高中数学平面向量知识点总结 .docx

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1、精品名师归纳总结学问点归纳高中数学必修 4 之平面对量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一.向量的基本概念与基本运算1 向量的概念：向量 ：既有大小又有方向的量向量一般用a, b, c 来表示,或用有向线段的起点与终可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点的大写字母表示,如：AB 几何表示法AB , a 。坐标表示法axiyj x, y向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量的大小即向量的模（长度） ,记作 | AB | 即向量的大小,记作a 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量,

2、记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量 a 0a 0由于 0 的方向是任意的,且规定0 平行于任何向量,故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清晰是否有“非零向量 ”这个条件（留意与 0 的区分）单位向量： 模为 1 个单位长度的向量向量 a0 为单位向量 a0 1平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同始终线上 方向相同或相反的向量, 称为平行向量记作 a b 由于向量可以进行任意的平移 即自由向量 ,平行向量总可以平移到同始终线上,故平行向量也称为共线向量数学中讨论的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分

3、清晰共线向量中的 “共线” 与几何中的 “共线”、的含义, 要懂得好平行向量中的 “平行”与几何中的“平行”是不一样的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相等向量： 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为ab 大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小相等,方向相同2 向量加法x1, y1x2 , y2 x1x2y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求两个向量和的运算叫做向量的加法设 ABa, BCb ,就 a + b = ABBC = AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

4、结（1） 0aa0a 。（ 2）向量加法满意交换律与结合律。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量加法有“三角形法就”与“平行四边形法就”：（ 1）用平行四边形法就时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量（ 2） 三角形法就的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法就。当两向量是首尾连接时,用三角形法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就向量加法的三角形法就

5、可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR ,但这时必需“首尾相连” 3 向量的减法 相反向量： 与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量记作a ,零向量的相反向量仍是零向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于相反向量有：（ i）a = a 。 iia +a =a + a =0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iii 如 a 、 b 是互为相反向量,就a =b , b =a , a + b = 0向量减法： 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作： aba b求两个向量差的运算

6、,叫做向量的减法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作图法： ab 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4 实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个向量,记作 a ,它的长度与方向规定如下：（）aa 。（）当0 时, a 的方向与 a 的方向相同。当0 时, a 的方向与 a 的方向相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反。当0 时, a0 ,方向是任意的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数乘向量满意交换律、结合律与安排律5 两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数,使得 b = a6 平面

7、对量的基本定理：假如 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有一对实数1,2使： a1e12e2 ,其中不共线的向量e1, e2 叫做表示这一平面内全部可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量的一组基底7 特殊留意 :（1） 向量的加法与减法是互逆运算（2） 相等向量与平行向量有区分,向量平行是向量相等的必要条件（3） 向量平行与直线平行有区分,直线平行不包括共线（即重合）,而向量平行就包括共线（重合）的情形（4） 向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细位置无关,只与其相对位置

8、有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形, 以形观数, 用代数的运算处理几何问题, 特殊是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面对量的基本定理,运算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判定两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它 往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是学问的交汇点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1给出以下命题： 如| 如a | | b | ,就 a = b 。A,B,C,D 是不共线的四点,就ABDC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件。 如 a= b , b = c ,就 a = c , a =b 的充要条件是

9、 | a |=| b | 且 a / b 。 如 a/ b, b / c ,就 a / c , 其中正确的序号是解：不正确两个向量的长度相等,但它们的方向不肯定相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 正确ABDC , |AB| | DC |且AB / DC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 A,B,C,D 是不共线的四点, 四边形 ABCD为平行四边形。 反之,如四边形 ABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为平行四边形,就,AB / DC 且 | AB | | DC |,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此, ABDC 正确

10、a =b ,a , b的长度相等且方向相同。 又 b c ,b , c 的长度相等且方向相同, a , c 的长度相等且方向相同,故a c 不正确当 a / b 且方向相反时,即使| a |=|b | ,也不能得到 a =b ,故 | a |=|b |且 a / b 不是 a = b的充要条件,而是必要不充分条件 不正确考虑 b = 0 这种特殊情形 综上所述,正确命题的序号是点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多,因而简单遗忘为此,复习一方面要构建良好的学问结构,另一方面要善于与物理中、 生活中的模型进行类比和联想 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简： A

11、BBCCD , DBACBD OAOCOBCO解：原式 = ABBCCDACCDAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式 = DBBDAC0ACAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式 = OBOAOCCOABOCCOAB0AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 设非零向量 a 、 b 不共线, c =k a + b , d = a +k bkR,如 c d ,试求 k解： c d由向量共线的充要条件得：c= d R即 k a +b = a +k b k a+ 1 kb=0又 a 、 b 不共线

12、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由平面对量的基本定理k0k11k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二.平面对量的坐标表示1 平面对量的坐标表示：在直角坐标系中, 分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i , j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作为基底 由平面对量的基本定理知, 该平面内的任一向量a 可表示成 axiyj ,由于 a 与数对 x,y是一一对应的,因此把 x,y叫做向量 a 的坐标,记作a =x,y,其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量(2)

13、 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细位置无关,只与其相对位置有关2 平面对量的坐标运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 如 ax1, y1,bx2, y2,就 abx1x2 , y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 如A x1, y1 , Bx2 , y2,就 ABx2x1, y2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3如 a =x,y,就a =x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 如 ax1, y1,bx2, y2,就 a / bx1y2x2

14、 y10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 如 ax1, y1,bx2, y2,就 a bx1 x2y1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ab ,就 x1x2y1y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算类型向1 平行四边形法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量2 三角形法就a b x1x2,y1y2abba可编辑

15、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的加a b c法a b c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向三角形法就ABBCAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量a b x1 x2,y1 y2aba b的减ABBA法OBOAAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向a 是一个向量 ,量满意 :的0 时,a 与 a 同向;乘0 时,a 与 a 异向;法=0 时,a = 0ax,ya aaaaabab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a bab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量ab 是一个数的数a0 或 b 0时,量a bx1

16、x2y1y2abba a ba ba b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2积a b=0abcacbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0 且 b0 时,a| a |222, |a |xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b |a|b| cosa,b| ab | a | b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 已知向量 a1,2, bx,1,ua2b , v2ab ,且u / v ,

17、求实数 x 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 a1,2, bx,1, ua2b , v2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 u1,22 x,12x1,4 , v21,2x,12x,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于u / v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 32 x142x0 ,即 10 x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 已知点点 P 的坐标A4,0, B4,4, C2,

18、6 ,试用向量方法求直线AC 和 OB （ O 为坐标原点）交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设Px, y ,就 OP x, y, APx4, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 P 是 AC 与 OB 的交点所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上即得 OP / OB, AP / AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由点 A4,0, B4,4,C2,6 得, AC 2,6, OB4,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得方程组6 x42 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解之得4x4 y0x 3y

19、3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 3,3三平面对量的数量积1 两个向量的数量积：已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为,就 a b = a b cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积）规定 0 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 向量的投影： b cos= a b| a |R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的肯定值称为射可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结影3 数量积的几何意义：a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

20、4 向量的模与平方的关系：5 乘法公式成立：a aa2| a |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ababa2b 222ab。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22aba2a bb222a2a bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 平面对量数量积的运算律：交换律成立： a bb a对实数的结合律成立：aba babR安排律成立：abca cb ccab特殊留意 ：（ 1）结合律不成立：ab ca bc 。（2） 消去律不成立 a ba c不能得到 bc（3） a b =0不能得到 a =0 或 b

21、=0 7 两个向量的数量积的坐标运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知两个向量 a x1, y1, b x2, y2 ,就 a b = x1x2y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b , 作 OA = a ,OB = b , 就 AOB=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00（ 0180 ）叫做向量 a 与 b 的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos= cosa, bab =x1x2y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11abx 2

22、y 222x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当两个非零向量a 与 b 同方向时, =00 ,当且仅当 a 与 b 反方向时 =1800,同时 0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题09 垂直： 假如 a 与 b 的夹角为 90 就称 a 与 b 垂直,记作 a b10 两个非零向量垂直的充要条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ba b Ox1 x2y1 y20 平面对量数量积的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 判定以下各命题正确与否：（1） 0 a0 。（ 2） 0 a0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

23、纳总结（3）如 a0, a ba c ,就 bc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a ba c ,就 bc 当且仅当 a0 时成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） a bca b c 对任意a,b, c 向量都成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（6） 对任意向量 a ,有 a 2a 2解：错。 对。 错。错。 错。对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 已知两单位向量 a 与b 的夹角为120 ,如 c2ab, d3ba,试求 c 与 d 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

24、 欢迎下载精品名师归纳总结0夹角解：由题意, ab1 ,且 a 与 b 的夹角为0120 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,a ba bcos12001 ,222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2cc c2ab 2ab4a4a bb7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c7 ,同理可得d13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 c d2 ab 3ba7 a b3b 22a 217 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 为 c 与 d 的夹角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 cos172 71317 91182arccos1791182点评：向量的模的求法和向量间的乘法运算可见一斑例 3 已知 a4,3 , b1,2 , mab, n2ab ,按以下条件求实数值（ 1） mn 。（ 2） m / n 。 3 mn解： mab4,32, n2ab7,8（ 1） mn473280（ 2） m/ n48327052。91。23 mn42322728252488022511点评：此例展现了向量在坐标形式下的基本运算的可编辑资料 - - - 欢迎下载