高中数学不等式知识点总结5.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、不等式的基本性质（对称性）abba弹性学制数学讲义不等式（ 4 课时）学问梳理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（传递性）ab, bcac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（可加性）abacbcab, cdacbdab, cdacbd（同向可加性）（异向可减性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（可积性）ab , c0acbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

2、归纳总结ab , c0acbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（同向正数可乘性）ab0, cd0acbd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（异向正数可除性）ab0,0cdabcd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（平方法就）ab0a nbn nN , 且n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（开方法就）ab0n an b nN, 且n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

3、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab0（倒数法就）11 ; ab011abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、几个重要不等式a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b22aba， bR,（当且仅当ab.ab 时取 号）.变形公式：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（基本不等式）ababa， bR 2,（当且仅当ab 时取到等号）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变形公式：abab2a b2ab.2可编辑资料 - - -

4、欢迎下载精品名师归纳总结用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要留意满意三个条件“一正、二定、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -三相等” .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（三个正数的算术几何平均不等式）abc 33 abca、b、cR （当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abc 时取到等号）

5、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ab2c2abbccaa，bR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（当且仅当abc时取到等号） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3a b3c33abca0,b0,c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（当且仅当abc时取到等号） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如ab0, 就 baab2（当仅当 a=b 时取等号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如ab0,就 baab2（当仅当a=b 时取等号）可编辑资料 - - -

6、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b bm aam1 anbnab ，（其中 ab0， m0， n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规律：小于1 同加就变大，大于1 同加就变小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当a0时，xax2a2xa或xa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22xaxaaxa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结肯定值三角不等式ababab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、几个闻名不等式2平均不等式：a 1

7、b 1aba2b2ab22，（a, bR，当且仅当ab 时取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 号） .（即调和平均几何平均算术平均平方平均） .变形公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ababa2b2;a2b2 ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222

8、幂平均不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2a 2.a 21 aa.a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n12nn二维形式的三角不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2x 2y 2 xx 2 yy 2 x , y , x, yR.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11221212二维形式的柯西不等式：1122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b2 c2d2 acbd 2 a, b, c, dR.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

9、结当且仅当 adbc 时，等号成立.三维形式的柯西不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2a 2a 2 b 2b 2b 2 a ba ba b 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1231231 12 23 3一般形式的柯西不等式：a 2a 2.a 2 b 2b 2.b 2 a ba b.a b 2 .12n12n1 12 2n n向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，就, 当且仅当是零向量，或存在实数k ，使k时，等号成立.排序不等式（排序原理）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a1a2.an , b1b2.bn 为两组实数 . c

10、1 ,c2 ,., cn 是 b1 ,b2 ,., bn 的任一排列，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1bna2bn 1.anb1a1c1a2 c2.ancna1b1a2b2.an bn .（反序和乱序和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次序和），当且仅当a1a2.an 或 b1b2.bn 时，反序和等于次序和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结琴生不等式:（特例 :凸函数、凹函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如定义在某区间上的函数

11、f x ,对于定义域中任意两点x1 , x2 x1x2 , 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1x2 2f x1 f x2 或2f x1x2 2f x1 f x2 .2 就称 fx 为凸（或凹）函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法。其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第

12、 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - a1 23a1 2;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结舍去或加上一些项，如242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将分子或分母放大（缩小），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11,11,2212,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k如2k k1k 2k k12kkkkkk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12kN * , k1kkk1等.5、

13、一元二次不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求一元二次不等式ax2bxc0或0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0,b24ac0 解集的步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一化：化二次项前的系数为正数.二判：判定对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：依据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式

14、不等式的解法：先移项通分标准化，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0g xf xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0f xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xg x0（“或”时同理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xaa0f x02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xaf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa a0f xa2可

15、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg xf x0g x0或f x g x 2f x0g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf xg xg xg x0f x g x

16、2f x0gx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 af x a1 时,ag xf xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0a1时,a f x ag x f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规律：依据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解

17、法f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log af xlog ag xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a1 时,f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log af xlog ag xf x0g x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0a1时,f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规律：依据对数函数的性质转化.11、含肯定值不等式的解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a定义法：aa0.a a0可编辑资料 - - - 欢迎

18、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22平方法：f xg xf xg x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同解变形法，其同解定理有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xaaxaa0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xaxa或xa a0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

19、 - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xg xg xf xgx g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xg xf x g x 或f xg x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规律：关键是去掉肯定值的符号.12、含有两个（或两个以上）肯定值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段争论去肯定值、每段中取交集，最终取各段的并集.13、含参数的不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品名师归纳总结解形如ax2bxc0 且含参数的不等式时，要对参数进行分类争论，分类争论的标准有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结争论 a 与 0 的大小。争论与 0 的大小。争论两根的大小.14、恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式ax 2bxc0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a0 时b0, c0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0当 a0 时0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式ax 2bxc0 的解

21、集是全体实数（或恒成立）的条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a0 时b0, c0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0当 a0 时0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xa 恒成立f xmaxa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa 恒成立f x maxa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xa 恒成立f x mina;可编辑资料 - - - 欢迎下载

22、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa 恒成立f xmina.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15、线性规划问题常见的目标函数的类型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“截距”型：zAxBy;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

23、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z“斜率”型：y zyb ;x 或xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“距离”型：z x22zx2y或y2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zxa2 yb2z xa 2 yb 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简洁化 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载