高中数学必修平面向量知识点与典型例题总结 2.docx

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1、精品名师归纳总结数学必会基础题型平面对量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或 a 。2. 向量的模 ：向量的大小或长度 ，记作： | AB |或| a |。3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。假设 e是单位向量，就 | e | 1 。4. 零向量：长度为 0 的向量。记作： 0 。【 0 方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量共线向量：方向相同或相反的向量。6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。ABBA 。8. 三角形法就：ABBCAC 。 ABBCCDDEAE 。 ABACC

2、B 指向被减数9. 平行四边形法就 ：以a,b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab ， ab 。10. 共线定理 ： aba / / b 。当0 时， a与b 同向。当0 时， a与b 反向。211. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 向量的模： 假设 ax, y，就 | a |x2y2 ， a| a |2 ， | ab |ab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 数量积与夹角公式：a b| a | |b | cos。cosa b| a | | b|可编辑资

3、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 平行与垂直：a / /babx1 y2x2 y1 。 aba b0x1x2y1y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 1. 基本概念判定正误 ：1共线向量就是在同一条直线上的向量。2假设两个向量不相等，就它们的终点不行能是同一点。3与已知向量共线的单位向量是唯独的。4四边形 ABCD是平行四边形的条件是 ABCD 。5假设 ABCD ，就 A、B、C、D 四点构成平行四边形。6由于向量就是有向线段，所以数轴是向量。7假设 a 与 b 共线， b 与 c 共线，就 a 与c 共线。

4、8假设 mamb ，就 ab 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9假设 mana ，就 mn 。10假设 a 与b 不共线，就 a 与 b 都不是零向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11假设 a b| a | | b |，就a / /b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12假设 | ab | | ab | ，就 ab 。题型 2. 向量的加减运算1. 设a 表示“向东走 8km” ,b 表示“向北走 6km”, 就| ab |。2. 化简 ABMB BOBC OM。3. 已知| OA |5 , | OB |3 , 就| AB | 的最大值和

5、最小值分别为、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知 AC为AB与AD的和向量，且ACa, BDb ，就 AB， AD。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知点 C在线段 AB上，且 AC题型 3. 向量的数乘运算3 AB , 就 ACBC ， ABBC 。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 运算：13ab2 ab2 22a5b3c3 2 a3b2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

6、纳总结2. 已知a1, 4, b3,8 ，就 3a1 b。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 4. 作图法球向量的和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知向量a,b ，如以下图，请做出向量 3a1 b 和 2a23 b 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b题型 5. 依据图形由已知向量求未知向量1. 已知在ABC中， D 是 BC 的中点，请用向量 AB，AC表示 AD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在平行四边形 ABCD 中，已知 ACa, BDb ，求 AB和AD

7、 。题型 6. 向量的坐标运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知 AB4,5， A2,3，就点 B 的坐标是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知 PQ 3,5 ，P3,7，就点 Q 的坐标是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 假设物体受三个力F11,2 ,F2 2,3 ,F3 1,4 , 就合力的坐标为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知a3,4 ， b5, 2

8、，求ab ， ab ， 3a2b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知A1,2, B 3,2, 向量 ax2, x3y2 与 AB 相等，求x, y 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知 AB2,3， BCm, n ， CD1,4 ，就 DA。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知O 是坐标原点，A2,1, B4,8 ，且 AB3BC0 ，求 OC 的坐标。可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品名师归纳总结题型 7. 判定两个向量能否作为一组基底1. 已知 e1, e2 是平面内的一组基底，判定以下每组向量是否能构成一组基底：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. e1e2和e1e2B. 3e12e2和4e26e1C. e13e2和e23e1D. e2和e2e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知a3,4，能与 a 构成基底的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.34,B.43,C.3 ,4 D.1,4 可编辑资料 - - -

10、 欢迎下载精品名师归纳总结5555553可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 8. 结合三角函数求向量坐标1. 已知O 是坐标原点，点 A 在其次象限， | OA |2 ，xOA150，求 OA 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知O 是原点，点 A 在第一象限， | OA |43 ，xOA60 ，求OA 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 9. 求数量积1. 已知| a |3,| b|4 ，且 a与 b 的夹角为 60 ，求

11、1 a b ，2 aab ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 a1 b 2b ，4 2 ab a3b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知a2,6, b8,10，求1| a |,| b | ，2 a b ，3 a2 ab ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 2 ab a3b 。题型 10. 求向量的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知| a |8,| b|3 ， a b12 ，求 a 与b 的夹角。可编辑资料 -

12、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知a3,1, b23, 2 ，求 a 与 b 的夹角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知A1,0 ，B0,1 ， C2,5，求 cosBAC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 11. 求向量的模可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知| a |3,| b|4 ，且 a与 b 的夹角为 60 ，求 1| ab|，2| 2a3b |。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知a2,6, b8,10，求1| a |,| b | ，5| ab| ，6| a1 b |。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知| a |1，| b |2 ， | 3a2b |3 ，求| 3ab | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 12. 求单位向量【与 a 平行的单位向量： ea 】| a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 与a12,5平行的单位向量是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

14、归纳总结2. 与m11,2平行的单位向量是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 13. 向量的平行与垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知a6,2 ， b 3, m ，当 m 为何值时，1a/ /b ？2 ab ？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知a1,2 ， b 3, 2 ，1k 为何值时，向量 kab 与 a3b 垂直？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 k 为何值时，向量 kab 与a3b 平行？3. 已知a 是非零向量， a ba c ，且 bc ，求证：

15、abc 。题型 14. 三点共线问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知A0,2 ， B2, 2 ， C 3, 4 ，求证：A, B, C 三点共线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设 AB2 a25b, BC2a8b, CD3ab ，求证： A、B、D三点共线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知ABa2b, BC5a6b,CD7 a2b ，就肯定共线的三点是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

16、欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知A1, 3 ， B8,1 ，假设点C 2a1,a2 在直线 AB 上，求 a 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知四个点的坐标立？O0,0， A3, 4 ， B 1,2，C 1,1，是否存在常数 t ，使 OAtOBOC 成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 15. 判定多边形的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 假设 AB3e ， CD5e ，且 | AD| | BC|, 就四边形的外形是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

17、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知A1,0 ，B4,3， C 2, 4 ， D 0,2，证明四边形 ABCD 是梯形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知A2,1 ， B 6,3 ， C 0,5，求证： ABC 是直角三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 在平面直角坐标系内， OA1,8, OB 4,1,OC1,3 , 求证：ABC 是等腰直角三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 16. 平面对量的综合应用可编辑

18、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知a1,0 ， b2,1 ，当 k 为何值时，向量 kab 与a3b 平行？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知a3,5 ，且 ab ， |b |2 ，求 b 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知a与b 同向， b1,2 ，就 a b10 ，求 a 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知a1,2 ， b3,1 ， c5,4，就cab 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

19、名师归纳总结4. 已知a5,10 ， b3,4 ， c5,0，请将用向量a,b 表示向量 c 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知am,3 ， b2,1 ，1假设 a 与b 的夹角为钝角，求 m 的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设 a 与 b 的夹角为锐角，求 m 的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知a为锐角？6,2 ， b 3, m，当 m 为何值时，1a 与b 的夹角为钝角？ 2a 与b 的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

20、- 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为求点 C 的坐标。A 1,2 ，B 3, 4 ， D 2,1 ，且AB/ / DC ， AB2CD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为的坐标。A2,1，B 1,3 ，C 3, 4 ，求第四个顶点 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30 角，求水流速度与船的实际速度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

21、结10. 已知 ABC 三个顶点的坐标分别为A3, 4， B0,0， Cc,0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1假设AB AC0 ，求 c 的值。2假设 c5 ，求sin A 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【备用】1. 已知| a |3,| b |4,| ab |5 ，求| ab |和向量a, b 的夹角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知 xab ， y2ab ，且 | a | |

22、b | 1， ab ，求x, y 的夹角的余弦。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知a1,3,b 2,1 ，就 3a2b 2 a5b65。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知两向量 a3, 4, b2,1 ，求当 axb与ab 垂直时的 x 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知两向量 a1,3,b2, ， a与b 的夹角 为锐角，求的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

23、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式： 假设 a, 2, b3,5 ， a与b 的夹角 为钝角，求的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挑选、填空题的特别方法：1. 特例法例：全品P27：4。由于 M,N在 AB,AC上的任意位置都成立， 所以取特别情形， 即 M,N与 B,C重合时，可以得到 mn1， mn2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 代入验证法例：已知向量 a1,1,b1, 1, c1, 2 ，就 c DA.1 a23 b2B.1 a23 b2C.3 a21 b2D.3 a1 b22变式： 已知 a1,2, b1,3, c 1,2 ，请用 a,b 表示 c 。解： 设cxayb ，就1,2x1,2y1,3即： 1,2 x,2 xy,3 yxy,2 x3 y1xy且22 x3 y ，即：xy1且 2x3 y2解得：x4 ， y 59 ，5c4 a9 b553. 排除法例：已知 M是 ABC 的重心，就以下向量与AB 共线的是 DA. AMMBBCB.3 AMACC.ABBCACD.AMBMCM解：观看前三个选项都不与 AB 共线，所以选 D。可编辑资料 - - - 欢迎下载