高二数学第八章圆锥曲线方程知识复习.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高二数学第八章圆锥曲线方程学问复习二次曲线系（一）共焦点圆锥曲线系x 2y 2c2tt1当 t0 时，表示共焦点（c,0）的椭圆系。当-c2 t0 时，表示共焦点（c,0）的双曲线系。 当 t0 ，但要转变共焦点的二次曲线系方程中相应的符号。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2与椭圆xa 22y1 共焦点的二次曲线系方程也可以设为 b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2a 2ky2b2k1 （ 0bk b2， k 为参数）

2、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（二）具有相同离心率的圆锥曲线系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 已知椭圆的离心率是求椭圆的标准方程。1 ，焦点在 x 轴上，且被直线y21 x2 截得的弦长为235 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：b a21e 21123，又其焦点在x 轴上，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22xy设椭圆方程为0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2即3 x14324 y120.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将yx 22 代入，整理得可编辑资料 - - - 欢迎下

3、载精品名师归纳总结x22 x430.由韦达定理可知：x1+x 2 =-2,x 1 x2=4-3由弦长公式，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结351k 2 xx1k 22x1x24 x1 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12212=1224 43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=5 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得4 。x2y 2x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求椭圆方程为4 ，即1.431612说明应用具有相同离心率的圆锥曲线系方程时，同样

4、要留意其焦点所在的坐标轴及圆锥曲线的类型。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（三）共渐近线的双曲线系x 2y 20a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显，它们的公共渐近线为x 2y 20.a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y 2例 4 求与双曲线1 共渐近线且与直线x-y-1=0 相切

5、的双曲线方程。164x2y 2解：设此双曲线方程为,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由方程组16416x24y 2xy10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结消去 x 得 3y2-2y+ （-1） =0 。由双曲线与直线相切知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44341 0,得4 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将代入方程组得3所求的双曲线方程为3x2-12y2=4 。求轨迹的几种方法求轨迹方程是解析几何中主要类型题之一，求轨迹的方法通常有：定义法、参数法、交轨法、转化法、待定系数法。下面我们逐一介绍。（一）定义法利用圆和圆锥曲线的

6、定义及其标准方程，依据已知条件，直接定出轨迹方程的方法叫做定义法。例 1 过原点 O 的一条直线交圆x2+y-1 2=1 于点 Q，在直线OQ 上取一点P，使点 P到直线 y=2 的距离等于 |PQ|，当直线PQ 绕点 O 旋转时，求动点P 的轨迹方程。 解：如下列图，设动点P 的坐标为 x,y ，作 PD 垂直于直线y=2 ，垂足为D 。（ 1）当点 P 不在 y 轴上时，PDPQRtP D A RtPQA从而 1= 2。又 PD OA， 1= 3。从而 2= 3。 |OP|=|OA|=2。这时，点P 的轨迹方程为x2+y 2 =4x 0。（ 2）当点 P 在 y 轴上时，可编辑资料 - -

7、 - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点 Q 与 D 重合于点A， y 轴上任一点P 都满意 |PD|=|PQ|。这时，点 P 的轨迹方程为 x=0 。于是由（ 1），（ 2）可知，动点P 的轨迹方程为x2+y 2=4x 0 或 x=0 。（二）参数法例 2已知 MON=120，长为 23 的线段 AB 的两段 A，B 分别在 OM ，ON 上滑动，求 AB 中

8、点 P 的轨迹方程。分析中点 P 依靠于 A，B 两点，设A，B 的横坐标为参数，利用|AB|= 23 消去参数，便可得到 P 的轨迹方程。解：如下列图，以O 为原点， MON 的平分线为x 轴的正方向，就射线ON，OM 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程分别为y3 x x0 和y3 x x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 P x, y,Bx1 ,3 x1, Ax2 ,3 x2x10 , x20 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx1x223yx1x22AB23 ,可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品名师归纳总结2x1x3 x1x223 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2即x1-x 22+3x 1+x 22= 12把式代入式中，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22y32 x 2312,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2即x 2y1.9解方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y3 xy 2x 219留意x0得x32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故动点 P 的轨迹方程为y 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 29（三）交轨法1 x 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

10、名师归纳总结当动点 P 是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点P 的轨迹方程，可挑选适当的 参数，表示这两条动直线（或动曲线）的方程，从而解方程组消去参数，便得动点P 的轨可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -迹方程。例 3 如图 824 所示，在直角坐标系xOy 中，已知矩形OABC 的边长 |OA|=a,|OC|=b，可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品名师归纳总结点 D 在 AO 的延长线上， 且 |DO |=a，设 M ，N 分别是 OC，BC 边上的动点， 且 OMMCBN0 ，NC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求直线 DM 与 AN 的交点 P 的轨迹方程。解如下列图，点A，D 的坐标分别为 a,0,-a,0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 BNt 0ta ，就点 N 的坐标为 a-t,b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OMBN，MCNCOMBN .OCBC从而OMBNOCBCbt . a可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点M 的坐标为直线 DM 的方程为0 , bt。axay1abt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 AN 的方程为yxabt设 动 点P的 坐 标 为 x,y ， 就 从 式 中 消 去 参 数t ， 得P的 轨 迹 方 程 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2a 2b 21 x0 , y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（四）代入法*对于已知曲线C:Fx,y=0上的各点M ，依据某种法就，同一平面上的点P 与它对应，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

13、纳总结当点 M 在曲线 C 上移动时，点P 的轨迹是曲线C * ，就称C为 C 的相伴曲线。求相伴曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C * 的方程一般用代入法。其步骤如下：设点 P，M 的坐标分别为x,y,x1,y1，就 Fx 1,y1=0 。由点 M 与点 P 的关系，求得x1 =fx,y,y 1=gx,y, 然后用代入法，即可得到点P 的轨迹方程为2Ffx,y,gx,y=0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 4从原点 O 作圆 x-2 +y动点 M 的轨迹方程。=4 的动弦 OP，把 OP 延长到 M ，使 OP1 PM ， 求2可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品名师归纳总结解 如下列图，设点M ，P 的坐标分别为x,y,x 1,y1，就22x 12y 141OPPM , 2OP1.PM2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 x11 x1 y2, y12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111122xx1即3yy13把

15、式代入式中，得22x2y4,33于是，动点M 的轨迹方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x6 2y 236.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（五）待定系数法当曲线的议程的类型已知时，求这曲线方程的详细表达式，可用待定系数法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5求以直线 4 x5 y0 和 4 x5 y400 为渐近线， 焦点在直线y40 上且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦距是 441 的双曲线方程。4 x5 y04 x5 y400x5y4解如下列图，解方程组得即两直线的交点坐标为（5， -4）。又双曲线的中心为O（ 5，

16、-4）。由已知条件可设这双曲线的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22x5y4a 2b 21 ab ,b0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x5y4为0ab即： b x5 a y4 0b4结合已知渐近线方程a5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而可设 a5k ,b4 k k0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资

17、料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2c441,c241 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c 2a 2b241k2441,k2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 a=10 ，b=8。故所求的双曲线方程为22x5y41.10064求最值方法总结解析几何中的最值涉及代数、三角、几何诸方面的学问，问题复杂，解法敏捷。现把这类问题的解法总结如下：（一）利用综合几何法求最值利用平面几何中的极值定理求解最值问题的方法叫做综合几何法。这种解

18、法假如运用得当，往往显得特别简捷、明快。例 1 如下列图，在平面直角坐标系xOy 中， A，B 是 y 轴正方向上给定的两点，试在x轴正方向上求一点C，使 ACB 取得最大值。解：如下列图，过A，B 两点作圆与x 轴正方向相切于点C。设 C是 x 轴正方向上异于点 C 的任一点，连结BC，AC， BC， AC，就由平面几何学问，易得ACB ACB，从而点 C 即为所求。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 OBb, OAa ，就由切割线定理，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2OCOBOAab ，可编辑资料 - -

19、- 欢迎下载精品名师归纳总结OCab 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即所求的点C 的坐标为ab ,0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（二）利用二次函数的性质求最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 2 过点 B（0，-b）作椭圆 x2y1 ab0 的弦，求这些弦长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的最大值。x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：如下列图，设点Mx,y 是椭圆上任一点，就1，a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

20、师归纳总结即x 2a 2 12y. b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而BMx 2yb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2 y2a2y2b 2232cybb 2c22byb22a2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23byb .可编辑资料 - -

21、- 欢迎下载精品名师归纳总结3于是，（1）如 bc2b ,即a2 b,就当yb32 时，|BM |取得最大值ca。（ 2）如 bb ， cc 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 a2b ，就当 y=b 时， |BM |取得最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22cb3b2bc 2a222b 。c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（三）利用判别式法求最值例 3过点 A（ 1，4）作始终线在两坐标轴上的截距都为正，且其和为最小，求这直线的方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 设所求的直线为xay1 a b0,b0 ，就 1a41

22、 ，从而 a bb,b4 。 b4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sabb4 sbbb4b23b,b 23b,b4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 b 2 3s b4 s0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b 是实数，3s 216 s0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即s9s10 。由 b 4，可知 s1, s 9。当 s=9 时，易得 b=6,a=3 。即当 a=3,b=6 时， s 有最小值9。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求的直线方程为xy362

23、x+y-6=0 。（四）利用不等式法求最值1 ，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 中， sabbbb44 bb44 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b4,b404 b4 b424b44.b4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - -

24、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s459.s 取最小时，4b4b4 ，解得 b6 。（以下略）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（五）利用三角求最值例 2 中，设椭圆上任一点22M a cos a ,b sin a,a 为参数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就|BM |a cosa0b sin ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2a 2b 2a 2s i n2 a

25、s i na2b 2b 2s i na2a 2b 2a 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2a 2a 2b 2ab0 ,b 2a 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2当122ba0 即 a2b 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取 sin ab 2b 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 BM 最 大a 4a 2a 2b2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2当1 即 ba2b 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2a 2取 sin a1 得 BM 最大2b可编辑资料 - - -

26、 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 中，设直线倾斜角的补角为（如图），横纵截距分别为a、b 由锐角三角函数，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a14 cota b54 cottan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 41 tan524 cottan9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan 24,tan2 （正值已舍去）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求直线方程为：y42 x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - -

27、 - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解题方法总结：（ 1）恰当挑选坐标系，以简化运算。（ 2）重视圆锥曲线的定义，曲线的几何性质在解题中的作用。定义是运用数形结合思想方法解题的重要依据，定义解题可简化运算，提高速度。（ 3）三种圆锥曲线的统肯定义揭示了圆锥曲线都是“一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比为一个常数”的动点轨迹这一本质属性，因此， 在三种圆锥曲线的运算和证明中，当题中涉及到离心率、定点、定直线时，要不失时机的运用统肯定义解题。（ 4）要判定动点的轨迹，往往需要先求出它的轨迹方程

28、，然后依据方程的结构特点，再确定是何种曲线。求轨迹方程的主要方法见前一章总结。在求轨迹方程时要留意依据数形结合，检验轨迹的完备性和纯粹性。（ 5）涉及到直线与圆锥曲线的问题，要留意方程思想和转化思想的应用。（ 6）求圆锥曲线中的最值问题，一方面留意定义和有关性质的运用，另一方面可考虑转化为肯定的函数关系。然后运用函数求最值的各种方法求解，这里在特殊留意代数、三角、平面几何学问的综合敏捷应用。（ 7）求解有些圆锥曲线综合问题，经常要引入适当的帮助参数。因此，适当的挑选参数，设而不求，可化难为易，减小运算量。试题选析如图，已知梯形ABCD 中， |AB|=2|CD|，点 E 分有向线段AC 所成的

29、比为，双曲线过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2C、D、E 三点，且以A、B 为焦点。当33时，求双曲线离心率e 的取值范畴。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 1 如下列图， 以 AB 的垂直平分线为y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐标系xOy， 就 CD y 轴。由于双曲线经过点C、D ，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性性C、D 关于 y 轴对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依题意，记Ac,0 , Cc ,h 2,E x0 , y0,其中 c1 AB 为双曲线的半焦距，h 是梯形2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

30、归纳总结的高。由定比分点坐标公式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c cx0212 ch, y0。211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2设双曲线的方程为a 2y1 ，就离心率ec 。2b 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由点 C、E 在双曲线上，将点C、E 的坐标和ec 代入双曲线方程得a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - -