高考理科数学试卷及答案 .docx

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1、精品名师归纳总结2021 年一般高等学校招生全国统一考试数学理工农医类一、挑选题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。在每题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的。1. 复数 z=i1+ii 为虚数单位在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 其次象限C. 第三象限D. 第四象限2. 某学校有男、 女同学各 500 名，为明白男、女同学在学习爱好与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体同学中抽取100 名同学进行调查，就宜采纳的抽样方法是A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样法D. 分层抽样法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 在锐角 ABC中，角 A，B

2、所对的边长分别为 a，b。假设于2asin B3b ，就角 A 等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. B.C.D.12643可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 假设变量 x，y 满意约束条件y2 x,xy1,y1,就 x2 y 的最大值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 5B. C.25D.532可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 函数 f x2 lnx 的图象与函数 g xx 24x5 的图象的交点个数为 可编辑资料 -

3、- - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 3B. 2C. 1D. 06. 已知 a，b 是单位同量， ab=0。假设向量 c 满意 cab1 ，就的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 21 ,21 B. 21 ,22 C. 1,21 D. 1,22 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形，就该正方体的正视图的面积不可能等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 1B.2C.212D.21 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 在等腰直角三角形 ABC 中， AB=

4、AC=4，点 P 是边 AB 上异于 A， B 的一点，光线从点 P 动身，经 BC，CA 反射后又回到点 P如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 1。假设光线 QR 经过ABC的重心，就 AP 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 2B. 1C.8D.433可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每题 5 分 ，共 35 分。一选做题请考生在第 9，10，11 三题中任选两题作答，假如全做，就按前两题记分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x9. 在平面直角坐标系 xOy 中，假设直线

5、 l ：yt,xt 为参数过椭圆 C：tay3 cos ,2 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为参数 的右顶点，就常数 a 的值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 已知a, b, cR， a+2b+3c=6，就 a 24b 29c 2 的最小值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 如图 2，在半径为 7 的 O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，PA=PB=2，PD=1，就圆心 O 到弦 CD 的距离为. 二 必做题 12 16 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 假设 T x2 dx09 ，就常数 T

6、的值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 执行如图 3 所示的程序框图，假如输入 a=1， b=2，就输出的 a 的值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 设x 2F1， F 2 是双曲线 C： 2a2y1 a0，b0的两个焦b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点，P 是 C 上一点。假设PF1PF26a，且PF1F 2的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小内角为 30，就 C 的离心率为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15. 设 Sn 为数列an 的

7、前 n 项和， Snn1an1n ， n2N，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 a1 =。2 S1S2S100 =。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16. 设函数 f xa xb xcx ，其中 ca0，cb0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1记集合 M= a, b,c | a, b, c 不能构成一个三角形的三条边长，且a=b ，就 a,b, c M 所对应的 fx的零点的取值集合为。2假设 a, b,c 是 ABC 的三条边长，就以下结论正确的选项是。写出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全部正确结论的序号x,1 ，fx0

8、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xR，使a x , bx ,c x 不能构成一个三角形的三条边长。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设ABC 为钝角三角形，就x1,2，使 fx=0。三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 本小题总分值 12 分已知函数 fx=sin x+cos x，gx=2sin2 x 。632可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设是第一象限角，且 f = 3 35，求 g的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求使 fx gx成立的 x 的取值集合。18.

9、本小题总分值 12 分某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形的块的每个格点指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点处都种了一株相同品种的作物。依据历年的种植体会，一株该 种作物的年收成量 Y单位： kg与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 米。从三角形的块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近” 的概率。从所种作物中随机选取一株，求它的年收成量的分布列与数学期望。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19. 本小题总分值 12 分如图 5，在直棱柱 ABCD A1B1C1

10、D1 中， AD/ BC ， BAD=90，AC AD=AA1=3。BD ，BC=1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： ACB1D 。求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20. 本小题总分值 13 分在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 动身沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“ L 路径”。如图 6 所示的路径 MM1 M2 M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“ L 路径”。某的有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点 A3，20，B-10， 0，C14，0处，现

11、方案在 x 轴上方区域包含 x 轴内的某一点 P 处修建一个文化中心。写出点 P 到居民区 A 的“ L 路径”长度最小值的表达式不要求证明 。假设以原点O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是爱护区， “L 路径”不能进入爱护区。请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的“ L 路径”长度之和最小。21. 本小题总分值 13 分过抛物线 E： x22 pyp0的焦点 F 作斜率分别为 k1，k2 的两条不同直线 l 1，l 2，且 k1k22 。l1 与 E 相交于点 A，B。 l2 与 E 相交于点 C，D。以 AB，CD 为直径的圆M，圆 NM， N 为圆心的公共弦所在直线记为l。可编辑资料

12、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 k10，k2 0，证明：FM FN2 p 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设点 M 到直线 l 的距离的最小值为75 ，求抛物线 E 的方程。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. 本小题总分值 13 分已知a0，函数 fx=xa。x2 a记 fx在区间 0 ，4 上的最大值为 ga，求 ga的表达式。是否存在 a，使函数 y= fx在区间 0， 4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？假设存在，求 a 的取值范畴。假设不存在，请说明理由。可编辑资料 -

13、- - 欢迎下载精品名师归纳总结2021 年高考理科数学湖南卷参考答案一、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15：BDDCB6 8： ACD二、9、310、1211、312、313、914、 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15、1三、12 116312 100116、1 x|0x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17、解： fx=sin x+cos x63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=3 sin x 21 cos x21 cos x23 sin x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=3 sin x ，可编

14、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结gx=2sin2x =12cosx 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 f = 335得 sin= 3 ，又是第一象限角，所以 cos0，从而5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g =1cos=11sin 2=145= 1 。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 fx gx等价于3 sinx 1cosx ，即3 sinxcos x 1，于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin x 1 。62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 2k6x 2k 65， k6Z ，即 2k

15、x 2k2， kZ 。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故使 fxgx成立的 x 的取值集合为 x |2k18、解： x 2k2， k3Z 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15，其中三角形的块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为 12，从三角形的块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结312有C 1C 1=36 种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故从三角形的块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它

16、们恰好“相近”的概率为 82 。369先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收成量Y 的分布列。由于PY = 51= PX = 1，PY = 48= PX = 2，PY = 45= PX = 3，PY = 42= PX = 4， 所以只需求出 PX = kk=1，2，3，4即可。记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物侏数 k =1，2，3，4，就n1=2，n2=4，n3=6， n4 =3由 PX= k= nk 得N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PX=1= 2 ， PX=2= 4 ，PX=3=6 = 2 ，PX=4=3 = 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

17、纳总结1515故所求的分布列为514845422421151555Y P所求的数学期望为155155可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EY=512 +484 +452 +42 1 = 34649042 =46。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19、解法 1：1515555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图 1，由于BB1平面 ABCD， AC平面 ABCD，所以 ACBB1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 ACBD ，所以 AC平面 BB1D。而B1D平面 BB1D，所以 ACB1D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

18、归纳总结由于B1 C1 /AD ，所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所成的角记为。如图 1，边结 A1D。由于棱柱 ABCDA1B1C1D1 是直棱柱，且 B1A1D1=BAD=90，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 A1 B1平面 ADD1A1，从而A1B1AD 1。又 AD=AA1=3，所以四边形 ADD 1A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是正方形，于是A1DAD 1 。故AD1平面 A1B1D，于是AD1B1D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

19、总结由知， ACB1D ，所以B1D平面 ACD1，故 ADB1= 90。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在直角梯形 ABCD 中，由于 ACBD ，所以 BAC=ADB。从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABRtABC RtDAB ，故DABC，即 ABABDABC3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22连结 AB1，易知AB1D是直角三角形，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2且 B1DBB1BD 2BB1AB 2AD 2 =21，即 B1D=21 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品名师归纳总结在 RtAB1D中， cosADB1AD B1 D321 ，即 cos90=21721 ，7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 sin21 。7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为21 。7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2：易知， AB，AD，AA1 两两垂直。如图 2，以 A 为坐标原点， AB， AD，AA1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，设 AB= t，就相关各点的坐标为： A0，0，0， Bt，0，0，B1t，0，3， Ct，1

21、，0，C1t，1，3，D0， 3， 0，D10，3，3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 B1D =-t，3，-3， AC =t，1，0， BD =-t，3，0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 ACBD ，所以AC BDt 2300 。解得 t3 或t3 舍去。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 B1D =3 ，3，-3， AC = 3 ， 1， 0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 ACB1D3300 ，所以 ACB1D ，即 ACB1D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

22、欢迎下载精品名师归纳总结由知，AD1=0， 3， 3， AC = 3 ，1，0， B1C1=0， 1， 0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 n =x， y， z是平面 ACD1 的一个法向量，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nAC nAD10， 即0，3xy3y3z0，令 x0，1，就 n =1，3 ， 3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设直线 B1 C1 与平面 ACD1 所成角为 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sincosn, B1C1 nB1C1 n B1C1321 。77可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

23、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即直线 B1 C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为20、解：设点 P 的坐标为 x，y。点 P 到居民区 A 的“ L 路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|， xR， y0，+。21 。7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意知，点 P 到三个居民区的“ L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的“ L 路径”长度最小值之和记为 d的最小值。当 y1 时， d =| x+10 |+| x-14 |+| x-3 |+2| y |+| y-20 |。由于d1x=| x+10 |+| x-14 |+|

24、x-3 | x+10 |+| x-14 |。*当且仅当 x =3 时，不等式 * 中的等号成立。又由于| x+10 |+| x-14 |24，* 当且仅当 x-10 ，14 时，不等式 * 中的等号成立。所以 d1x 24，当且仅当 x =3 时，等号成立。d2y=2y+| y-20 |21，当且仅当 y =1 时，等号成立。故点 P 的坐标为 3， 1时， P 到三个居民区的“ L 路径”长度之和最小，且最小值为 45。当 0 y 1 时，由于“ L 路径”不能进入爱护区，所以d = | x+10 |+| x-14 |+| x-3 |+1+| 1-y |+| y |+| y-20 |。此时，

25、 d1x=| x+10 |+| x-14 |+| x-3 |d2y=1+| 1-y |+| y |+| y-20 |=22-y21。由知， d1x 24，故 d1x+ d2y 45，当且仅当 x =3， y =1 时等号成立。综上所述，在点 P3，1处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小。21、解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意，抛物线E 的焦点为 F0，p ，直线 l1 的方程为 y2pk1 x。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 yk1xp2 ，得 x222 pk1 xp0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

26、总结x 22 py设 A，B 两点的坐标分别为 x1，y1，x2，y2就 x1，x2 是上述方程的两个实数根。从而x1+ x2= 2pk1，y1+ y2= k1x1+x2+p = 2pk12+p。所以点 M 的坐标为 pk1，pk 2+ p ， FM =pk1，pk 2。1122同理可得点 N 的坐标为 pk2， pk + p ， FN =pk2，pk 2。于是222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FM FN =p2k1k2+k2k 2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12k1k 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题设， k1+k2=2，k1

27、0， k20，k1 k2 ，所以 0 k1k22y，故 FM FN 0，所以点 M 到直线 l 的距离221 27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 pk1dpk1p5p 2k1k115p 2k148。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17 p7 p故当 k1时， d 取最小值。由题设，7 5 ，解得 p8 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结48故所求的抛物线 E 的方程为 x222、解：516 y 。8 55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0 x a 时，f xaxx2a。当 xa 时，f xxax2a。因此，可编辑资料 -

28、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0， a时，f x3ax2a20 ， f x 在0，a上单调递减。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 xa， +时，f x3a x2a 20 ， f x在a，+上单调递增。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 a4，就f x在0，4上单调递减，gaf 0 1 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 0a4，就 f x 在0，a上单调递减，在 a，4上单调递增。所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g amaxf 0,f 4 ，而f 0f 41 4a242aa1 ，故当2 a可编辑资料 - -

29、 - 欢迎下载精品名师归纳总结0a1 时， gaf 44a4a42a,0a。当 1a4 时，1,ga1f 0。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述， ga42a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 , a1.2由知，当a 4 时， f x 在0， 4上单调递减，故不满意要求。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0a4 时，f x在0，a上单调递减，在 a， 4上单调递增。假设存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1, x20,4 x1x2 ，使曲线 yf x 在x1，f x1， x2 ，f x2 两点处的可编辑资料 - - -

30、 欢迎下载精品名师归纳总结切线相互垂直，就 x10，a， x2a，4，且 f x1 . fx2 1 。即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1亦即3a 2a 2.x23a2a 21 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x12a3ax22 a。*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 x10，a， x2a， 4得 x12a2a，3a，3ax22 a 3a42 a，1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故*成立的等价于集合 A= x|2ax3a 与集合 B= x|3a42ax1 的交集非空。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 3a 42a3a，所以当且仅当 02a1，即 0a1 时， AB。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，存在 a 使函数 f x 在区间0，4内的图象上存在两点，在该两点处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的切线相互垂直，且 a 的取值范畴是 0，1 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载