 a 22a1n a 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1a n2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它称为 二次型 5 的矩阵 . 由于 aija jiA， i , jA .1,2, n ，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型5 的矩阵都是对称的 .x1x2令 X, 于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，

7、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xnX AXx1x2a11 a21xna12 a 22a1nx1a 2nx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2an1xa11 x1 a 21 x1na n 2a12 x2a 22 x2a nnxna1n xna2n xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a n1 x1a n 2 x2a nn xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nni 1 j 1aij

8、xi x j .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故f x1 , x2 , xn X AX .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案明显，二次型和它的矩阵是相互唯独打算的. 由此仍能得到，如二次型可编辑资料 - - - 欢迎

9、下载精品名师归纳总结f x1 , x2 , xn X AXX BX可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且AA, BB ，就， AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c11c12c1 nc21c22c2 ncn1cn2cnnx1 x2xn线性替换的矩阵表示令 Cy1, Yy2, 那么，线性替换 4 可以写成，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c11 c21ync12 c22c1ny1c2 ny2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或者 XCY .cn

10、1cn 2cnnyn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显，一个非退化的线性替换把二次型仍是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设f x1 , x2 , xn X AX ， AA ，7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是一个二次型，作非退化的线性替换XCY8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得到一个y1 , y2 , yn 的二次型Y BY .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结现在来看矩阵 B 与矩阵 A 的关系把8 代入7 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精

11、品名师归纳总结f x1, x2 , xn X AXCY ACY Y C ACYY CACYY BY .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简洁看出，矩阵C AC也是对称的，事实上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此，即得C AC BC A CC AC .C AC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 2数域 P 上 nnn 矩阵 C ，使n 矩阵A, B 称为合同的 ，假如有数域 P 上可逆的可编辑资料

12、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC AC .合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案(1) 反身性AE AE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 对称性 由BC AC ，即得 AC 1 BC1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

13、- - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 传递性 由 A1C1 AC1 ，A2C 2 A1C 2 ，即得 A2C1C2 AC1C2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因之，经过非退化的线性替换， 替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的 . 2标准形一 授课内容： 2 标准形二 教学目的： 通过定理的证明把握二次型化为标准形的配方法.三 教学重点： 化一般的 二次型为标准形 .四 教学难点： 化一般的二次形为标准形的相应矩阵表示.五 教学过程：I 导入222可以认为，在二次型中最简洁的一种是只含有平方项的二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxxII 讲授新课

14、d11d 22dnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和1 的形式 .不难看出，二次型 1 的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2d1 x12d2 x22d n xn = x1x2d 100d 2xn0x10x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00d nxn反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理 2在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义二次型f x1 , x2 , xn 经过非退化的线性替换所变成的平方和可编辑资料 - -

15、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为 f x1 , x2 , xn 的一个 标准形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 化二次型为标准形 .f x1 , x2 , x3 2x1 x26

16、x2 x32x1 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 作非退化的线性替换x1y1y2x2y1y2 x3y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 f x1 , x2 , x3 2 y1y2 y1y2 6 y1y2 y32 y1y2 y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 y 22y 24 y1 y38 y2 y32 y1y 22 y22 y 28y2 y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

17、结2323z1再令z22z3y1y3y2或2y3y1z1z3 y2z22222y3z3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 f x1, x2, x3 2z12z28z2 z32 z32z12 z22 z3 6z3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最终令w1w2z2 w3z12 z3 或z3z1z2w2z3w12w3w3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就f x1, x2, x3 2w22w26w2可编辑资料

18、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x11x21x30101011001001001100w1012w2001w3113011001w1 w2.w3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用矩阵的方法来解例 化二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 , x2 , x3 2x1 x26x2 x32x1 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为标准形 .011解：f x1, x2 , x3 的矩阵为 A103.130可编辑资料 - - -

19、欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取 C1110110001, 就 A1C1 AC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结110011101000113111031100001202024.240可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

20、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结101再取 C 2010，就A2C 2A1C 20011002020100241012400010120100001024.42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结100再取 C 3012，就 A3C3A2C 300101004012100201000A3 是对角矩阵，因此令2100242001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CC1C2 C3就有110101100100100121100100101100C AC200020.0061311，01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

21、载精品名师归纳总结作非退化的线性替换即得f x1, x2X, x3 CY12 y 222y 236 y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案 3唯独性一 授课内容： 3 唯独性二 教学目的：通过本节的学习，让同学把握复二次型，实二次型的规范形，正 负 惯性指数，符号差 .三 教学

22、重点： 复二次型，实二次型的规范形的区分及唯独性的区分.四 教学难点： 实二次型的唯独性五 教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯独确定的， 与所作的非退化的线性替换无关. 二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩. 至于标准形的系数就不是唯独的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 二次型f x1 , x2 , x3 2x1 x26x2 x32 x1 x3 经过非退化的线性替换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得到标准形而经过非退化的线性替换x11x20x3012w211022w23w11w21w

23、336w2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就得到另一个标准形11x121x212x3001y11y231y33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1y22 y21222 y 2 .33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯独的，而与所作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料wor

24、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步争论唯独性的问题.对于复数域的情形设 f x1 , x2 , xn 是一个复系数的二次型，就经过一个适当的非退化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2的线性替换后，f x1 , x2 , xn 变为标准形，不妨设标准形为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2d1 y1d 2 y2dr yr ， di0 ， i1,2,r1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

25、 欢迎下载精品名师归纳总结2易知， r 就是f x1 , x2 , xn 的矩阵的秩 . 由于复数总可以开平方，我可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结们再作一非退化的线性替换y1yryr 11z1d 11zrd rzr 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z1 就变为ynznzz221223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r(3) 称为复二次型f x1 , x2 , xn 的规范形 . 明显，规范形完全被原二

26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次型的矩阵的秩所打算 .定理 3任意一个复系数的二次型， 经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯独的.定理 3 换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为1100的对角矩阵 . 从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -

27、精品教学教案对于实数域的情形设 f x1 , x2 , xn 是一个实系数的二次型，就经过一个适当的非退化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22的线性替换，再适当排列文字的次序，可使f x1 , x2 , xn 变为标准形，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2d11d ppd p 1p 1drr4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yyy2di0i1,2, r， r 就是f x1 , x2 , xn 的矩阵的秩 . 由于在实数域可编辑资料 - - - 欢迎下

28、载精品名师归纳总结中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换y11z1d1y1zdrr5ryr 1zr 1ynzn22(4) 就变为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22z1zpz p 1zr6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 称为实二次型这两个数所打算 .f x1 , x2 , xn 的规范形 . 明显，规范形完全被r , p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 4 惯性定理 任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯独的.可编辑资料 - - -

29、欢迎下载精品名师归纳总结定义 3在实二次型f x1 , x2 , xn 的规范形中，正平方项的个数p 称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为f x1 , x2 , xn 的 正 惯 性 指 数 ， 负 平 方 项 的 个 数 rp 称 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 , x2 , xn 的 负 惯 性 指 数 ， 它 们 的 差 prp2 pr称 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 , x2 , xn 的符号差 .惯性定理也可以表达为

30、， 实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯独的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯独的，它等于负惯性指数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案 4正定二次型一 授课内容： 4正定二次型二 教学目的： 通过本节的学习，让同学把握正定 负定，半正定，半负定，不定 二次型或矩阵 . 次序 主子式的定义，把握各种类型的判

31、别法 . 三 教学重点： 正定二次型 .四 教学难点： 判别方法五 教学过程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 4实二次型f x1, x2 , xn 称为 正定的 ，假如对于任意一组不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全为零的实数c1 , c2 ,cn 都有f c1 ,c2 , cn 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显，二次型f x , x , x x2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是正定的，由于只有在ccc0 时， c 2c 2 才为零 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n1nxxx222一般的，实二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1, x2 , xn d1 1d22d