高三数学特殊数列求和、数列极限的意义及运算、数列极限的应用、数学归纳法、归纳猜想、证明知识精讲.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高三数学特别数列求和、数列极限的意义及运算、数列极限的应用、数学归纳法、归纳猜想、证明学问精讲一. 特别数列求和：1. 概念：这里所指的“特别数列”是指中学阶段能够求和的数列，包括：等差、等比数列，常数列，自然数列，自然数的平方数列，自然数的立方数列，项部分相消数列等。数列求和，就是通过一些手段将数列转化为上述这些特别数列而达到求和的目的。2. 常用求和公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）等差： Snna12an na1nn21) d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

2、na1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）等比： Sna1 11q n q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1（ 3）inn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 12nn n1 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）i 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1n3n n61 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）ii 123. 常见数列求和的方法大致有五种如：直接由求和公式求和（如等差、 等比数列的求和） ，裂项分组求和，裂项相消求和，错位相减求和，倒序相加求和。（ 1）在

3、求等比数列前n 项和 Sn 时，肯定要留意分清公比q1 仍是 q1。（ 2）裂项法的关键是讨论通项公式，裂项的目的是转化成几个等差或等比数列或自然数的平方组成的数列求和，或者正、负相消。（ 3）错位相减法求和， 主要用于一个等差与一个等比数列相应项相乘所得的数列求和。（ 4）含有组合数的数列求和，留意考虑利用组合数的性质公式求和或利用倒序相加求和。（ 5）三角函数求和考虑裂项相消求和或利用复数转化为等比数列求和。学习时，仍要留意归纳总结一些常见类型的数列求和方法。二. 数列极限的意义及运算1. 数列极限的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于数列 a n ，假如存在一个常数A

4、 ，无论预先指定多么小的正整都能在数列中找可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结到一项 a N 使得这一项后面的全部项a n 与 A 的差的肯定值都小于，（即当 nN 时，恒可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 |a nA|成立），就把常数A 叫做数列 an 的极限，记作：lim。aAnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 数列极限概念的懂得懂得数列极限的概念要留意以下几点：（ 1）A 与 n 无关，A 与无关，A 与 N 无关。A 是否存在以及A 的值确定， 由数列 an 来打算。（ 2）N 与 n 无关， N 与有关，一般来说，的值不同， N 也不

5、同。另一方面N 并不1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结惟一， 由于假如 N 具有该性质， 那么 N1，N2，Nk kN 都具有该性质，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考察数列的极限时并不需要找出N 的最小值。（ 3）定义的核心是“对一切nN ，都有 |anA|”这个不等式成立

6、，也就是有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AanA，这里“0 ”是“任意预先给定”而不是“存在”一个0 。（ 4）有穷数列无极限，数列极限的讨论对像是无穷数列。（ 5）不是全部的无穷数列都有极限。假如一个数列有极限，那么其极限也只有一个。3. 数列极限四就运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n假如 lim anA， lim bnnB ，那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） lim ann（ 2） lim annbn ABbn AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anA（ 3） limB0nbnB可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品名师归纳总结（ 4） lim c an ncA （ c 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5） limnan A（ k 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 几个常用极限及其应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） limn（ 2） limcc（ C 为常数）10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn01q1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） lim qn1q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结无|q|1或q10m

8、pmm 1a0 na1 nama0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4） limpp 1mp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nb0 nb1 napb0无 mp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（ 5） lim anlim ann1 （无穷数列）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三. 数列极限的应用1. 数列的各项和的概念无穷数列各项的和，它的实质是前n 项和 Sn 的极限。2. 无穷递缩等比数列的各项和公式Sa1| q|11q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 无穷递缩等比数列各项和存在的充要条件是|q|用范畴。

9、4. 综合运用1（ q0 ），要留意公式的含义及适可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）化循环小数为分数，基本方法是转化为无穷递缩等比数列的各项和。（ 2）求某些特别数列的各项和。（ 3）与几何图形有关的应用问题。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -基本解题思路是：第一结合图形分析相邻图形的依靠关系，论证所求问题可否组成一

10、个无穷等比数列，且公比肯定值小于1，然后代入运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四. 数学归纳法用数学归纳法证明命题的详细步骤是：（ 1）证明当n 取第一个初始值n0 （例如 n01， n02 等）时，结论正确。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）假设当 nkkN且kn0 时结论正确，证明当nk1 结论也正确。在完可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成这两个步骤后，就可以肯定命题对从nn0 开头的全部的自然数n 都正确。上面的证明第一步是递推基础，其次步是递推的依据，两者缺一不行。五. 归纳、猜想、证明1. 懂得归纳法的意义由一系列有限的特别事

11、例得出一般性结论的推理方法通常叫做归纳法。2. 懂得不完全归纳法与数学归纳法之间的关系本节是不完全归纳法与数学归纳法并举，简洁而快速的运算是抽像的前提，常见的等差、等比数列的有关结论是抽像的桥梁，而运用数学归纳证明才是抽像的归宿。3. 把握归纳推理的思维方法求解某些数学问题而不能直接找到解题途径，可先考查几个连续的初始特例。归纳出规律，猜想结论，这是关键，规律的发觉要凭借体会，有时仍要合理变形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1. （ 2001全国）已知等差数列前三项为a，4， 3a，前 n 项和为 Sn ， Sk（ 1）求 a 及 k 的值。111（ 2）求 lim255

12、0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nS1S2Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：（ 1）设等差数列为 an Sk2550，就 a1a， a24，a33a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由已知有 a3a24解得 a 1a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公差 da 2代入公式 Ska12k k1ka12d 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2kk k1 2整理得 k 2k2255025500可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k50， k故 a2，k51（舍去kN）50可编辑资料 - - - 欢迎

13、下载精品名师归纳总结（ 2）依据（ 1）的结果及等差数列求和公式可求得3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -Snnn11111Snnn1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11111 11 1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1S2Sn223nn1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

14、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim111 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nSnS2Sn例 2. （ 1994 全国理 25）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 an 是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn ，并且对全部自然数n、an 与 2 的等差中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项等于 Sn 与 2 的等比中项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）写出数列 an 的前三项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求数列 an 的通项公式（写出推证过程）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精

15、品名师归纳总结1 a n 1a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）令 bn nN ，求 lim b1b2bnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 a nan 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an2解：（ 1）由题意2 S ， a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn2a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 n1 时，解得 a 122a222 S1 ， S1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 n2 时，有解得 a 262a322 S2 ， S2a1a 2可编辑资料 - - - 欢迎下

16、载精品名师归纳总结令 n3时，有2解得 a 3102 S3， S3a 1a2a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故该数列的前三项为2、6、10（ 2）解法一：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 1）猜想数列 an 有通项公式a n4n2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面用数学归纳法证明数列 a n的通项公式是a n4n2 nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 当 n1时，由于4122 ，又在（ 1）中已求得a12 ，所以上述结论正确。2 假设 nk 时，结论正确，即有a k4 k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

17、师归纳总结由题意有ak222 Sk得 a k4k2 代入上式，得2k2Sk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 Sk2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意有ak 1222 Sk1 ， Sk 1Ska k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 Sk2k 2 代入得 a k 122 22a k 12k 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1整理 a 24ak 1416k 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 a k 10 解得 a k 124 k4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料

18、名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -所以 a k 124k4 k12这就是说 nk1时，上述结论成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据 1 、2上述结论对全部自然数n 成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：由题意有1a n2222Sn nZ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得 Sn由此得 Sn 1a n8n1 a82212122可编辑资料

19、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 a n 1Sn 1Sn an 182) a n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得 an 1a n a n 1an40由题意知 a n 1an0所以 a n 1an4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即数列 an 为等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 a 12 ，公差 d4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 a na1n1 d24n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即通项公式an4n2（ 3）令 cnbn1 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

20、结nc1 an 1an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2n11 2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22n1112n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n1b1b2 c1c22n1bnn cn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 11 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结335112n12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 lim b1b2nbnnlim 1n12n1

21、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：该题的解题思想是从所给条件动身，通过观看、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后再对归纳，猜想的结论进行证明，对于自然数n 的命题，可以考虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳，概括和数学变换的才能。例 1. 某城市 2001 年末汽车保有量为30 万辆， 估计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为爱护城市环境， 要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解： 2001年末汽车保有量为b1 万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2 万辆， b3 万可编辑资料 - - - 欢迎

22、下载精品名师归纳总结辆，每年新增汽车x 万辆，就 b130，b2b10.94x ，对于 n1 ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn 1bn0.94x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

23、纳总结bn 10.94 210.94x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bb0.94 nx10.940.94 n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 11b10.94 n10.94 nx0.06可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx30n0.94可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 300.06x0.060 ，即 x1.8 时， bbb30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 300.06x0.06n 1n10 ，即 x1.8 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim blimx 30x0.94n 1

24、x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn0.060.060.06x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并且数列 bn 逐项增加，可以任意靠近0.06可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，假如要求汽车保有量不超过60 万辆，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn60nx1， 2， 3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就0.0660 ，即 x3.6 （万辆）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上，每年新增汽车不应超过3.6 万辆例 3. （ 2002 天津理 22）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

25、总结已知 an 是由非负整数组成的数列，满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a10，a23， an1 anan 12 an 22， n3， 4， 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求 a3 。（ 2）证明 anan 22，n3， 4，5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）求 a n 的通项公式及其前n 项和 Sn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）由题意得a3 a410 且 a3 、a4 均为非负整数所以 a 3 的可能的值是1， 2， 5， 103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a31

26、，就 a4如 a35 ，就 a 410， a 52， a5与题设冲突。235与题设冲突。23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a310， a 41， a560， a 6与题设冲突。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 a 32（ 2）用数学归纳法证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n3，a3a12 等式成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设当 nk k3 时等式成立，即a ka k 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题设 a k1a k ak 12 a k 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

27、名师归纳总结由于 a ka k 220所以 a k 1ak 12也就是说当nk1时，等式 a k 1ak 12 成立6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由（ 1）（ 2）得对于全部n3 ，有 an 1a n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）由 a2k 1a2k 12 ， a10 及 a2ka2 k 12，a23可

28、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 a2 k 12k1，a2 k2k1，k1， 2， 3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ann1 n ， n 11， 2， 3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 Snn n21 ，当n为偶数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 n n121， 当n为奇数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：此题主要考查数列与等差数列前n 项和等基础学问，以及精确表述，分析和解决问题的才能。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设数列 a n 满意： a1a21，a32，an a

29、n1 an2 an 3100anan 1an 2an 3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1 ，且 an a n1 a n2 1 对一切 n 都成立，试求：S100ai 之值。i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列 a n 的首项 a13 ，且对任意自然数n 都有2n n1) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求 a n 。（ 2）设 bn1a1 a2 a3，求数列 bn a na n的前 n 项和。1a n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 设 an 为无穷等比数列且lim aa23nan ，就首

30、项 a1 的取值范畴是 （）4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. ， 1 21B.0，1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. ， 02D. ，0， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 设等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn，且 Sn 1a n 2 ，如 bn21 n S 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（ 1）求数列 bn 的前 n 项和 Tn 的表达式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn（ 2）如 limnTn的极限存在，试求此极限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 设正数数列

31、 a 的前 n 项的和为S，通项为 a，且知 S1 a1 ，用数学归可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结纳法证明：annnn1nnnn2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知数列 a n 满意 a1b， b2) ，且 an 112annN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）试将 a n 表示为 b 的函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）试求 lim a1a2a3 nan 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - -

32、 - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -参考答案 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 由已知条件有：对任何n1， an a n1 a n2 a n 3ana n 1an 2a n 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1 an2 a n3 an 4a n 1an 2an 3an 42 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1 a

33、n2 an3 a na n 4 a nan 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 a na n 4 a n1a n2 a n310可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而由已知 a n1a n2a n3 1 知 a n 4an n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 an 是以4 为周期的数列，又一个周期内各项之值a1a 2a 3a 48 而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结100254故 S100258200211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. （ 1）由已知得ana n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n n1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1 an 1an 2 a2a1 a1可编辑资料