高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学空间向量之- 平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义 ：假如 a，那么向量a 叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），很多条。2、平面法向量的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一 内积法 : 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 n x, y,1 或 nx,1,z，或 n1,y, z ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在平面内任找两个不共线的向量a, b 。由 n，得 n a0 且

2、nb0 ，由此得到关于x, y 的方程组，解此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程组即可得到n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二：任何一个x, y, z 的一次次方程的图形是平面。反之，任何一个平面的方程是x, y, z 的一次方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AxByCzD0 A, B, C不同时为0 ，称为平面的一般方程。其法向量n A, B, C ; 如平面与3 个坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标轴的交点为P a,

3、0,0, P0,b,0, P0,0, c , 如下列图 , 就平面方程为: xyz1 , 称此方程为平面的截距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法三 外积法 :设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b 为一长度等于| a | b | sin，（ 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,两者交角，且0），而与,皆垂直的向量。通常我们实行右手定就，也就是右手四指由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的 方

4、 向 转 为的 方 向 时 ， 大 拇 指 所 指 的 方 向 规 定 为ab 的 方 向 ,abba。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 ax1, y1, z1, bx2, y2, z2, 就 : aby1z1 ,y2z2x1z1 , x1y1x2z2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（注： 1、二阶行列式 : Mabadcb 。 2、适合右手定就。 ）cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例1、已

5、知， a2,1,0, b1,2,1 ，zD 1C1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试求（ 1）： ab; （ 2）： ba .A1E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Key: 1ab1,2,5 ;2 bay1,2,5FDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、如图 1-1, 在棱长为2 的正方体ABCDA1 B1C1D1 中，A图 1-1Bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求平面 AEF的一个法向量n 。 key : 法向量 nAF

6、AE1,2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、平面法向量的应用Bn1、 求空间角B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 、求线面角：如图2-1 ，设 n 是平面的法向量，AB 是平面的一条斜线，A，就 AB 与平面所成的角为：CA图 2-1-1nCA图 2-1-2可编辑资

7、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 2-1-1:n, ABarccosn AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 2-1-2:2n, AB2arccos| n |n AB| AB |sin| cosn , AB|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2| n | | AB |2(2) 、求面面角 : 设向量 m ， n 分别是平面、的法向量，就二面角l的平面角为：nmnm图 2-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m, narccosm n（图 2-2 ） ;图 2-3可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品名师归纳总结m, n| m |arccos| n |m| m |n| n | 图 2-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两个平面的法向量方向选取合适, 可使法向量夹角就等于二面角的平面角。商定，在图2-2 中， m 的方向对平面而言向外，n 的方向对平面而言向内。在图2-3 中， m 的方向对平面而言向内， n 的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满意“右手定就” ）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，就这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。2、 求空间距离Bb（ 1）、异面直线之间距离:na方法指导 ：如图 2-4, 作直线a

9、、b 的方向向量a 、 b ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 a、b 的法向量 n ，即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量。图 2-4A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在直线a、b 上各取一点A、B，作向量AB 。求向量AB 在 n 上的射影d，就异面直线a、b 间的距离

10、为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d| AB| n |n |, 其中 na, nb, Aa, BbnMB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、点到平面的距离:方法指导 ：如图 2-5, 如点 B 为平面 外一点，点A为平面 内任一点，平面的法向量为n ，就点 P 到NAO图 2-5n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面 的距离公式为d| ABn |nBa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| n |（ 3）、直线与平面间的距离:方法指导 ：如图 2-6, 直线 a 与平面之间的距离：ABnA图 2-6n可编辑资料 - - - 欢迎

11、下载精品名师归纳总结d| n |，其中A, Ba 。 n 是平面的法向量B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）、平面与平面间的距离:方法指导 ：如图 2-7, 两平行平面,之间的距离：A图 2-7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d| AB| n |n |，其中 A, B。 n 是平面、的法向量。maa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 证明图 2-8aam可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）、证明线面垂直：在图2-8 中, m

12、 向是平面的法向量，a 是直线 a 的方向向量，图 2-9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明平面的法向量与直线所在向量共线（ma ）。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、证明线面平行：在图2-9 中, m 向是平面的法向量，a 是直m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ma0 ） 。图 2-10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（ 3）、证明面面垂直：在图2-10 中， m 是平面的法向量，n 是平可编辑资料 - - -

13、欢迎下载精品名师归纳总结面的法向量，证明两平面的法向量垂直（m n0 ）m图 2-11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 4）、证明面面平行：在图2-11 中 ,m 向是平面的法向量， n 是平面的法向量， 证明两平面的法向量共线（ mn ） 。三、高考真题新解1、（ 2005 全国 I ，

14、18）（本大题满分12 分）P已知如图3-1, 四棱锥 P-ABCD的底面为直角梯形，AB DC，M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DAB90 , PA底面 ABCD，且1PA=AD=DC=2AB=1， M是 PB的中点AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）证明：面PAD面 PCD。（）求AC与 PB所成的角。（）求面AMC与面 BMC所成二面角的大小D图 3-1C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 以 A 点为原点 , 以分别以AD， AB， AP为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz 如下列图 .可编辑资料 - -

15、- 欢迎下载精品名师归纳总结 I .AP0,0,1 ， AD1,0,0，设平面PAD的法向量为mAPAD0,1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又DC0,1,0 ， DP1,0,1 ，设平面PCD的法向量为nDCDP1,0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mn0 ，mn ，即平面PAD平面 PCD。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 II .AC1,1,0 ， PB0,2,1 ，AC, PBarccosACPBarccos10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CM1| AC | PB

16、 |511可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 III .1,0, ， CA21,1,0，设平在AMC的法向量为mCMCA,1 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又CB1,1,0 , 设平面 PCD的法向量为nCMCB1 ,21 ,1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m, narccosmnarccos2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| m | | n |322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面 AMC与面 BMC所成二面角的大小为arccos . 或3arccos 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

17、师归纳总结2、云南省第一次统测19 题 此题满分12 分如图 3-2 ，在长方体ABCDA1B1C1D1 中，已知 AB AA1 a， BC2 a， M是 AD的中点。 求证： AD平面 A1BC。 求证：平面A1MC平面 A1BD1。 求点 A 到平面 A1MC的距离。图解: 以 D 点为原点 , 分别以 DA,DC,DD1 为 x 轴,y轴,z 轴 , 建立空间直角坐标系D-xyz 如下列图 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下

18、载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 I .BC2a,0,0 ,BA10,a, a , 设平面 A1BC的法向量为nBCBA10,2a 2 ,2a 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又AD2a ,0,0 ,n AD0 ,ADn , 即 AD/ 平面 A1BC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 II .MC2 a,0,a ,2MA12 a, a,02,设平面A1MC

19、的法向量为:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mMCMA1 a2 ,2 a 2 ,22 a 2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又BD12a,a, a ,BA10,a ,a , 设平面 A1BD1 的法向量为 :nBD1BA10,2a 2 ,2a 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mn0 ,mn , 即平面 A1MC平面 A1BD1. III . 设点 A 到平面 A1MC的距离为d,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mMCMA1a

20、 2 ,2 a 2 ,22 a 2 是平面 A1MC的法向量 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又MA2 a,0,0 ,A 点到平面A1MC的距离为 : d| mMA |1 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2| m |2四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”1 、建立空间直角坐标系 利用现有三条两两垂直的直线，留意已有的正、直条件, 相关几何学问的综合运用， 建立右手系 ，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、 平面， 把立体几何问题转化为向量问题。（化为向量问题）（ 2）、通过向量运算，讨论点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题。（进行向量运算）（ 3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载