高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结2.docx

《高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结2.docx（47页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品名师归纳总结放缩技巧（高考数学备考资料）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而布满摸索性和挑战性,能全面而综合的考查同学的潜能与后继学习才能,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观看所给数列通项的结构,深化剖析其特点,抓住其规律进行恰当的放缩。其放缩技巧主要有以下几种：一、 裂项放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n例 1.1求k 12的值;2 求证: n15 .224k1k 1 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :1 由

2、于24n212n212n112n112n1,所以24 kn2k 11112n12n2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 由于 12n142n 214n14122 n112 n1,所以1kn2k 112 113512n112n112533可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇巧积存:1 1n244n 244 n21122n112n121C 1 C 22 n1 n n11nn11n n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) Tr 1r1n.Crnnr .n1rr .n11r.r r111rr1r

3、n 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 151 nn1111121321115n n1261n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 2 n12n12 nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 2n1n 91k n1kn12n111kknn111,n1 n n1k11k1 n8n22n111k112n32 n 2n11 2n 12n13 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10nn1 .1n .n11 .111n2 2n12n

4、12 22n12n12n1n122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn11222n2nnnn2 n 1nn 111n2n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2121 2121 2221212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结321111n n1 n1nn1nn1n1n11211nn n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结132n 11n12 2 n1nn131 2n1 n12 n332 n1n112n1n1n2 n12312n2n13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

5、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14k. kk21.k2.1 k1 .1k2 .151nn1nn1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15i21ij 21ji 2j 2ij i 21j 21ii 21j1j 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22例 2.1求证 :11135122n171n2622n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 求证 : 14(3) 求证 : 11116361 31 3 514n2112 4n1 3 5

6、 2n12n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 4(4) 求证： 2 n2 4 6111122 4 6113 n2n2 2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:1 由于1 2n1 22n11 2n1112 2n 112n 1,所以ni 1 2i11211 12 3112n 11 12 312n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1114163614n 21 114221 1 111n 24n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

7、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 先运用分式放缩法证明出1 3 52 4 62n12n12n1,再结合1n2进行裂项 ,最终就可以得到答案n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 第一 1n2 n1n 2n1n,所以简单经过裂项得到2 n11111123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再证12 2n 1n2n12 22 n 12n 12n1n2而由均值不等式知道这是明显成立的,12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

8、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 11123122nn11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3.求证 :n6n1111 2n14915n23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :一方面 : 由于 114211,所以1n212 1111125可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面 : 1nn22114914 n24121n12n12n11233411n nk 1 k11351nn1n12 n12n133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n3 时,nn16nn12n,当

9、 n11 时, n6n1 2n11111 ,49n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2 时, n6n1 2n11111 ,49n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以综上有6n111512n12n149n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4.2022 年全国一卷 设函数f xxx ln x .数列a满意 0a1. af a .设 ba ,1 ,整数a1b .证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

10、名师归纳总结n1n 1n1k a1 ln b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明: ak 1b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :由数学归纳法可以证明an 是递增数列 , 故如存在正整数 mk , 使amb , 就 ak 1akb ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ambmk ,就由 0a1amb1 知 am ln ama1 ln ama1 ln b0 ,ak 1akakln akka1amm 1ln am ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 k mam ln am1k

11、 a1 ln b,于是 ak 1a1k | a1 ln b |a1ba1 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.已知n,mN , x1, Sm1m2 m3mnm ,求证 :nm 1m1 Snn1m 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :第一可以证明 : 1x n1nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm 1nm 1n1m 1n1 m 1 n2 m 11m 10nk m 1k 1k1m1 所以要证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

12、总结nm 1m1Sn n1 m 11 只要证 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n k m 1k 1k1m 1nm1km k 1n1m 11 n1 m 1nm 1nm 1n1m 12m 11 m 1n kk 11 m 1k m 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故只要证n km 1k 1 k1 m 1 nm1km k 1n kk 11 m 1k m 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即等价于km 1 k1 m 1m1k m k1 m 1km ,可

13、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即等价于 1m1k11 m 1 ,1m1kk11 m 1k而正是成立的 ,所以原命题成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n例 6.已知 a4 n2 n ,Tn2na1a2,求证 :T1anT2T34 13.Tn24 n 212 n 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T解析 :n所以414243n4 n 2122n2n 14n123n4n121n2 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Tn4 4n3212

14、 12n 4n 132422n 1324n 12332 n 14n 13 23 2 n 12322 2 2n 23 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32 22 n2 n1 2n1312 2n112n 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T从而 1T2T33111Tn2 133712n1132n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1例 7.已知 x1 ,nnn2k1,kZ ,求证 :1112 n11nN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 :1n1n12k,kZ14 x21x34 x4x512 ,4 x2n x2n

15、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4由于2x2n x2 n 1nn4 2nn12n11 ,所以4 4n2114 4n222n2 n22 n1n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 x2n x2n 12 n所以11nn112 n11 nN*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 x2 x34 x4 x54 x2n x2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、函数放缩例 8.求证：ln 22ln 33ln 44ln 3n 3n5n63n6N* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解析 :先构造函数有ln xx 1ln x

16、 x11 ,从而xln 22ln 33ln 44ln 3n3n3 n1 111 233n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cause111111533993n 13n 15n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结233n2n2n13n66918272 3n 13n6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ln 22ln 33ln 44ln 3 n3n11111111234567895nnn31365n66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9.求证 :12, ln 22ln 33ln n n2

17、n22nn1 n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :构造函数f xln x ,得到xln n nln n2 ,再进行裂项n 2ln n21221nn11nn,求和后可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式 :ln xx1, ln nn12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10.求证 : 11231ln n1111n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :提示 : ln n1ln n1nnn12ln n11nlnnn1ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式 :ln xx

18、, ln x11yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当然此题的证明仍可以运用积分放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图 ,取函数f x1 ,xED可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一 :1 ,从而, 11nFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnxSABCFn i xiln x |n in iln nln niABOn-inx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取 i1有, 1 nln nln n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 有 12ln 2 , 13ln 3ln 2, ,1nln

19、nln n1 ,1n1ln n1ln n, 相 加 后 可 以 得 到 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11123n1ln n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面 Sn1ABDEn i x,从而有 1inin 1n i xln x |nniln nln ni可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取 i1有,1n1ln nln n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有1ln n 1121 ,所以综上有 11n231ln n1111

20、n 12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11.求证 : 11 11 2.3.11 n.e和 11 11 9811132 n e .解析 :构造函数后即可证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12.求证 : 112 1231nn1e2 n 3解析 :ln nn1 123nn 1,叠加之后就可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式 :ln x 132 x0x 11 ln1 x x3 x0 x 1加强命题 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

21、迎下载精品名师归纳总结例 13.证明 : ln 2ln 3ln 4ln nn n 1 nN*, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结345n 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :构造函数f xln x1 x11 x1 ,求导 ,可以得到 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x121x 1xx ,令1f x0 有1x2 ,令f x0 有 x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f xf 20 ,所以 ln x1x2 ,令 xn21 有, ln n2n21可编辑资料 -

22、- - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ln nn 1 ,所以ln 2ln 3ln 4ln nn n1) nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 12345n14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a例 14. 已知11,an 111n2ann1 . 证明 an2ne2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :an 111n n1 ann1211n n 11 a ,2 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后两边取自然对数 ,可

23、以得到ln an 1ln11n n11 ln a2 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后运用ln1x x和裂项可以得到答案 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结放缩思路：a n 1112nn1n an2ln an 1ln11n 2n1n ln an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln an1n2n1 。于是2nln an 1ln an11 ,n 2n2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 1111 n 11111 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln a

24、i 1i 1ln ai 2i ii2i 1ln anln a11 n11222 .n2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ln anln a12ae2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n注：题目所给条件 ln1 xx （ x0 ）为一有用结论,可以起到提示思路与探究放缩方向的作用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当然,此题仍可用结论2nnn1 n2) 来放缩：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 111nnan11n n 1a n 111 111n n an11n 1n 111,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

25、结ln an 11) ln an1ln1n n1 nn1 . ln ai 11i 2ln ai1i 2i i1ln an1ln a2111n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ln a n11ln 3an3e1e 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 16.2022 年福州市质检 已知函数f xx ln x. 如 a0,b0, 证明 :f aab ln 2f abf b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :设函数gxf xf kx , k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

26、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q f xx ln x,gxx ln xkxln kx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0xk .Qg xln x1ln kx1lnx,kx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令g x0, 就有 x12 xk0kxk.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kxkx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数kg x 在k ）上单调递增,在k 上单调递减 . gx 的最小值为g k ,即总有k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,2而 g k 2kf 2f k0,2kkk ln22k ln kl

27、n 2f k2k ln 2,gxg. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xf k k ln 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 f xf kxf kk ln 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 xa, kxb, 就 kab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f af bf abab ln 2.f aab ln 2f abf b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15.2022 年厦门市质检 已知函数f x 是在0, 上到处可导的函数 ,如 xf xf x 在 x0 上恒成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(I) 求证：函数g xf x在 0,x 上是增函数。II 当 x