高中数学重点中学第课时正弦定理余弦定理教案湘教版必修.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -正弦定理、余弦定理（3）教学目的：1 进一步熟识正、余弦定理内容。2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化。3 能够利用正、余弦定理判定三角形的外形。4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点： 利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点 : 三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求授课类型： 新授课课时支配： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法 ：启示引导式1 启示同学在证明三角形问题或者三角恒等式时，要留意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并留意特别正

2、、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等。2 引导同学总结三角恒等式的证明或者三角形外形的判定，重在发挥正、 余弦定理的边角互换作用教学过程 ： 一、复习引入：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正弦定理：asin A2bsin B22c2Rsin Cb 2c2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结余弦定理：abc2bc cos A,cos A2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2c 2a 22ca cos B,cos Bc2a 2b 22ca可编辑资料 - - - 欢

3、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2a 2b 22ab cos C ，cos Ca 2b 2c22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、讲授新课：1 正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开头熟识，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特别功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使很多问题得以解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 已知 a、b 为 ABC的边， A、B 分别是 a、b 的对角，且sin A

4、sin B2 ，求3AB 的值B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结absin Aasin A3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：, 又 这是角的关系 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin Bsin Bbsin B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a3b2 这是边的关系 于是，由合比定理得abb325 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -

5、 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 2 已知 ABC中，三边 a、b、c 所对的角分别是A、B、C，且 a、b、c 成等差数列求证： sin A sin C 2sin B证明： a、b、c 成等差数列，a c 2b 这是边的关系 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又a sin Acb sin C sin Bb sin Bc,a sin Cbsin Asin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将、代入，得2 正、余弦定理的巧用bsin A sin Bbsin C sin B

6、2b 整理得 sin A sin C 2sin B 这是角的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2某些三角习题的化简和求解，如能巧用正、余弦定理，就可防止很多纷杂的运算，从而使问题较轻松的获得解决，现举例说明如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 3 求 sin20 cos803 sin20 cos80 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 sin 220 sin 210 2sin20 sin10 cos150 20 10 150 180，20、 10、 150可看作一个三角形的三个内角222设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余

7、弦定理得：a b 2abcos150 c （）而由正弦定理知：a2sin20 ， b 2sin10 ， c 2sin150 ，代入 式得：222sin20 sin10 2sin20 sin10 cos150 sin 150 14原式14例 4 在 ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2 倍，求此三角形的三边长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin 22 sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中 sin 22 sin

8、cos利用正弦二倍角绽开后显现了cos ，可连续利用余弦定理建立关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结边长的方程，从而达到求边长的目的解：设三角形的三边长分别为， 1， 2，其中 * ，又设最小角为 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx2sinsin 2x2,cosx2 2 sincos2x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由余弦定理可得 （ 1）（ 2）2（ 1）（ 2） cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2将代入整理得： 3 4 0解之得 1 4， 2 1 舍 所以此三角形三边长为4，5， 6评述：此题所求为边长

9、，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 5 已知三角形的一个角为60，面积为103 c ，周长为20c ，求此三角形的各边长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60角的余弦，其二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4

10、 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可用面积公式 ABC1 absin C表示面积，其三是周长条件应用2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设三角形的三边长分别为a、b、c， B 60，就依题意得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos 60a 2c2b 22 acabc20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1ac sin 602103222bacac可编辑资料 - - -

11、欢迎下载精品名师归纳总结abc20ac40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由式得： b2 20（ a c）2 400 a2 c2 2ac 40（ a c）将代入得400 3ac 40（a c） 0再将代入得a c13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ac13a1由解得ac40c15a28或8c25 b1 7，b2 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，此三角形三边长分别为5c， 7c， 8c评述： 1在方程建立的过程中，应留意由余弦定理可以建立方程，也要留意含有正弦形式的面积公式的应用2 由条件得到的是一个三元二次方程组，要留意要求同学体会其求解

12、的方法和思路，以提高自己的解方程及运算才能三、课堂练习：1 在 ABC中，已知B=30, b=503 , c=150，那么这个三角形是A 等边三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等腰三角形或直角三角形2 在 ABC中，如 b2sin 2C+c2sin 2B=2bccos BcosC，就此三角形为 A 直角三角形 B 等腰三角形 C等边三角形 D 等腰直角三角形3 在 ABC中，已知 sin Asin B sin C=6 5 4，就 sec A=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 ABC中，tan A tan Bsin A，就三角形为sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精

13、品名师归纳总结5 在 ABC中，角 A、B 均为锐角且cos A sin B，就 ABC是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2226 已知 ABC中， abc2abcc2 且a cos Bb cos A ，试判定 ABC的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结227 在 ABC中，（a +b ）sinA- B= a -2bsinA+B ，判定 ABC的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结参考答案 ： 1D 2A3 84等腰三角形5 钝角三角形6 等边三角形7等腰三角形或直角三角形四、小结熟识了正、余弦定

14、理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形外形进行判定五、课后作业：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 在 ABC中，已知sin Asin AB ，求证： a ，b ， c 成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222sin Csin BC 证明：由已知得sin （ BC） sin （B C） sin （ A B） sin （ A B）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

15、- - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -cos2B cos2C cos2 A cos2 B2cos2 B cos2A cos2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21cos2B21cos2A 21cos2B 22 B sin 2A sin 2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2sin222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由正弦定理可得2b a c ,即 a ， b ，c成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 在 ABC中， A 30， cos B 2sin B3 sin C(1) 求证： ABC为等腰三角形。 提示 B C 75(2) 设 D 为 ABC外接圆的直径BE与 AC的交点，且AB 2，求 AD DC的值答案：（1）略（ 2） 13六、板书设计（略）七、课后记：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载