高中数学数列知识点整理.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、数列中an 与 Sn数列之间的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1anSnSn, n1, n12.留意通项能否合并。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、等差数列：定义： 假如一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即 a n an 1=d ，（n 2， nN），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么这个数列就叫做等差数列

2、。等差中项：如三数a、 A、 b 成等差数列Aab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项公式：ana1 n1damnmd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或 anpnq p 、q是常数） .前 n 项和公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1Snan n1dn a1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22常用性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 mnpqm, n,p, qN，就 ama na pa q 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

3、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下标为等差数列的项ak ,akm , ak2m ,，仍组成等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列anb （,b 为常数）仍为等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 an 、 bn 是等差数列，就 kan 、 kanpbn k 、 p 是非零常数 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结* ap nq p, qN、，也成等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调性：an的公差为 d ，就：

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结） d0） d0） d0an为递增数列。an为递减数列。an为常数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 a n 为等差数列anpnq （ p,q 是常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如等差数列an的前n 项和Sn ，就Sk 、 S2 kSk、 S3kS2k是等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、等比数列定义： 假如一个数列从第2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精

5、品名师归纳总结等比中项：如三数a、G、b 成等比数列G2ab, （ ab 同号）。反之不肯定成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项公式：aa q n 1a q n m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1m可编辑

6、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结前 n 项和公式：Sn常用性质a1 1qn1qa1anq1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 mnp qm, n,p, qN，就 amana paq 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ak , akm , ak2m ,为等比数列，公比为q k 下标成等差数列,就对应的项成等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列an（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列

7、。正项等比数列an。就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lg an是公差为 lg q 的等差 数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如an是等比数列，就12can，an，an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r2 1r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anrZ 是等比数列，公比依次是q，q ， ， q . q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调性：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a10, q1或a10,0q1an为递增数列。 a10,0q 1或a10, q1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

8、总结为递减数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q1an为常数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q0an为摇摆数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如等比数列an的前n 项和Sn ，就Sk 、 S2 kSk、 S3kS2k是等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、非等差、等比数列通项公式的求法类型观看法： 已知数列前如干项， 求该数列的通项时， 一般对所给的项观看分析，查找规律，从而依据

9、规律写出此数列的一个通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型公式法： 如已知数列的前n 项和Sn 与 an的关系，求数列an的通项an 可用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式anS1SnSn, n1 ,n1构造两式作差求解。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用此公式时要留意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式。另一种是“合二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为一”，即a1 和 an 合为一个表达， （要先分 n1 和 n2 两种情形分别进行运算，然后验证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能否统一）。类型累加

10、法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 an 1anf n型的递推数列 （其中f n 是关于 n 的函数）可 构造：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1f n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

11、总结an 1an.a2a12f n2f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将上述 n1 个式子两边分别相加，可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anf n1f n2. f 2f 1a1 , n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 fn是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 f n 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 fn是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;可编

12、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 fn是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型累乘法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a形如 aafnan 1f n型的递推数列（其中f n是关于 n 的函数） 可构造：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nanan 11nnf n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1an 2.f n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2f 1a1将上述 n1 个式子两边分别相乘，可得：可编辑资料 -

13、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结anf n1) f n2 .f 2 f1a1 , n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有时如不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类型构造数列法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如an 1panq （其中p, q 均为常数且p0 ） 型的递推式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如 p1 时，数列 an 为等差数列 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如 q0 时，数列 an

14、为等比数列 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如 p1 且 q0 时，数列 an 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列来求 . 方法有如下两种：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法一： 设 an 1pan , 绽开移项整理得an 1pan p1, 与题设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - -

15、- - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结apaq 比较系数（待定系数法） 得q, p0aqpaq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1np1p1p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1nnnaqpa1q , 即anq构成以 aq为首项， 以 p 为公比的等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1p1p1p1p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精

16、品名师归纳总结比数列 . 再利用等比数列的通项公式求出aq的通项整理可得np1an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二： 由 apaq 得 apaqn2) 两式相减并整理得an 1anp, 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnn 1anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1an构成以 a2a1 为首项，以p 为公比的等比数列. 求出an 1an的通项再转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型（累加法）便可求出an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

17、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如an 1panf n p1 型的递推式 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 f n 为一次函数类型（即等差数列）时：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法一： 设 anAnBp an 1An1B ，通过待定系数法确定A 、B 的值，转化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成以 a1AB 为首项，以p 为公比的等比数列anAnB，再利用等比数列的通项公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式求出a

18、nAnB的通项整理可得an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二：当f n的公差为 d 时，由递推式得：an 1panf n ， anpan 1f n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相减得：an 1anpanan 1 d ，令 bnan 1an 得： bnpbn 1d 转化为 类型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求出bn ， 再用 类型（累加法）便可求出an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

19、名师归纳总结当 f n 为指数函数类型（即等比数列）时：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法一： 设 anf np an 1f n1) ，通过待定系数法确定的值，转化成以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1f 1为首项，以p 为公比的等比数列anf n，再利用等比数列的通项公式求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结出anf n的通项整理可得an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二： 当f n

20、 的公比为 q 时，由递推式得：an 1panf n，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anpan 1f n1 ， 两边同时乘以q 得 an qpqan 1qf n1 ，由两式相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结减得 aa qpaqa ，即 an 1qanp ，在转化为 类型 便可求出 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnn 1nanqan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资

21、料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -细心整理学习必备法三：递推公式为n（其中 p，q 均为常数） 或n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1panqan 1panrq （其中 p，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1a n 1pan1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q,r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以q，得：q n 1qq n，引入

22、q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结帮助数列b（其中 ban），得： bp b1 再应用 类型 的方法解决。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnqn 1nqq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 f n 为任意数列时，可用通法 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1an 1anf nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 an 1panf n两边同时除以p可得到n 1nn 1 ，令nbn ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pppp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bbf n，在转化为

23、 类型（累加法） ，求出b 之后得 ap nb .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nn 1pnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型对数变换法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 apa q p0, a0) 型的递推式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在原递推式a pa q 两边取对数得lg aq lg alg p ，令 blg a 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 1nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b qblg p

24、 ，化归为 apaq 型，求出b 之后得 a10bn .（留意：底数不肯定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nn 1nnn要取 10，可依据题意挑选） 。类型倒数变换法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 an 1anpan1an （ p 为常数且p0 ） 的递推式： 两边同除于an 1an ，转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11anan 1p 形式，化归为an 1panq 型求出1an的表达式，再求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结仍有形如an 1man的递推式， 也可采纳取倒数方法转化成1 m 1m 形式，

25、化归为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结panqan 1q anp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1panq 型求出1an的表达式，再求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型形如 an 2pan 1qan型的递推式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用待定系数法，化为特别数列 anan1 的形式求解。方法为：设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 2kan 1han 1kan ，比较系数得hkp ,hkq ，可解得 h 、k，于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 1kan 是公比为 h

26、 的等比数列，这样就化归为an 1panq 型。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -细心整理学习必备总之，求数列通项公式可依据数列特点采纳以上不同方法求解，对不能转化为以上方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、非等差、等

27、比数列前n 项和公式的求法错位相减法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如数列an为等差数列， 数列bn为等比数列， 就数列anbn的求和就要采纳此法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anbn的前 n 项和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法 .裂项相消法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

28、名师归纳总结一般的，当数列的通项anc anb1 anb 2 a,b1,b2, c为常数）时，往往可将an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变成两项的差，采纳裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 ancb2b1anb1，从而可得anb2，通分整理后与原式相比较，依据对应项系数相等得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cc11=.anb1 anb 2 b2b1 anb1anb 2常见的拆项公式有：111。nn1nn111 11;2n12n122n12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11ab;可编辑

29、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 C m 1C mC m;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n n .n1.n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -细心整理学习必备分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不

30、是等比数列，如将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倒序相加法假如一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，就可用把正着写与倒可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1ana2an1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记住常见数列的前n 项和：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 123.nnn21 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 135.2n1n2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 123.nnn612 n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载