高中数学指数与指数幂的运算第课时示范教案新人教版必修2.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 3 课时指数与指数幂的运算 3导入新课思路 1.同学们 , 既然我们把指数从正整数推广到整数, 又从整数推广到正分数到负分数, 这样指数就推广到有理数 , 那么它是否也和数的推广一样, 究竟有没有无理数指数幂了.回忆数的扩充过程, 自然数到整数, 整数到分数 有理数 , 有理数到实数 . 并且知道 , 在有理数到实数的扩充过程中 , 增加的数是实数. 对无理数指数幂, 也是这样扩充而来. 既然如此 , 我们这节课的主要内容是 : 老师板书本堂课的课题 指数与指数幂的运算3 之无理数指数幂.思路 2.同

2、学们 , 在中学我们学习了函数的学问, 对函数有了一个初步的明白, 到了高中 , 我们又对函数的概念进行了进一步的学习, 有了更深的懂得, 我们仅仅学了几种简洁的函数, 如一次函数、二次函数、 正比例函数、反比例函数、三角函数等, 这些远远不能满意我们的需要, 随着科学的进展 , 社会的进步 , 我们仍要学习很多函数, 其中就有指数函数, 为了学习指数函数的 学问 , 我们必需学习实数指数幂的运算性质, 为此 , 我们必需把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂 , 因此我们本节课学习: 指数与指数幂的运算3 之无理数指数幂, 老师板书本堂课的课题 .推动新课新知探究提出问题我们知道2 =1.4

3、14 213 56, 那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21, 是2 的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22, 是2 的什么近似值？多媒体显示以下图表: 同学们从上面的两个表中, 能发觉什么样的规律.2 的过剩近似值52 的近似值51.511.180339891.429.829353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.7381775

4、252 的近似值2 的不足近似值9.518 269 6941.49.672 669 9731.41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -9.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 29.738 461 9071.414 2139.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213

5、59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562你能给上述思想起个名字吗.一个正数的无理数次幂究竟是一个什么性质的数了.如 52 , 依据你学过的学问, 能作出判定并合理的说明吗.借助上面的结论你能说出一般性的结论吗.活动：老师引导 , 同学回忆 , 老师提问 , 同学回答 , 积极沟通 , 准时评判同学, 同学有困惑时加以说明 , 可用多媒体显示帮助内容:问题从近似值的分类来考虑, 一方面从大于2 的方向 , 另一方面从小于2 的方向 .问题对图表的观看一方面从上往下看, 再一方面从左向右看, 留意其关联 .问题上述方法实际上是无限接近

6、, 最终是靠近 .问题对问题赐予大胆推测, 从数轴的观点加以说明.问题在的基础上, 推广到一般的情形, 即由特殊到一般.争论结果： 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,这些数都小于2 , 称2 的不足近似值, 而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22, 这些数都大于2 , 称2 的过剩近似值 .第一个表 : 从大于2 的方向靠近2 时,52 就从 51.5 ,5 1.42 ,5 1.415 ,5 1.4143 ,5 1.41422 , 即大于 52的方向靠近52 .其次个表 : 从小于2 的方向靠近2 时,52 就 从 51.4 ,5 1.4 1,5 1.4

7、 14,5 1.4 14 2,5 1.4 14 21, 即小于 52 的方向靠近52 .从另一角度来看这个问题, 在数轴上近似的表示这些点, 数轴上的数字说明一方面52 从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.45,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21, 即小于52 的方向接近52 , 而另一方面52 从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结51.5 ,5 1.42 ,5 1.415 ,5 1.4143 ,5 1.41422 , 即大于52 的方向接近52 , 可以说从两个方向无限的接近52 , 即靠近 52 , 所以 52 是一串有理数指数幂

8、51.4 ,5 1.4 1,5 1.4 14,5 1.4 14 2,5 1.4 14 21, 和另1.51.421.4151.41431.41422一串有理数指数幂5,5,5,5,5, 按上述变化规律变化的结果, 事实上表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -这些数的点从两个方向向表示52 的点靠近 , 但这个点肯定在数轴上, 由此我们可得到

9、的结 论是52一定是一个实数,即51.4 51.4 151.4 1451.4 14251.4 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2152 5 1.414221.414351.41551.4251.50, 是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数, 并且它的结果是一个实数, 这样指数概念又一次得到推广, 在数的扩充过程中, 我们知道有理数和无理数统称为实数. 我们规定了无理数指数幂的意义, 知道它是一个确定的实数, 结合前面的有理数指数幂, 那么 , 指数幂就从有理数指数幂扩充到实 数指数幂 .提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时, 必需规定底数是正数.

10、（2）无理数指数幂的运算法就是怎样的.是否与有理数指数幂的运算法就相通了.（3）你能给出实数指数幂的运算法就吗.活动： 老师组织同学互助合作, 沟通探讨 , 引导他们用反例说明问题, 留意类比 , 归纳 .对问题（ 1）回忆我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定, 举例说明 .对问题（ 2）结合有理数指数幂的运算法就, 既然无理数指数幂a （a0, 是无理数）是一个确定的实数, 那么无理数指数幂的运算法就应当与有理数指数幂的运算法就类似, 并且相通.对问题（ 3）有了有理数指数幂的运算法就和无理数指数幂的运算法就, 实数的运算法就自然就得到了 .争论结果：（ 1）底数大于零的必要性, 如 a=

11、-1, 那么 a是+1 仍是 -1 就无法确定了, 这样就造成纷乱 , 规定了底数是正数后, 无理数指数幂a是一个确定的实数, 就不会再造成纷乱.（2）由于无理数指数幂是一个确定的实数, 所以能进行指数的运算, 也能进行幂的运算, 有理数指数幂的运算性质, 同样也适用于无理数指数幂. 类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法就:rsr+saa=aa0,r,s都是无理数 .r srsa =a a0,r,s都是无理数 .rrra b=a b a0,b0,r是无理数 .（3）指数幂扩充到实数后, 指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面

12、的运算性质:rsr+saa=aa0,r,s R.r srsa =a a0,r,s R.rrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b应用示例=a b a0,b0,r R.思路 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 1 利用函数运算器运算. （精确到 0.001 ）32.1-3（

13、1） 0.3; （ 2） 3.14; （ 3） 3.1 4 ; （ 4） 3 3 .活动： 老师教会同学利用函数运算器运算, 熟识运算器的各键的功能, 正确输入各类数, 算出数值 , 对于（ 1） , 可先按底数0.3, 再按键, 再按幂指数2.1, 最终按, 即可求得它的值。对于（ 2） , 先按底数3.14, 再按键, 再按负号键, 再按 3, 最终按即可 ;对于 3,先按底数3.1, 再按键, 再按 34, 最终按即可 ;对于（ 4）, 这种无理指数幂, 可先按底数3, 其次按键, 再按键, 再按 3, 最终按键. 有时也可按或键 , 使用键上面的功能去运算.同学可以相互沟通, 挖掘运算

14、器的用途.答案：（ 1） 0.3 2.1 0.080; （ 2） 3.14 -3 0.032;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3（3） 3.1 42.336; （ 4） 33 6.705.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：娴熟把握用运算器运算幂的值的方法与步骤 , 感受现代技术的威力 , 逐步把自己融入现代信息社会。用四舍五入法求近似值 , 如保留小数点后 n 位 , 只需看第（ n+1）位能否进位即可.例 2 求值或化简 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a4 b2 3ab2a0,b0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

15、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结211 244ab 1 a0,b0;1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0.12 a3b3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3526743642 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22活动：同学观看 , 摸索 , 所谓化简 , 即如能化为常数就化为常数, 如不能化为常数就应使所化式 子达到最简 , 对既有分数指数幂又有根式的式子, 应当把根式统一化为分数指数幂的形式, 便于运算 , 老师有针对性的提示引导, 对1 由里向外把根式化成分数指数幂, 要紧扣分

16、数指数 幂的意义和运算性质, 对2 既有分数指数幂又有根式, 应当统一起来, 化为分数指数幂, 对 3有多重根号的式子, 应先去根号 , 这里是二次根式, 被开方数应凑完全平方, 这样 , 把 5,7,6拆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成32 +2 ,2 23 2 ,2 22 , 并对同学作准时的评判, 留意总结解题的方法和规可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结+律.42121111143 b4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1a 4b 2 3ab 2 =a2 b 2 a 3 b 3 2=a-2

17、 ba 6b 3 =a6b 3 =6.a 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 根式的运算经常化成幂的运算进行, 运算结果如没有特殊要求, 就用根式的形式来表示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结114ab1 3134 2 . 4 23333440 0可编辑资料 - -

18、- 欢迎下载精品名师归纳总结224 0.12 a3b=13 210 2a 2 a2 b2 b 2 =25a b =.25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：化简这类式子一般有两种方法, 一是第一用负指数幂的定义把负指数化成正指数, 另一个方法是采纳分式的基本性质把负指数化成正指数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3526743642可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=32 223 2 22 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=3 -2 +2-3 -2+2=0.n点评： 考虑根号里面的

19、数是一个完全平方数, 千万留意方根的性质的运用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1例 3 已 知 x= 1 5 n21-5n ,n N* , 求x+1x 2 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1活动： 同学摸索 , 观看题目的特点, 从整体上看, 应先化简 , 然后再求值, 要有预见性,5 n 与15n 具有对称性 , 它们的积是常数1, 为我们解题供应了思路, 老师引导同学考虑问题的思路,必要时赐予提示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2= 14115 n21-5n 2= 14225 n2- 250+5n 可编辑资料 - - - 欢迎下

20、载精品名师归纳总结=5 n4+2+5n -4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11= 1 5 n +5n 2-1.4这时应看到11111+x2=1+ 1 n -5n 2= 1 5 n +5n 2,44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2这样先算出1+x , 再算出1x 2, 带入即可 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111nn解： 将 x=5-521，得=1+ 代入 1+x21+x21 5 n -54111,n 2= 1 5 n +5n n4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

21、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 x+1x 2n=11 5 n21-5n +11 5 n415 n 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n= 1 5 n -5n + 1 5 n +5n n=5 n22 =5.可编辑资料 -

22、- - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 运用整体思想和完全平方公式是解决此题的关键, 要深刻懂得这种做法.思路 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 运算 :16 13 3 3484 0.06255 02 1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221253 +11 -2 +343 3 -2113 ;27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11123-2x4 y3 3x2 y 3 。11114x2 -y 2 x 4 -y 4 .活动：同学观看、 摸索 , 根式化成分数指数, 利用幂的运算性质解题, 另

23、外要留意整体的意识, 老师有针对性的提示引导, 对1 根式的运算经常化成幂的运算进行, 对2 充分利用指数幂的运算法就来进行, 对3 就要依据单项式乘法和幂的运算法就进行, 对4 要利用平方差公式先因式分解 , 并对同学作准时的评判.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 16 13 3 3484 0.06255 02 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111= 25 2 + 27 3 +0.062 54 +1- 1482514 123= 1 + 3 3 +0.54 + 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2= 5 +2=5;2223 +0.5+ 1

24、22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221253 +11 -2 +343 3 -211327可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2113-1-23-3=5 3 +2+7 3 -33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-2 -13 23 13 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=53 +2+73 -33=25+4+7-3=33;111211123-2x4 y3 3x2 y 3 =-23x4 x 2 y 3 y 3 1 11 231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=6 x 42

25、. y3 3 =-6x 4 y 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=64x3 3 y ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2211111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4x2 -y 2 x 4-y 4 =x4

26、 -y4 x 4 -y 4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=x 4+y 4x4-y 4 x 4-y 4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11=x 4 +y 4 .点评： 在指数运算中, 肯定要留意运算次序和敏捷运用乘法公式.例 2 化简以下各式:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21x2x 33y 2x 222y 3x 3-33-3y;22y 34-4-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a+a a-a a +a+1a-a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

27、结2活动： 同学观看式子的特点, 特殊是指数的特点, 老师引导同学考虑题目的思路, 这两题要留意分解因式 , 特殊是立方和和立方差公式的应用, 对有困难的同学准时提示: 对1 考查x与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222x 3 的关系可知x =x 33 , 立方关系就出来了, 公式便可运用, 对2 先利用平方差 , 再利用幂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的乘方转化为立方差, 再分解因式 , 组织同学争论沟通.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22解： 1 原式 = xy22x 3y 3x 2y 222x 3y 3可编辑资料 - - - 欢迎下载

28、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= x23 2422x 3 y 322 y3 244 x23 2222x3 y 3 y4223 2 3 xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= x 3 xy3y 3x 3 xy3y 3 =2 xy 32;xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 原式 =a 3 2-a -3 2 a 4+a-4 +1a-a-1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22=a a= aa a a1 = a122222442a-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a4a 41 aa 1 a 4a

29、41aa 1 aa 1=a+a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：留意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用, 由于二项和、 差公式 , 平方差公式一313般在使用中一目了然, 而对立方和立方差公式却一般不易观看到,a 2 =a 2 仍简洁看出 , 对11其中夹杂的数字m可以化为 ma2 a2 =m,需仔细对待 , 要在做题中不断的提高敏捷运用这些公式的才能 .知能训练课本 P59 习题 2.1A 组3.利用投影仪投射以下补充练习:111111. 化简 :1+232 1+216 1+28 1+24 1+22 的结果是 1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

30、结A. 1 1-232 -1B.1-232 -1C.1-232D.21 1-232 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 : 依据此题的特点, 留意到它的整体性, 特殊是指数的规律性, 我们可以进行适当的变形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1111由于 1+232 1-232 =1-216 , 所以原式的分子分母同乘以

31、1-232 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依次类推 , 所以 112 2 12112 1=11=21 1-232 -1 .12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： A12 3212 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 运算 27 0.5 +0.1 -2 +29210 3 - 3 0+9-0.5 +490.5 2-4 .27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 原式 =25 2+100+27 3 -3+49 2 1 =

32、3 +100+9 -3+ 1 +7 =100.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结96416516316可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 运算a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 原式 =a11 2a112a11|a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a1 a 1.11 | a 1.此题可以连续向下做, 去掉肯定值 , 作为摸索留作课下练习.n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 设 a0,x=1 a n -

33、an , 就 x+21x 2 的值为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 : 从整体上看 , 应先化简 , 然后再求值 , 这时应看到1111解： 1+x2=1+ 1 a n -an 2= 1 a n +an 2.44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2这样先算出1+x , 再算出1x 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111111将 x= 1 a n -an 代入 1+x 2, 得 1+x 2=1+ 1 a n -an 2= 1 a n +an 2.244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 x+1x 2n =11 a n21-an +11 a n41+an 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111= 1 a n -an + 1 a n +an n=a.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： a拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程, 请你说明无理数指数幂2 3 的意义 .可编辑资料 -