高一数学专题讲座抽象函数.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -抽象函数专题讲座郑严抽象函数是指没有明确给出详细的函数表达式，只是给出一些特别条件的函数。一.抽象函数定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1已知f x 的定义域，求fg x的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其解法是： 如f x 的定义域为a x b ，就在fg x中， a g x b ，从中解得 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的取值范畴即为fg x的定

2、义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.已知函数f x 的定义域为1，5，求 f 3 x5 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：f x 的定义域为1，5，1 3x5 5 ，4 10x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故函数f 3 x33，5 的定义域为41033可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 、已知fg x的定义域，求f x 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

3、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其解法是：如fg x的定义域为m x n ，就由 m x n 确定的g x的范畴即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 f x 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知函数f x22 x2 的定义域为0，3，求函数f x 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 0 x 3 ，得 1 x22x2 5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 ux22 x2 ，就f x22x

4、2f u， 1 u 5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 f x 的定义域为1，5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二.抽象函数表达式与函数值1. 换元法 .例 3.已知 f1+ x 2=2+ x24+x , 求 fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 :令 t=1+ x 2t1x2 =t -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式即为：f t=2+t-1+t-1 2 =t 2 -t +2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f

5、 x=x2 -x+2x12.待定系数法：假如抽象函数的类型是确定的，可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例 4.已知 fx 是多项式函数，且fx+1+fx-1=2x2-4x, 求 fx.解:由已知得fx 是二次多项式，设fx=ax 2+bx+ca 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2x-1.代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c=

6、 -1,fx=x 23.赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特别值法使问题得以解决。例 5.对任意实数x,y ，均满意fx+y 2 =fx+2fy2 且 f1 0,就 f2001= .解:令 x=y=0, 得： f0=0, 令 x=0,y=1, 得 f0+1 2=f0+2f1 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 10,f 11.令 x21n, yn1, 得f n1f n 200122f 11f n, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 fn1 - fn, 故f2n,f 2001.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、抽

7、象函数的模型构造1、线性函数型抽象函数f （ x） kx （ k 0） -f （ x y） f （x） f （ y）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6、已知函数f x 对任意实数x，y，均有f xyf xf y，且当 x0 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0 ， f 12 ，求f x 在区间 2， 1 上的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设x1x2 ，就x2x10 ，当 x0 时，f x0 ，f x2x1 0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x2 fx2x1 x1f x2x1 f x1 ，可编辑资料

8、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x2 f x1 f x2x1 0 ，即f x1 f x2 ，f x 为增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在条件中，令y x，就f 0f xf x ，再令 xy 0，就f 02 f 0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 00 ，故 f xf x ，f x 为奇函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1f 12 ，又 f 22 f 14 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x的值域为 4， 2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、指数函数型的抽象函数xf （ x

9、） a -f （ x y） f （ x） f （ y）。f （ x y）f xf y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7定义在 R上的函数f x 满意：对任意实数m, n ，总有f mnf mf n ，且当 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时， 0f x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）试求f 0 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）判定f x 的单调性并证明你的结论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

10、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）试举出一个满意条件的函数f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 ：（ 1）在f mn f mf n 中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 m1,n0 得：f 1f 1f 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 f10 ，所以，f 01 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2

11、）要判定f x 的单调性，可任取x1, x2R ，且设 x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在已知条件f mnf mf n中，如取mnx2 , mx1 ，就已知条件可化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

12、- 欢迎下载精品名师归纳总结f x2 f x1 f x2x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 x2x10 ，所以 1f x2x1 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为比较f x2 ,f x1 的大小，只需考虑f x1 的正负即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 f mn f mf n中，令 mx ， nx ，就得f xf x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 时， 0f x

13、1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 x0 时，f x1f x10. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 f 01 ，所以，综上，可知，对于任意x1R ，均有f x1 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x2 f x1 f x1 f x2x1 10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 函数f x 在 R 上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如xf x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、对数函数型的抽象函数f （x） lo gax（ a0 且 a 1） -f （ x y） f （ x） f （ y）。f （x ）f （ x） f （ y）y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例8、已知函数f x满意定义域在 0, 上的函数，对于任意的x, y0, ，都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xyf xf y ，当且仅当x1 时， yf x0 成立，可编辑资

15、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）设x, y0, ，求证f xf yf x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设x1 , x20, ，如f x1 f x2 ，试比较x1 与 x2 的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）解关于 x 的不等式f x 2 a1 xa10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：（1）f xyf xf y ，f yxf xf y ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f y xf yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）f x1 f x2 ，f x1 f

16、x2 0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 f x1 x2f x1 f x2 f x1 0 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当x1 时，f x0 成立，当f x0 时， x1 ， x1x21 ， x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）令 xy1代入f xy f xf y 得f 1f 1f 1 ，f 10 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编

17、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2关于 x 的不等式f x 2a1 xa10 为 f x 2a1xa1f 1 ，由（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可知函数f x 在定义域0, 上是减函数，0x a1xa11，由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22xa1xa11得，当 a1 时，1xa ，此时 xa1xa10 成立。当 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2时， ax1，此时 xa1 xa10 成立。当 a1

18、 ， x1 ，此时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xa1xa10 成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、幂函数型的抽象函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx2-f xyf xf y ，f xf x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf y例 9.已知定义在-,00,+上的函数fx 对任何 x,y 都有 fxy=fxfy,且 fx 0,当 x1 时 ,有 fxfx 2,故 fx 在 R+ 上为减函数 .3 由（ 2）知函数在定义域内是单调递减的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式 f3 xx2 -4

19、1=f1 即为 00 时， f x2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 3 5 ，求不等式f a 22a23 的解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：先证明函数f （x）在 R 上是增函数。再求出f （ 1） 3。最终脱去函数符号. 得 a-1,310.设定义在 R 上

20、的函数 fx, 满意当 x0 时,fx1, 且对任意x,y R,有 fx+y=fxfy,f1=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 解不等式f 3x22x4, ; 2解方程 f x 1f x23f 21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:1 先证 fx0, 且单调递增，由于fx=fx+0=fxf0,x0时 fx1, 所以 f0=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 f xf x2xx2 f 220, 假设存在某个 x oR, 使f x o 0, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx=fx-xo+x o=fx-x ofx o=

21、0, 与已知冲突，故fx0任取 x1,x2 R 且 x10,fx 2-x 11,所以 fx 1-fx 2=fx 2-x 1+x 1-fx 1 =fx 2-x 1fx 1-fx 1 =fx 1fx 2 -x 1-10.所 以 x R 时 ,fx 为 增 函 数 . 解 得 :x|1x0;对任意x, yR ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 f xyf x y ; f 1 1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求f 0的值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2求证 :f x 在 R 上是单调增函数;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3如a bc