高中数学基本不等式的解法十例.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学基本不等式问题求解十例一、 基本不等式的基础形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 a2b22ab ，其中a, bR ，当且仅当ab 时等号成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ab2ab ，其中a,b0,，当且仅当ab 时等号成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b23常考不等式：2abab2，其中a,b0,，当且仅当 ab 时等号成立。可编辑资

2、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2211ab二、常见问题及其处理方法问题 1：基本不等式与最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题思路：（ 1）积定和最小：如ab 是定值，那么当且仅当ab 时，ab min2ab 。其中a ,b0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）和定积最大：如ab 是定值，那么当且仅当ab 时，ababmax22，其中a,bR 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 1： 如实数a, b 满意 2 a2b1 ，就 ab 的最大值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：很明显，和为定，依据和定积最大

3、法就可得：2a2b2a2 b12242a b2 2ab2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 ab1 时取等号。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式：函数yax1a0, a1的图象恒过定点A，如点在直线mxny1 上，就 mn的最大值为 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由题意可得函数图像恒过定点A 1,1，将点A 1,1代入直线方程mxny1 中可得 mn1 ，明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结显，和为定，依据和定积最大法就可得：2mnmn1 ，当且仅当mn1时取等号。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

4、总结242x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 2： 已知函数fx22x 2，就 fx 取最小值时对应的x 的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 析 ： 很 明 显 ， 积 为 定 ， 根 据 积 定 和 最 小 法 就 可 得 ： 2x12x 22 2x12x 21 ， 当 且 仅 当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x12x2x1 时取等号。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式： 已知 x2 ，就x1的最小值为。x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 析 ： 由 题 意 可 得 x20 , x21x

5、21， 明 显 ， 积 为 定 ， 根 据 和 定 积 最 大 法 就 可 得 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x212x2x21x22 ，当且仅当x21x2x21x1 时取等号，此时可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 x10 。 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

6、师归纳总结2例题 3： 如对任意x0 ，xx 3x 1a 恒成立，就a 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 分式形式的不等式，可以考虑采纳常数分别的方法。xaax23x1xx23x1 max可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法1： 将xx23x化简可得1x2x3x12x15x 3x11xx13 x110 ，观看分母，很明显可以得到积为定值，1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据积定和最小的法就可得：x2 ，当且仅当xxxxx1 时取等号。 故而可得分式的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品名师归纳总结分母 x1350xx1x13 xxx213x1max1 ，因此可得：5a1 。51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2：将x23 x化简可得1x2xx13 x0 ，令fxxx0 ，这是一个对x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结勾函数，故而可得fxx1 xf12 。故而分母x13fxx35 ，代入分式函数取倒数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得 011x135xxx213 xmax1 因此可得：a1 。55可编辑资料 - - -

8、欢迎下载精品名师归纳总结问题 2：“ 1”的代换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题思路：依据mfxfxmm0 ，对所求内容进行乘除化简即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14例题 4：如两个正实数x、y 满意xy1 ，且不等式xy m243m 有解，就实数 m 的取值范畴是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1414xy14y4xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由题意可得xy1 ，左边乘以xy1可得：x，化简可得：41可编辑

9、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x y1411y4x ，很明显y 4x中积为定值，依据积定和最小的法就可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4xy4xy4xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下

10、载精品名师归纳总结y4xy4xy4xx2y14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4xy22 ，当且仅当 4xy14xy时取等号。 故而可得x4 。y84xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式 xy22m3m 有解，亦即m43mxy4min4 ，亦即m23m40 ，解得 m4 或者可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m1 ，故而可得m,14,。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式： 如 x0 ，y0 ，且122 ，就 4x2xyxy3 y 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

11、名师归纳总结解析： 由2 xy2 xy4x3 y ，化简题干条件可得12xy42x2 y2 乘以所求内容可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结144x3 y142xy2x2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4x3y2xy2 x2 y2xy2 x2 y，化简后可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222 x2 y4 2 xy2xy2 x2 y41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 x3 y，很明显2x2y4 2xy中二者积为定值，依据积定和最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22xy2x2 y可编辑资料 - - - 欢

12、迎下载精品名师归纳总结2x2 y42xy2x2 y4 2 xy2x2 y4 2xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小法就可得24 ，当且仅当2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 xyx02 x2 y2 xy2 x2 y92xy2x2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结亦即y3 时取等号。此时可得24 x3ymin2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题 3：方程中的基本不等式解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 5：（ 2021湖南高考）如

13、实数a， b12满意 1222abababab，就 ab 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由题意可知可以利用基本不等式，依据基本不等式可得：ab122ab，当且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结仅当 12b ab2a 时取等号，化简后可得：1a2 4ab22 ，此时5b2 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式： 如 lg3x lgy lg x y 1，就 xy 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 将题

14、干条件化简可得：lg 3xylgxy1 3xyxy1 ，由题意需要求解xy ，故而可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结知利用不等式xy2 xy ，将条件化简可得：3xy1xy2xy 当且仅当xy 时等号成立，化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简上式可得3xy12xy03xy1xy

15、10xy1xy1 ，此时 xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题 4：含参基本不等式问题解题思路：利用含参不等式的解法求解即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2例题 6： 已知2a2421对于任意的x1,恒成立，就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxxA a 的最小值为3B a的最小值为4C a 的最大值为2D a 的最大值为4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由题意可知参数为a，将自变量移项可得：a 22a24 xx4x ，观看等式右侧，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xxx1可编辑资料 -

16、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可知等式右侧经配凑可得积为定值，依据积定和最小可得：4x124x1x1x14 ，当且仅可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当4x1x1x3 时取等号， 此时可得4x2x1min5 。由 a 22a24x 对于任意的 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1,恒成立可得： a2a24xx1min5 ，化简可得a3a10 ，解得3a1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21变式 6： 已知 a0， b0，如不等式m28m恒成立，就m 的取值范畴是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab2ab可编辑资料 - -

17、 - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由题意可知参数为m，将双自变量a 、 b 移项可得：m28m212ab ab恒成立，故而可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 m28m212ab，将不等式右侧化简可得212ab52b2 a ，很明显可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abminabab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积为定值，依据积定和最小法就可得：2b2a22b2a4 ，当且仅当2b2aab1 时取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ababab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等号。故而2 12ab abmin9 ，

18、代入不等式中可得m28m9 化简为m9m10 解不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式可得1m9 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题 5：不等式与其他问题结合（向量与不等式） 例题 7：已知的最小值为 OAaOBbOCa0, b0 ，且 A, B , C 三点在同一条直线上，就 11ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由三点共线可得ab1，观看形式采纳“1的”代换，故而11ab1 1abab12 ba ，ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

19、精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法就可得：ba2ba2 ，当且仅当baab1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时取等号。故而可得112ba3 。ababab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（不等式与解析

20、几何）例题 8：如直线11axby20（ a0 ， b0 ）被圆 x2y 22x4 y10 截可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得的弦长为4，就的最小值为。ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 将圆化为标准方程可得22x1y24 ，依据弦长为4 可得直线经过圆心。将圆心1,2代可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结入直线方程可得3a2b2ba2 。观看求解形式可得采纳“1的”代换方法， 即 11ab1 1aab22b，化简可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得 112baab很明显积为定， 依据积定和最小法就可得：2 2ba2 2 ，

21、当且仅可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab当 2ba2a222时取等号，故而可得113 2baababab322。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abb22ab22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（基本不等式与线性规划）例题 9：设x, y 满意条件3xy xy6020 ，如目标函数zaxby（ a0, b0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的最大值为12，就32的最小值为。abx0, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 析 ： 作 出 可 行 域 如 图 所

22、示 ： 故 而 可 得zax+by在 点 H4,6取 最 大 值 ， 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 a6b122 a3b6 ，由题意可得采纳“ 1的”代换求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322a3b129b4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 32ababab66，观看分子可得分子积为定值，依据积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9b4a9b4a9b4aa3可编辑资料 - -

23、 - 欢迎下载精品名师归纳总结定和最小法就可得：212 ，当且仅当abababb2 时取1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结129b4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等号，故而可得32abab4 。6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（不等式与解三角形）例题7：中，角，的对边分别为， ， ，且.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - -

24、 - - - - - - - -（ 1）求角的大小。（ 2）如，求的最大值 .（3）求ABC 周长的最值。.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：（ 1）由题意与余弦定理可得a 2b 2c22bc cos Ab 2c2bc ，解得cos A1，故而 A23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由余弦定理可得a 2b2c2bc3 ，故而 bc3b 2c2 ，由基本不等式a 2b22ab 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bc3b 2c22bcbc3

25、， 当 且 仅 当 bc3 时 取 “ =”号 。 故 而 可 得 三 角 形 的 面 积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S ABCbc sin A333 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）由余弦定理可得a2b2c2bc3 ，故而bcb 2c23 ，由基本不等式2abab 可2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得： b2c22bc233bcbc33bc23bc2bc3bc23 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 bc3 时取 “=号”。故而可得三角形的周长C ABCabc33 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载