高中数学必修平面向量知识点与典型例题总结 .docx

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1、精品名师归纳总结数学必会基础题型平面对量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：ABr或 a 。uurur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 向量的模 ：向量的大小（或长度） ,记作： | AB |或| a |。rr3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。如 e是单位向量,就 | e | 1。rr4. 零向量：长度为 0 的向量。记作： 0 。【 0 方向是任意的,且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的向量。6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。

2、uuuruuur7. 相反向量 ：长度相等,方向相反的向量。ABBA 。8. 三角形法就：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABBCAC 。 ABBCCDDEAE 。 ABACCB9. 平行四边形法就 ：（指向被减数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r rrrrr以a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为ab , ab 。rrrrrrrr10. 共线定理 ： aba / / b 。当0 时, a与b 同向。当0 时, a与b 反向。11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组

3、基底。rr22r 2r 2rrrr 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 向量的模： 如a x, y ,就 | a |rrrrxy, a| a | , | ab |abrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 数量积与夹角公式：a b| a | |b | cos。cosa b r| a | | b|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 平行与垂直：rrrra / /babx1 y2rrrrx2 y1 。 aba b0x1x2y1y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 1. 基本概念判定正误 ：（1） ）共线向量就是在

4、同一条直线上的向量。（2） ）如两个向量不相等,就它们的终点不行能是同一点。（3） ）与已知向量共线的单位向量是唯独的。uuuruuur（4） ）四边形 ABCD是平行四边形的条件是 ABCD 。uuuruuur（5） ）如 ABCD ,就 A、B、C、D 四点构成平行四边形。（6） ）由于向量就是有向线段,所以数轴是向量。rrrrrr（7） ）如 a 与 b 共线, b 与 c 共线,就 a 与c 共线。rrrr（8） ）如 mamb ,就 ab 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rr（9） ）如 mana,就 mn 。可编辑资

5、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr（10） ）如 a 与b 不共线,就 a 与b 都不是零向量。rrrrrr（11） ）如 a b| a | | b | ,就 a / /b 。rrrrrr（12） ）如 | ab | | ab | ,就ab 。题型 2. 向量的加减运算rrrr1. 设a 表示“向东走 8km” ,b 表示“向北走 6km”, 就| ab |。uuuruuuruuuruuuruuuur2. 化简 ABMB BOBC OM。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuru可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知| OA |5

6、 , | OB |3 , 就| AB | 的最大值和最小值分别为、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuuruuurr uuurruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知 AC为AB与AD的和向量,且ACa, BDb ,就 AB, AD。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur3 uuuruuuruuruuuuruuru可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知点 C在线段 AB上,且题型 3. 向量的数乘运算ACAB 5, 就 ACBC , ABB

7、C 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 运算：（1） 3ab2ab（2） 22a5b3c3 2 a3b2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrr1 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知a1, 4, b 3,8 ,就 3ab。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 4. 作图法球向量的和r rr1 rr3 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知向量 a,b ,如下图,请做出向量 3ab 和 2ab 。22r ar b可编辑资料 - - -

8、 欢迎下载精品名师归纳总结题型 5. 依据图形由已知向量求未知向量uuur uuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知在ABC中, D 是 BC 的中点,请用向量 AB,AC 表示 AD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuurr uuurruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在平行四边形 ABCD 中,已知 ACa, BDb ,求 AB和AD 。题型 6. 向量的坐标运算uuur1. 已知 AB4,5 , A2,3 ,就点 B 的坐标是。uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知 PQ

9、 3,5 , P3,7,就点 Q 的坐标是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如物体受三个力rF11,2 ,rF2 2,3 ,rF3 1,4 , 就合力的坐标为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知 arrb3,4 ,5, 2 ,求 rr , rr , rr 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abab5. 已知 A1,2, B 3,2uuur, 向量 arx2, x3y uuuruuuruuur2 与 AB 相等,求uuur3a2bx, y

10、的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知 AB2,3, BCm, n , CD1,4 ,就 DAuuuruuurr。uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知O 是坐标原点,A2,1, B 4,8 ,且 AB3BC0 ,求 OC的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 7. 判定两个向量能否作为一组基底ur uur1. 已知 e1, e2 是平面内的一组基底,判定以下每组向量是否能构成一组基底：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uruururuururuuruurururuuruururuuruurur可编辑资料

11、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. e1e2和e1e2rB.3e12e2和4e26e1C.e13e2和e23e1rD.e2和e2e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知a3,4,能与 a 构成基底的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.34,B.43,C.3 ,4 D.1,4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5555553可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 8. 结合三角函数求向量坐标uuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知O 是

12、坐标原点,点 A 在其次象限, | OA |2 ,uuur2. 已知O 是原点,点 A 在第一象限, | OA |43 ,xOA xOA150o ,求 OA 的坐标。uuur60o ,求OA 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 9. 求数量积orrrrrrrrr1. 已知| a |3,| b |4 ,且 a与 b 的夹角为 60 ,求（ 1） a b ,（ 2） a ab ,r1 rrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） ab 2b ,（4） 2 ab a3b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

13、载精品名师归纳总结rrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知a2,6, b8,10,求（ 1） | a |,| b | ,（ 2） a b ,（3） a2 ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr（ 4） 2 ab a3b 。题型 10. 求向量的夹角rrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知| a |8,| b |3 , a b12 ,求 a 与b的夹角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知a3,1, b23, 2 ,求 a 与

14、b的夹角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知A1,0 ,B0,1 , C2,5,求 cosBAC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结o题型 11. 求向量的模可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知| a |3,| b |4 ,且 a与 b的夹角为 60,求（ 1） | ab |,（2） | 2a3b |。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrr1 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.

15、已知a2,6, b8,10,求（ 1） | a |,| b | ,（ 5） | ab| ,（6） | ab |。 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrr3. 已知| a |1,| b |2 , | 3a2b |3 ,求| 3ab | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rr题型 12. 求单位向量【与 a 平行的单位向量： err ar】| a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 与a12,5 平行的单位向量是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m2. 与 r11,2平行的单位向量是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

16、师归纳总结题型 13. 向量的平行与垂直rrrrrr1. 已知a6,2 , b 3, m ,当 m 为何值时,（1） a / /b ？（ 2） ab ？rrrrrr2. 已知a1,2 , b 3, 2 ,（1） k 为何值时,向量 kab 与 a3b 垂直？rrrr（ 2） k 为何值时,向量 kab 与a3b 平行？rrrrrrrrrr3. 已知a 是非零向量, a ba c ,且 bc ,求证： abc 。题型 14. 三点共线问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知A0,2 , B2, 2 , C 3, 4 ,求证：A, B, C 三点共线。可编辑资料 - - -

17、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur2. 设2rruuurrr uuurrr,求证： A、B、D三点共线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABa25b, BC2a8b, CD3ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuurrr uuurrr uuurrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知ABa2b, BC5a6b,CD7 a2b ,就肯定共线的三点是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知A1, 3 , B8,1 ,如点C 2a1

18、,a2 在直线 AB 上,求 a 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知四个点的坐标立？O0,0, A3, 4 , B 1,2uuuruuuruuur,C 1,1,是否存在常数 t ,使 OAtOBOC 成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 15. 判定多边形的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuurruuurruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 如 AB3e , CD5e,且 | AD| | BC| , 就四边形的外形是。可编辑资料 - - - 欢

19、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知A1,0 ,B4,3, C 2, 4 , D 0,2,证明四边形 ABCD 是梯形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知A2,1 , B 6,3, C 0,5,求证： ABC 是直角三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 在平面直角坐标系内, OA1,8, OB 4,1,OC1,3 , 求证：ABC 是等腰直角三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

20、名师归纳总结题型 16. 平面对量的综合应用rrrrrr1. 已知a1,0 , b2,1 ,当 k 为何值时,向量 kab 与a3b 平行？rrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知a3,5 ,且 ab , |b |2 ,求 b的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrr3. 已知a与b 同向, brr1,2 ,就 a br10 ,求 a 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r3. 已知arr 1,2 , br3,1 , r5,4cr,

21、就 rrr。abcr rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知a5,10 , b3,4 , c5,0,请将用向量a,b表示向量 c 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知 arrrrm,3 ,2,1 ,（ 1）如m 的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ba 与brr的夹角为钝角,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如 a 与 br的夹角为锐角,求 m 的范畴。rrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知a为锐角？6,2 , b 3, m,

22、当 m 为何值时,（1） a 与b的夹角为钝角？（ 2） a 与b的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为求点 C 的坐标。A 1,2 ,B 3, 4 , D 2,1 ,且AB/ / DC , AB2CD ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为的坐标。A2,1,B 1,3 ,C 3, 4 ,求第四个顶点 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 一航船以 5km/h

23、 的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30o 角,求水流速度与船的实际速度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 已知 ABC 三个顶点的坐标分别为A3, 4uuuruuur, B0,0 , Cc,0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如 ABAC0 ,求c 的值。（ 2）如 c5 ,求 sin A 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【备用】rrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知| a |3,| b |4,| ab |5 ,求|

24、ab |和向量 a, b 的夹角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrurrrrrrrr ur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知 xab , y2ab ,且 | a | | b | 1, ab ,求rrrrrrx, y 的夹角的余弦。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知a1,3,b 2,1 ,就 3a2b 2 a5b65。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrr4. 已知两向量 a3, 4, b2,1 ,求当 axb与ab 垂直时的 x 的值。rrrr5. 已知两向量 a1,3,b2, , a与b 的夹角 为锐

25、角,求的范畴。rrrr变式： 如a, 2, b 3,5 , a与b 的夹角 为钝角,求的取值范畴。挑选、填空题的特别方法：1. 特例法例：全品P27：4。由于 M,N在 AB,AC上的任意位置都成立, 所以取特别情形, 即 M,N与 B,C重合时,可以得到 mn1, mn2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 代入验证法rrrr例：已知向量 a1,1,b1, 1, c1, 2 ,就 c（ D）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.1 r3 rB.1 r3 rC.3

26、r1 rD.3 r1 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abababab 22222222rrrr rr变式： 已知 a1,2, b1,3, c 1,2 ,请用 a,b 表示 c 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrr解： 设cxayb,就1,2x1,2y1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： 1,2 x,2 xy,3 yxy,2 x3 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1xy且22 x3 y ,即：xy1且 2x3 y2可编辑资

27、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得：x4 , y9 ,r4 r9 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结553. 排除法cab 55uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：已知 M是 ABC 的重心,就以下向量与AB 共线的是（ D）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuuruuuruuurA. AMMBBCuuuuruuurB. 3 AMACuuuruuuruuuruuurC. ABBCACuuuuruuuuruuuurD. AMBMCM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：观看前三个选项都不与 AB 共线,所以选 D。可编辑资料 - - - 欢迎下载