高中数学必修一必修四知识点总结.docx

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1、精品名师归纳总结学习资料收集于网络,仅供参考数学学问点总结学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 集合的概念高中数学 必修 1 学问点第一章集合与函数概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含义与表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2） 常用数集及其记法N 表示自然数集, N或 N 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集 .（3） 集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一 .（4） 集合的表示法

2、自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.描述法： x | x具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 .图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5） 集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 .【1.1.2 】集合间的基本关系（6） 子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图(1) AAAB2A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结子集（或A 中的任一元素BA3如 AB 且 BC ,就 AC4如 AB 且 BA ,就 AB都属于 BABBA或可编辑资料 - - -

3、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB真子AB ,且 B 中（1） A（A 为非空子集）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结集（或BA）集合相等AB至少有一元素不属于 AA 中的任一元素都属于 B,B 中的任一元素都属于A(2) 如 AB 且BC ,就 ACBA(1) ABAB(2) BA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（7） 已知集合 A 有n n1 个元素,就它有 2 n 个子集,它有 2 n1个真子集,它有 2n1 个非空子集,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

4、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它有 2n2 非空真子集 .【1.1.3 】集合的基本运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（8） 交集、并集、补集名记意义性质示意图称号（ 1） AAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交AB x | xA,且集xB并AB x | xA,或集xB（2） ） A（3） ） ABAABB（1） ） AAA（2） ） AA（3） ） ABAABB1ABABA eU A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补eU A集 x | xU , 且xA痧U AB痧U ABU A.U BU A.U B2 AeU AU可编辑

5、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含肯定值的不等式的解法不等式解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| x |a a0 x |axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| x |a a0x | xa 或 xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| axb |c,| axb |cc0把 axb 看成一个整体,化成 | x |a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）一元二次不等式的解

6、法判别式| x |aa0 型不等式来求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2000b4ac二次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax2bxca0O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元二次方程2x1,2bb22a4acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结axbxc的根0 a0（其中 x1x2x1x22a无实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2axbxc0 a0 x |

7、xx 或xx x | xb 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的解集12R2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2axbxc0a0 x | x1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 函数的概念的解集1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A 、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯独确定的数 f x 和它对应,那么这样的对应（包括集合A , B 以及 A 到 B 的对应可编

8、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法就 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就f : AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（2） 区间的概念及表示法设 a,b 是两个实数,且 ab ,满意 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 a, b 。满意axb 的实数 x的集合叫做开区间,记做 a, b 。满意 axb ,或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 a, b , a,b 。满意 xa, xa, xb, xb 的实数 x 的集合分别记做 a,

9、a, b, b 留意： 对于集合 x | axb 与区间 a, b ,前者 a可以大于或等于 b ,而后者必需ab ,（前者可以不成立,为空集。而后者必需成立）（3） 求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ytan x中, xkkZ 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结零（负）指数幂的底数不能为零可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题, 一般步骤是： 如已知f x 的定义域为 a, b ,其复合函数f g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的定义域应由不等式agxb 解出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问

11、题的实际意义（4） 求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结判别式法：如函数yf x可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品名师归纳总结a y x2b y xc y0 ,就在 a y0 时,由于x, y 为实数,故必需有b2 y4a yc y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2 】函数的表示法（5） 函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解

13、析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6） 映射的概念设 A 、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的映射,记作 f : AB 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 aA,bB 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫做元素 a的象,元素 a 叫做元素 b 的原象1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与

14、最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的性 质定义图象判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如对于属于定义域I内某个区间上的任 意两个自变量的值 x1、x2, 当 x1x2时,都有fx 1fx 2 ,那么就y y=fXfxfx2 （1） 利用定义（2） 利用已知函数的单调性（3） 利用函数图象（在某个区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 图说 fx 在这个区间上o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的单调性是增函数x1x 2 x假如对于属于定义域象上升为增）（4） 利用复合函数（1

15、） 利用定义（2） 利用已知函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1fx2,那么就 说 fx 在这个区间上是减函数yy=fXfx 1fx2 ox1x 2x数的单调性（3） 利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4） 利用复合函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于复合函数yf g x ,令ug x ,如yf u 为增, ug x 为增,就 yf

16、 g x 为增。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 yfu为减,ug x为减,就yf g x为增。如yf u为增,ug x 为减,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf g x 为减。如 yf u 为减,augx 为增,就 yf g x 为减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 打“”函数 f xx a0 的图象与性质yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 分别在 ,a、a, 上为增

17、函数,分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在a,0、 0,a 上为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 最大（小）值定义一般的,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实数 M 满意：（1）对于任意的 xI ,都有 f xM 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）存在 x0I ,使得f x0 M 那么, 我们称 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

18、下载精品名师归纳总结是函数f x 的最大值,记作f max xM 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的,设函数 yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 m满意：（1）对于任意的 xI ,都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xm 。（ 2）存在 x0I ,使得f x0 m 那么,我们称 m 是函数f x 的最小值,记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fmax xm 【1.3.2 】奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方

19、法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的奇偶性假如对于函数 fx 定义域内任意一个 x,都有 fx=fx, 那么函数 fx 叫做奇函 数假如对于函数 fx 定义域内任意一个 x,都有 fx=fx, 那么函数 fx 叫做 偶函 数（ 1 ） 利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2 ） 利用图象（图象关于原点对称）（ 1 ） 利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2 ） 利用图象（图象关于 y 轴对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数f x 为奇函数,且在 x0 处有定义,就f 00 可编辑资料

20、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数的图象（1） 作图利用描点法作图：确定函数的定义域。化解函数解析式。争论函数的性质（奇偶性、单调性） 。画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

21、yf xh 0, 左移h个单位h 0,右移 | h|个单位yf xhyf xk0,上移k 个单位k 0,下移 | k|个单位yf xk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结伸缩变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x01,伸1,缩yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x0 A 1,缩A 1,伸yAf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf xx轴yf xyf xy轴yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

22、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x原点yf xyf x直线y xyf 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x去掉y轴左边图象保留 y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象yf | x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf（2） 识图 x保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去y| f x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、

23、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（3） 用图函数图象形象的显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法其次章基本初等函数 2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（1）根式的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 xna, aR, xR, n1 ,且 nN ,那么 x 叫做 a 的n 次方根当 n 是奇数时, a的 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次方根用符号 n a 表示。当 n 是偶数时,正数 a的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符

24、号 n a 表示。 0 的 n 次方根是 0。负数 a 没有 n次方根式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数当 n 为奇数时, a 为任意实数。当 n为偶数时, a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 根 式 的 性 质 ： n ana 。 当 n 为 奇 数 时 , n ana 。 当 n 为 偶 数 时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n an| a |aaaa0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 分数指数幂的概

25、念m正数的正分数指数幂的意义是：a n于 0n am a0, m,nN, 且 n1 0 的正分数指数幂等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn正数的负分数指数幂的意义是： an 1 1m a0, m, nN, 且 n1 0 的负分数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa指数幂没有意义留意口诀： 底数取倒数,指数取相反数（3） 分数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 arasar sa0, r , sR ar sars a0, r , sR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 abrar br a0, b0, rR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【2.1.2 】指数函数及其性质（4） 指数函数函数名称指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义函数ya x a0 且a1 叫做指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a10a1yya xya xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象y10,1y10,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OxOx定义域R值域0,过定点图象过定点 0,1 ,即当 x0 时, y1奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数

27、在 R 上是减函数ax1 x0a x1x0函数值的变化情形axax11 x x00a xa x11xx00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 变化对图象的影响（1） 对数的定义在第一象限内, a 越大图象越高。 在其次象限内, a 越大图象越低2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 axN a0, 且a1 ,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 xlog aN ,其中 a 叫做底数, N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

28、品名师归纳总结叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：（2） 几个重要的对数恒等式xlogNaxN a0, a1, N0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结alog a 10 , log a a1 , log abb 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a（3） 常用对数与自然对数常用对数： lg N ,即log 10 N 。自然对数： ln N ,即 log e N （其中 e2.71828 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

29、欢迎下载精品名师归纳总结（4） 对数的运算性质假如 a0, a1,M0, N0 ,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法： logMlogNlog MN 减法： logMlogNlogM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaaaaaN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数乘：n log a Mlog aM n nR alog a NN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 lognn log0,换底

30、公式：log b N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab Ma MbnRblog a Nblogb a0, 且b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 对数函数函数名称【2.2.2 】对数函数及其性质对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义函数 ylog axa0 且a1 叫做对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1yx1yloga x0a1yx1 yloga x可编辑资料 -

31、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象O1,0x1,0Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域0,值域R过定点图象过定点 1,0 ,即当 x1时, y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性非奇非偶单调性在0, 上是增函数在0, 上是减函数log a x0x1log ax0x1log a x0x1log ax0x1log a x00x1log ax00x1函数值的变化情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 变化对图象 的影响6 反函数的概念在第一象限

32、内, a 越大图象越靠低。在第四象限内, a 越大图象越靠高可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设函数yf x 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子yf x中解出 x ,得式子 x y 假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于 y 在C 中的任何一个值,通过式子 x y , x 在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结子 x y 表示 x 是 y 的函数,函数 x y 叫做函数yf x 的反函数,记作1xf y,习惯可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上改写成 yf1 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 7）反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域。从原函数式yf x 中反解出 xf1 y 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结