高考数学难点突破_难点__不等式的综合应用 .docx

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1、精品名师归纳总结难点 20 不等式的综合应用不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他学问综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范畴或解决一些实际应用问题。另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点供应相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题 .难点磁场 设二次函数 fx=ax2+bx+ca 0，方程 fx x=0 的两个根 x1、x2 满意 0x1 x2 1 .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 当 x 0， x1 时，证明 x fx x1 。

2、2 设函数 fx的图象关于直线 x=x0 对称，证明： x0案例探究x1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1用一块钢锭烧铸一个厚度匀称，且表面积为2 平方 M的正四棱锥形有盖容器如右图 设容器高为 hM ，盖子边长为 aM ，(1) 求 a 关于 h 的解读式。(2) 设容器的容积为V 立方 M ，就当 h 为何值时， V 最大？求出 V 的最大值 求解此题时，不计容器厚度命题意图：此题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的运算及用均值定论求函数的最值.学问依靠：此题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值.错解分析：在求得a 的函数关系式时易漏h 0.技巧与

3、方法：此题在求最值时应用均值定理.解：设 h是正四棱锥的斜高，由题设可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 241 h a22消去 h .解得 : a1 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 21 a 24h12h21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 V1 a2 h3h 3 h2h 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得： V13 h1h1 而hh2h 12h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 V 1 ，当且仅当

4、 h=61 即 h=1 时取等号h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故当 h=1M 时， V 有最大值， V 的最大值为1 立方 M.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知 a， b， c 是实数，函数 fx=ax2+bx+c， gx=ax+b，当 1x1 时|fx| 1.1 证明： |c| 1。2 证明：当 1 x 1 时， |gx| 2。3 设 a0，有 1 x 1 时， gx的最大值为 2，求 fx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结命题意图：此题主要考查二次函数的性质、含有肯定值不等式的性质，以及综合应用数学学问分析问题和解决问题的才能

5、.属级题目 .学问依靠：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而肯定值不等式的性质敏捷运用是此题的灵魂 .错解分析：此题综合性较强，其解答的关键是对函数fx的单调性的深刻懂得，以及对条件“ 1 x 1 时|fx| 1”的运用。肯定值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞， 缺乏严密，从而使题目陷于僵局.技巧与方法：此题2 问有三种证法，证法一利用gx的单调性。证法二利用肯定值不等式： |a| |b| |a b| |a|+|b|。而证法三就是整体处理g x与 fx的关系 .1 证明：由条件当 =1 x1 时， |f x| 1，取 x=0 得： |c|=|f0| 1，即 |c| 1.2 证法一：

6、依题设 |f0| 1 而 f0= c，所以 |c| 1.当 a 0 时， g x=ax+b 在 1， 1上是增函数，于是g1 g x g1 ， 1 x 1. |fx| 1， 1x 1， |c| 1， g1= a+b=f1 c |f1|+| c|=2，g1= a+b= f 1+c |f 2|+|c| 2， 因此得 |gx| 2 1 x1。当 a 0 时， gx=ax+b 在 1， 1上是减函数，于是g 1 gx g1， 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1， |fx| 1 1x1 ，|c| 1 |gx|=| f1 c| |f1|+|c|2.综合以上结果，当 1 x 1 时，都

7、有 |gx| 2.证法二： |f x| 1 1 x1 |f 1| 1， |f1| 1， |f0| 1， f x=ax2+bx+c， |a b+c|1， |a+b+c| 1， |c|1， 因此，依据肯定值不等式性质得：|a b|=|a b+c c| |a b+c|+|c | 2，|a+b|=|a+b+cc| |a+b+c|+|c| 2， gx=ax+b， |g 1|=| a+b|=|a b| 2，函数 gx= ax+b 的图象是一条直线，因此|gx|在 1， 1上的最大值只能在区间的端可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 x=1 或 x=1 处取得，于是由 |g 1| 2 得|gx

8、|2， 1 x 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证法三 :x x1 2 x41 2 x1 22 x12 , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xaxbax122 x12 b x1x1222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a x1 22x1b2c a x1 22x1bc 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1f 2x1f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 1 x1 时，有 0x1 1， 12x1 0，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 |

9、fx| 1， 1x 1， |fx1 | 1， |f2x1 |1。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此当 1 x 1 时， |g x| |f x1 |+|f2x1 | 2.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 解：由于 a 0， gx 在 1，1上是增函数，当x=1 时取得最大值 2，即g1= a+b=f 1 f0=2. 1 f0= f1 2 1 2= 1， c=f0= 1.由于当 1 x 1 时， fx 1，即 f x f0 ，依据二次函数的性质，直线x=0 为 fx的图象的对称轴，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此得b 0 ，即 b=0

10、.2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由得 a=2，所以 fx=2x2 1.锦囊妙计1. 应用不等式学问可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要留意等价性 .2. 对于应用题要通过阅读，懂得所给定的材料，查找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特点与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的学问求出题中的问题 .消灭难点训练一、挑选题1. 定义在 R 上的奇函数 f x为增函数，偶函数gx在区间 0， + 的图象与 fx的图象重合，设 ab 0，给出以下不等式，其中正确不等

11、式的序号是 f b f a ga g b fb f a g a g b f a f b gb g a fa f b g b g aA. B. C. D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、填空题2. 以下四个命题中： a+b 2ab2sin x+44设 x， y 都是正sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数，如 1x9=1，就 x+y 的最小值是 12如 |x 2| ， |y 2| ，就 |x y| 2 ，其中y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全部真命题的序号是.3. 某公司租的建仓库，每月土的占用费y1 与车库到车站的距离成反比，而每

12、月库存货物的运费y2 与到车站的距离成正比，假如在距车站10 公里处建仓库，这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 公里处 .三、解答题4. 已知二次函数 fx=ax2+bx+1 a， bR ，a 0，设方程 fx= x 的两实数根为 x1， x2.(1) 假如 x1 2 x2 4，设函数 fx的对称轴为 x=x0，求证 x0 1。2 假如|x1|2， |x2 x1|=2，求 b 的取值范畴 .5. 某种商品原先定价每件p 元，每月将卖出n 件，假如定价上涨x 成这里 x成即 x ， 0 x 10 .每月卖出数量将削减y 成，而售

13、货金额变成原先的z 倍.10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 设 y=ax，其中 a 是满意1 a 1 的常数，用 a 来表示当售货金额最大时的x 的值。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 如 y=2 x，求使售货金额比原先有所增加的x 的取值范畴 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 设函数 fx定义在 R 上，对任意m、n 恒有 fm+n=fm fn ，且当 x 0时， 0 fx 1.1 求证： f0=1 ，且当 x 0 时， f x 1。2 求证： fx在 R 上单调递减。3 设集合 A=x， y|f x2 fy2 f1 ，

14、集合 B= x， y|fax g+2=1 ， a R ，如 A B=，求 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知函数 fx=2 x2bxx21c b 0的值域是 1， 3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求 b、c 的值。(2) 判定函数 F x=lg fx，当 x 1，1时的单调性，并证明你的结论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 如 t R，求证： lg7 F|t 1 | |t+1 | lg 13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5665可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结科普

15、美文数学中的不等式关系数学是争论空间形式和数量关系的科学，恩格斯在自然辩证法一书中指出，数学是辩证的帮助工具和表现形式，数学中包蕴着极为丰富的辩证唯物主义因素，等与不等关系正是该点的生动表达，它们是对立统一的，又是相互联系、相互影响的。等与不等关系是中学数学中最基本的关系 .等的关系表达了数学的对称美和统一美，不等关系就犹如仙苑奇葩出现出了数学的奇特美. 不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系，简洁不等式，不等式的基本性质，假如把简洁不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式进展为一个人丁兴盛的大家族，由简到繁，形式各异.假如给予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了

16、重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗？明显不是，由此又产生明白不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满意的范畴或条件，不同类型的不等式又有不同的解法。不等式证明就是推理性问题或探干脆问题.推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法。探干脆问题大多是与自然数n 有关的证明问题，常采纳观看归纳猜想证明的思路，以数学归纳法完成证明.另外，不等式的证明方法仍有换元法、放缩法、反证法、构造法等.数学科学是一个不行分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系.不等式的学问渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系

17、，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程组 的解的争论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解读几何中的最大值、最小值问题 无一不与不等式有着亲密的联系.很多问题最终归结为不等式的求解或证明。不等式仍可以解决现实世界中反映出来的数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类争论、数形结合、函数与方程.总之，不等式的应用表达了肯定的综合性，敏捷多样性.等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和规律的严谨性，而不等关系是深刻而生动的表达 . 不等虽没有等的温

18、顺，没有等的和谐，没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺立，峰之隽秀，海之宽敞，天之高远，怎能不让人心旷神怡，魂牵梦绕了？参考答案难点磁场解： 1令 Fx=f xx，由于 x1，x2 是方程 fx x=0 的根，所以F x=ax x1x x2.当x 0， x1时，由于 x1 x2，得 x x1x x2 0，又 a 0，得 Fx=ax x1 x x2 0，即 x fxx1 fx=x1 x+Fx =x1 x+a x1 xx x2= x1 x 1+ax x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0 x x1 x21 ， x1 x 0， 1+ax x2 =1+ax ax2 1 a

19、x20a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1fx 0，由此得 fx x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 依题意： x0= 1x+c=0 的根. x1+x2= b1ab ，由于 x1、x2 是方程 fx x=0 的两根，即 x1， x2 是方程 ax2+b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x0= b2aax1x2 12aax1ax2 2a1 ，由于 ax2 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x0ax1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a2消灭难点训练一、 1.解读：由题意 fa=ga 0， fb=

20、gb 0，且 fa f b， ga g b f b f a=fb+fa= ga+ gb而 ga g b=ga gb ga+gb ga gb=2 gb 0， fb f aga gb同理可证： fa f b gb g a答案： A二、 2.解读：不满意均值不等式的使用条件“正、定、等”.式： |x y|=|x 2 y 2| |x 2 y 2| |x 2|+|y2| + =2 .答案：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 解读：由已知y1=20 。 y2=0.8 xx 为仓库与车站距离费用之和 y=y1+y2=0.8 x+x20 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20

21、.8x20 =8x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 0.8x=答案： 5 公里处20 即 x=5 时“ =”成立x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、 4.证明： 1 设 gx= fx x=ax2+b 1x+1，且 x 0. x12 x2 4， x1 2x2 2 0，即 x1x22 x1+x2 4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是得 x0b1 b11 2a2aa1 x12x2 1x1 x221 x12x2 x1x2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 xx 21 2421可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

22、结2122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 解：由方程2gx=ax+b 1x+1=0 可知 x1 x2=1 0，所以 xa1， x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1如 0 x12，就 x2 x1=2 ， x2 =x1+2 2， g2 0，即 4a+2b 10b1 24又x2 x12=4a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2a+1= b1 21 a 0代入式得，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2b1 21 32b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 b 142如 2 x1 0，就 x2=2+x1 2 g

23、2 0，即 4a 2b+3 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 2a+1=b1 21 ，代入式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22b11 2b 1解得 b 7 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上，当 0 x1 2 时， b1 ，当 2 x1 0 时， b 7 .44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.解： 1 由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结额分别是： p1+x 元、 n110y 元、 npz 元，因而10可编辑资料 - - - 欢迎下

24、载精品名师归纳总结npzp1x n1 10y ,z 10110010x10y ，在 y=ax 的条件下， z=1 a100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x51aa 2+100+251aa2 .由于1 a1，就 0351aa 10.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x= 51a .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 由 z=110+ x101002 x 1，解得 0 x 5.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6.1 证明：令 m 0，n=0 得： fm=fm f0. fm 0， f0=1取

25、m=m， n= m， m 0，得 f 0= fmf m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f m=1f m， m 0， m0， 0 f m 1， fm 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 证明：任取 x1， x2 R，就 f x1 f x2=fx1 f x2 x1+x1=fx1 fx2 x1 f x1=fx1 1 fx2 x1， f x1 0， 1fx2 x10， fx1 fx2，函数 fx 在 R 上为单调减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x2y2 f 1x 2y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 由得，由题

26、意此不等式组无解，数形结合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f axy21f axy20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得：| 2 | a2 1，解得 a2 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a3 ， 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7.1 解：设 y=2x 2bxx 21c ，就 y2x2bx+y c=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x R，的判别式 0，即 b2 4y 2 yc 0， 即 4y2 42+ cy+8c+b2 0由条件知，不等式的解集是1，

27、3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=0 的两根 1， 3 是方程 4y2 42+ cy+8c+b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结132138ccb2 c=2， b= 2， b=2舍）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42 任取 x1， x2 1， 1，且 x2 x1，就 x2 x10，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x2 x11 x1x2 0， fx2 fx1=2 x222x2 x22x112x1 x2 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x21x11x11x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 f x2 fx1， lgfx2 lgfx1，即 Fx2 Fx1 Fx为增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 记u| t1| t61|,| u |6| t1 t611 |,63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 1 u31 ，依据 Fx的单调性知3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F1 FuF1 ， lg7 F|t1 | |t+1 | lg 13 对任意实数 t 成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结335665可编辑资料 - - - 欢迎下载